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2.1.2 指数函数及其性质


2.1.2

指数函数及其性质

1.指数函数的定义 一般地,函数 y=ax (a>0,且 a≠1)叫做指数函数. 理解指数函数的定义,需注意的几个问题: (1)因为 a>0,x 是任意一个实数时,ax 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R. (2)规定底数 a 大于零且不等于 1 的理由: ?当x>0时,ax恒等于0; ? 如果 a=0,? x ? ?当x≤0时,a 无意义. 1 1 如果 a<0,比如 y=(-4)x,这时对于 x= ,x= ,?,在实数范围内函数值不存在. 4 2 x 如果 a=1,y=1 =1,是一个常量,对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况,所以规定 a>0,且 a≠1. (3)指数函数解析式的特征:ax 的系数是 1,a 为常量,x 为自变量,有些函数貌似指数 + 函数,实际上却不是,例如 y=ax 1 (a>0,a≠1);有些函数看起来不像指数函数,实际上却 1?x ? 1 1 ? - 是,例如 y=a x (a>0,a≠1),因为这可等价化归为 y=? ?a? ?其中a>0且a≠1?. 2.y=ax (a>0,a≠1)的图象 0<a<1 a>1 图象 性 质 定义域 值域 过定点 各区间取值 单调性 (-∞,+∞) (0,+∞) a>0 且 a≠1,无论 a 取何值恒过点(0,1) 当 x>0 时,0<y<1 当 x>0 时,y>1 当 x<0 时,y>1 当 x<0 时,0<y<1 定义域上单调递减 定义域上单调递增

3.利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小 (1)比较同底数幂大小的方法:选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性 作出结论. (2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”,或采用“作 商法”. (3)利用指数函数的单调性可求形如 af(x)>ag(x) (a>0,a≠1)不等式中变量 x 的取值范围(即 比较指数大小). 其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式 f(x)>g(x)或 f(x)<g(x), 然后解 不等式得到 x 的取值范围.

题型一 函数的定义域、值域 (1)函数 y= 1-3x的定义域是________;

1? (2)求函数 y=? ?3?
x

x-2

的定义域和值域.

(1)解析 由 1-3 ≥0,得 3x≤1=30, 因为函数 y=3x 在实数集上是增函数, 所以 x≤0,故函数 y= 1-3x的定义域为(-∞,0]. 答案 (-∞,0] (2)解 由 x-2≥0,得 x≥2, 所以此函数的定义域为[2,+∞). 1 当 x∈[2,+∞)时, x-2≥0,又 0< <1, 3 由指数函数的性质知, 1? x-2 ?1?0 y=? ≤?3? =1,且 y>0, ?3? 故此函数的值域为(0,1]. 点评 本题中的函数都不是指数函数, 但都与指数函数有关. 根据指数函数的定义域为 R,值域为(0,+∞),结合前一章求函数定义域和值域的方法,可以求解一些简单函数的定 义域和值域.在求解中要注意正确运用指数函数的单调性.在求值域问题时,既要考虑指数 函数的单调性,还应注意指数函数的值域为(0,+∞).

题型二 指数函数的图象

如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小 关系为( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解析 由图象可知③、④的底数必大于 1,①、②的底数必小于 1,过点(1,0)作直线 x =1 在第一象限内分别与各曲线相交,可知 1<d<c,b<a<1,从而知 a,b,c,d 与 1 的大小 关系为 b<a<1<d<c. 答案 B 点评 不同底数的指数函数的图象在同一坐标平面内的相对位置关系是: 在 y 轴右侧图 象从下到上相应的底数由小到大;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大到小. 题型三 指数函数性质的应用 比较下列各组数的大小: 3?1 ?4? 1 7 7 - - (1)? ? 0.1 和? ? 0.2;(2)? 4?6和?3?-5; ? ?4? ?4? 5? 1 1 1 - (3)0.8 2 和? ?3?-2;(4)a3和 a2 (a>0,且 a≠1). 7 解 (1)y=? ?x 在(-∞,+∞)上是减函数, ?4?

7?-0.1 ? 7?-0.2 < . 4 ? ? ?4? 3?1 ?4? 1 ?4?x (2)? ?4?6=?3?-6,由 y=?3? 的单调性可得, ?4?-1>?4?-1,即?3?1>?4?-1. ?3? 6 ?3? 5 ?4?6 ?3? 5 5 - ?-1<1,可知 0.8-2>?5?-1. (3)由 0.8 2>1 而? ?3? 2 ?3? 2 1 1 1 1 (4)当 a>1 时,a <a ,当 0<a<1 时,a >a . 3 2 3 2 点评 当两个幂函数底数相同时, 要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的 指数函数,借助函数的单调性来比较大小.此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函 数的两个函数值, 此时可以借助一些特殊数如 0 或 1 来搭桥间接比较两个数的大小, 而第(2) 小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.因此,在利 用指数函数的性质比较大小时,要注意以下几点: (1)同底数幂比较大小,可直接根据指数函数的单调性比较; (2)同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1,从而得 出结论; (3)既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或 0),或用作差法,作商 法来比较大小.

又-0.1>-0.2,故?

题型四 综合应用 1 1 3 已知函数 f(x)=?2x-1+2?· x.

?

?

(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0. (1)解 由 2x-1≠0,得 x≠0, 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 1 1 3 (2)解 f(-x)=?2-x-1+2?· ? ? (-x) 2x 1 3 ? 1 1 3 =-?1-2x+2?· x = 2x-1+2?· ? ? ? ? x =f(x), 又因为函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称,所以 f(x)为偶函数. (3)证明 当 x∈(0,+∞)时,2x>1, 1 即 2x-1>0,又 >0,x3>0, 2 1 1 3 所以 f(x)=?2x-1+2?· ? ? x >0, 由于 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称, 知当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0 也成立, 故对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(x)>0. 点评 指数函数是一种具体的初等函数, 常与第一章学习的函数单调性、 奇偶性等知识 点融合在一起,此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可,本例在第 (3)问中,巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解.

求函数 y=9x+2· 3x-2 的值域.

错解 设 3x=t,则 9x=t2, ∴y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∴ymin=-3,从而 y=9x+2· 3x-2 的值域为[-3,+∞). x 错因分析 若 y=-3,则 9 +2· 3x=-1,显然不成立.错因在于没有注意 t=3x>0 这一 隐含条件,在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围. 正解 设 3x=t (t>0),则 y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∵当 t=0 时,y=-2, ∴y=9x+2· 3x-2 的值域为(-2,+∞).

1.指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一,常在与其他知识的交汇处考查. 2.本节内容在高考中几乎每年都涉及,多以选择题或填空题的形式出现. ? 1 x +1 ? 1.(山东高考)已知集合 M={-1,1},N=?x|2<2 <4,x∈Z?,则 M∩N 等于( ) ? ? A.{-1,1} B.{-1} C.{0} D.{-1,0} ? 1 x+1 ? 解析 N=?x|2<2 <4,x∈Z?={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,且 x∈Z}={- ? ? 1,0},∴M∩N={-1}. 答案 B 2. (江苏高考)设函数 f(x)定义在实数集上, 它的图象关于直线 x=1 对称, 且当 x≥1 时, f(x)=3x-1,则有( ) 1? ?3? ?2? A.f? ?3?<f?2?<f?3? 2? ?3? ?1? B.f? ?3?<f?2?<f?3? 2? ?1? ?3? C.f? ?3?<f?3?<f?2? 3? ?2? ?1? D.f? ?2?<f?3?<f?3? 解析 当 x≥1 时,函数递增,且以 x=1 为对称轴. 所以自变量与 1 的差值的绝对值越大,函数值越大. 答案 B

1.函数 f(x)=2

-|x |

的值域是(

)

A.(0,1] B.(0,1) C.(0,+∞) D.R 答案 A 解析 ∵-|x|≤0,∴0<2x≤1,即函数的值域为(0,1]. 2.若指数函数 f(x)=(a-1)x 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( A.a>2 B.a<2 C.0<a<1 D.1<a<2 答案 D 解析 由题意知 0<a-1<1,解得 1<a<2. 1?|x| 3.设 f(x)=? ) ?2? ,x∈R,那么 f(x)是( A.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数

)

C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 答案 A 解析 ∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 1?|x| ?1?x 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=? ?2? =?2? , ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. - 4.函数 y=ax 5+1 (a≠0)的图象必经过点( ) A.(0,1) B.(5,1) C.(5,2) D.(1,5) 答案 C 解析 指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1, - 由此变形得 a5 5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2). 1?-1.5 5.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=? ) ?2? ,则( A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案 D 解析 y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44, 1?-1.5 1.5 y3=? ?2? =2 . 因为函数 y=2x 在实数集上是增函数, 且 1.8>1.5>1.44,所以 y1>y3>y2. 6.已知 1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx 的图象为(

)

答案 C 解析 由 0<m<n<1 可知①②应为两条递减曲线,故只可能是选项 C 或 D,进而再判断 ①②与 n 和 m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点,令 x=1,则①②对应的函数 值分别为 m 和 n,由 m<n 知选 C. 7.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 由 ax-1≥0,得 ax≥1. 根据指数函数的性质知 a∈(0,1). + - 8.解不等式 ax 5<a4x 1 (a>0,且 a≠1). 解 当 a>1 时,原不等式可变为 x+5<4x-1.解得 x>2; 当 0<a<1 时,原不等式可变为 x+5>4x-1.解得 x<2. 故当 a>1 时,原不等式的解集为(2,+∞); 当 0<a<1 时,原不等式的解集为(-∞,2). 3x a 9.设 a>0,函数 f(x)= + x是定义域为实数集 R 的偶函数. a 3 (1)求实数 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. (1)解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,

x 3x a 3 a ∴f(x)=f(-x),即 + x= + -x, a 3 a 3 1 ? 1 ? 1? 即 3x? ?a-a?+3x?a-a?=0, ?3x- 1x??1-a?=0,又根据题意, 3 ?? a ? ? 1 可得 -a=0,又 a>0,所以 a=1. a 1 (2)证明 由(1)知 f(x)=3x+ x, 3 设任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 1 1 则 f(x1)-f(x2)=3x1+ -3x2- 3x1 3x2 1 =(3x1-3x2)?1-3x +x ?. ? 1 2? 因为 0<x1<x2,所以 3x1<3x2; 又 x1+x2>0,所以 3x1+x2>1, 3x1+x2-1 1 则 1- = >0, 3x1+x2 3x1+x2 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 于是知 f(x)在(0,+∞)上是增函数


学习目标 1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否为指数函数. 2.掌握指数函数的图象和性质. 自学导引 1.指数函数的概念 一般地,形如 y=ax_(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 2.指数函数的图象和性质

a>1 图象

0<a<1

性质

定义域 值域 过定点 函数值 的变化 单调性

R (0,+∞) 过点(0,1)即 x=0 时,y=1 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1. 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数

一、指数函数定义的应用 例 1 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求 a 的值. 分析 由题目可获取以下主要信息:①函数解析式中 ax 的系数为 a2-3a+3;②此函数 为指数函数.解答本题只需紧扣指数函数的定义. 解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, ?a2-3a+3=1 ?a=1或a=2 ? ? 可得? ,解得? , ?a>0且a≠1 ?a>0且a≠1 ? ? ∴a=2. 点评 判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断; (2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数 必须是自变量 x. 变式迁移 1 指出下列函数哪些是指数函数? (1)y=4x; (2)y=x4; x; (3)y=-4 (4)y=(-4)x; (5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx; 1 - (8)y=(2a-1)x (a> 且 a≠1);(9)y=4 x;(10)y=42x. 2 1?x - 2x 2 x x 解 (1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数.其中(9)y=4 x=? ?4? ,(10)y=4 =(4 ) =16 符合指数函数的定义.而(2)中底数 x 不是常数,而 4 不是变数;(3)是-1 与指数函数 4x 的 乘积;(4)中底数-4<0,所以不是指数函数;(6)中指数不是自变量 x,而是 x 的函数;(7)中 底数 x 不是常数.它们都不符合指数函数的定义.

二、求定义域、值域(最值) 例 2 求下列函数的定义域与值域. 2?-|x| 1 (1)y=2 ; (2)y=? ?3? . x-4 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4. ∴定义域为{x|x∈R 且 x≠4}. 1 1 ∵ ≠0,∴2 ≠1, x-4 x-4 1 ∴y=2 的值域为{y|y>0 且 y≠1}. x-4 (2)定义域为 R. 2?-|x| ∵|x|≥0,∴y=? ?3? 的值域为{y|y≥1}. 点评 求定义域要根据函数自身的要求,找出关于 x 的不等式,解不等式或不等式组可 得定义域.求值域要根据定义域,根据函数的单调性,解答本题可利用换元思想化成指数函 数. 变式迁移 2 求下列函数的定义域和值域:

(1)y=3 x-2; 1?x (2)y= 1-? ? 2? . 解 (1)定义域为[2,+∞), - ∵ x-2≥0,∴y=3 x 2≥1,∴值域为[1,+∞). 1?x ?1?x (2)∵1-? ?2? ≥0,∴?2? ≤1,即 x≥0, 1?x ∴函数 y= 1-? ?2? 的定义域为[0,+∞). 1?x 令 t=? ?2? ,∴0<t≤1, ∴0≤1-t<1,∴0≤ 1-t<1, 1?x ∴y= 1-? ?2? 的值域为[0,1).

三、指数函数单调性的应用 例 3 比较下列各题中两个值的大小. - (1)1.72.5,1.73; (2)0.8 0.1,1.250.2; 0.3, 3.1; 4.1, 3.6 (3)1.7 0.9 (4)4.5 3.7 . 分析 由本题可获得以下主要信息:都是两个指数幂进行大小比较. 解答本题可先将它们化成同底的指数幂的形式,然后,根据指数函数的性质求解. 解 (1)由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y=1.7x 在(-∞,+∞)上是增函数, ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. - (2)1.250.2=0.8 0.2, ∵0<0.8<1, ∴指数函数 y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数, - ∴0.8 0.1<1.250.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1. ∴1.70.3>0.93.1. (4)利用指数函数的单调性知 4.54.1>4.53.6, 4.53.6 4.5?3.6 又∵4.53.6>0,3.73.6>0,∴ 3.6=? ?3.7? , 3.7 4.5?3.6 4.5 ∵ >1,3.6>1,∴? ?3.7? >1, 3.7 从而 4.53.6>3.73.6,∴4.54.1>3.73.6. 点评 两数比较大小问题, 一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问 题.对于 1.70.3 与 0.93.1,不能直接看成某一个指数函数的两个值,所以(3)题无法用(1)、(2) 两题的方法来进行比较.可在这两个数值之间找到中间量 1,使这两个数值分别与数值 1 进 行比较,进而比较出 1.70.3 与 0.93.1 的大小.(4)题直接比较有困难,可找中间变量 4.53.6. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 变式迁移 3 比较? ?3?3,23,?-3? ,?4?2的大小. 4?1 2 ? 2?3 ?3?1 解 将? ?3?3,23,?-3? ,?4?2分成如下三类: 2?3 (1)负数? ?-3? ; 3?1 (2)大于 0 小于 1 的数? ?4?2;

4?1 2 (3)大于 1 的数? ?3?3,23. 4?1 1 1 2 ∵? ?3?3<43,而 43=23, 2?3 ?3?1 ?4?1 2 ∴? ?-3? <?4?2<?3?3<23. a 例 4 函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 分析 解答本题可结合函数单调性,对 a 进行分类讨论求值. 解 (1)若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增, 最大值为 a2,最小值为 a. a 3 ∴a2-a= ,即 a= 或 a=0(舍去). 2 2 (2)若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, 最大值为 a,最小值为 a2. a 1 ∴a-a2= ,即 a= 或 a=0(舍去), 2 2 1 3 综上所述,所求 a 的值为 或 . 2 2 点评 利用指数函数的单调性,要注意对底数 a 的讨论,否则易失解. 变式迁移 4 函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值. 解 ∵f(x)=ax 在[1,2]上是单调函数, ∴f(x)在 1 或 2 时取得最值. ∴a+a2=6,解得 a=2 或 a=-3,∵a>0,∴a=2.

1.指数函数的定义及图象是本节的关键.通过图象可以求函数的值域及单调区间. 2.利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时,直接利用指数函数的单调性比较大小. (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时,可利用两个指数函数的图象比较它们 的大小. (3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时,可考虑能否利用“媒介”数来 比较它们的大小. 3.通过本节的学习,进一步体会分类讨论思想在解题中的应用.

一、选择题 1.若指数函数 f(x)=(a+1)x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围为( A.a<2 B.a>2 C.-1<a<0 D.0<a<1 答案 C 2.下列一定是指数函数的是( ) x a A.形如 y=a 的函数 B.y=x (a>0 且 a≠1) - C.y=(|a|+2) x D.y=(a-2)ax 答案 C

)

1 - 解析 ∵y=(|a|+2) x=?|a|+2?x,|a|+2≥2, ? ? 1 1 ∴0< ≤ ,符合指数函数定义. |a|+2 2 3.值域为(0,+∞)的函数是( ) 1?1-x 1 A.y=5 B.y=? ?3? 2-x C.y= 1-2x D.y= 答案 B 1?1-x 解析 ∵B 中定义域为 R,1-x∈R,∴y=? ?3? >0. 4.已知 a=30.2,b=0.2 3,c=(-3)0.2,则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 答案 B 解析 c<0,b=53>3,1<a<3,∴b>a>c. - 5.函数 y=2 x 的图象为( )


?1?x-1 ?2?

)

答案 A 二、填空题 6.指数函数 y=f(x)的图象经过(π,e),则 f(-π)=____. 1 答案 e 解析 设 f(x)=ax,则 aπ=e, 1 - - - ∴f(-π)=a π=(aπ) 1=e 1= . e 7.函数 y= 4-2x的定义域是____________. 答案 (-∞,2] 解析 由 4-2x≥0,得 2x≤4,x≤2. 8.若 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是______________. 答案 c>a>b 解析 ∵y=0.8x 单调递减,∴1>a>b, 又∵c>1,∴c>a>b. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax2+3x-4,g(x)=ax2+2x-2 (a>0,a≠1),若 f(x)>g(x),试确定 x 的范围. 解 由 f(x)>g(x)得 ax2+3x-4>ax2+2x-2. 当 a>1 时,x2+3x-4>x2+2x-2,∴x>2; 当 0<a<1 时,x2+3x-4<x2+2x-2,∴x<2. ∴当 a>1 时,x 的范围是(2,+∞); 当 0<a<1 时,x 的范围是(-∞,2). 10.求下列函数的定义域和值域.

1 1 (1)y=21+2x-x2;(2)y=3- -1;(3)y= x . x 2 -1 解 (1)函数定义域为 R. 令 u=1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2, 所以 y=2u∈(0,4],函数 y=21+2x-x2 的值域为(0,4]. (2)函数的定义域为{x|x≠0}. 1 1 令 u= ,则 u= ∈(-∞,0)∪(0,+∞). x x 1?u - 所以 y=3 u-1=? ?3? -1∈(-1,0)∪(0,+∞). 所以函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞). (3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 值域为(-∞,-1)∪(0,+∞).


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