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2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 概率与统计(理科)(教师版)


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概率与统计
一、高考预测 计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高考对该部分的 考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式 定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型,几 何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中一 般是 2~3 个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计 2012 年该部分的 基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.计 数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概 率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算 的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分 布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、 茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法, 把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和 方差的计算,用样本估计总体等. 二、知识导学

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” :求概率的步骤是:第一步,确定事件性质
? 等可能事件 ? ?互 斥 事 件 ? ?独 立 事 件 ?n次 独 立 重 复 试 验 ?
?和 事 件 ? ?积 事 件

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式

m ? 等 可 能 事 件 : P ( A) ? ? n ? ? ?互 斥 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

?独 立 事 件 : P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? k k n?k ? n 次 独 立 重 复 试 验 : Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ?

求解第四步, 即给提出的问题有一个明确的答复. 答,

要点 2 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常
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用希腊字母 ? 、? 等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫 做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量
? 可能取的值为 x 1 , x 2 ,??, x i ,??,? 取每一个值 x i ( i ? 1,2,??)的概率 P( ? ? x i )

= Pi ,则称下表.
?

x1

x2

? ?

xi
Pi

? ?

P

P1

P2

为随机变量 ? 的概率分布,简称? 的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布 列都具有下述两个性质: (1) Pi
? 0

, i ? 1,2,?;(2) P1 ?

P2 ?

?=1.

②常见的离散型随机变量的分布列:

(2) 几何分布

www .xkb1.c om

在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数? 是一个取值为正整数的离散 型随机变量, ? “
? k

”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量 ? 的概率分布为:
?

1 p

2 qp

3
q p
2

? ?

k
q
k ?1

?
p

P

?

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要点 4 抽样方法与总体分布的估计 抽样方法

总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布, 一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分 布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示, 几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应 样本的频率分布.总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方 图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 要点 5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质
f (x) ? 1 2 ??
2

?

(x?? ) 2?
2

2

e

(1)正态分布的概念如果连续型随机变量 ?
?

的概率密度函数为
~ N

,x? R

其中

、 ? 为常数,并且 ? >0,则称 ? 服从正态分布,记为 ?

( ? ,? ).

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2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定 性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方 法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对 n 个样本数据( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) , ,?,
n

?x
b?
? ( x n , y n ) 其回归直线方程, , 或经验公式为:y ? b x ? a .其中

i

y i ? n xy ,a ? y ? b ?x, ? n(x )
2

?x
i ?1

i ?1 n

2 i



其中 分别为| 三、易错点点睛

x, y

xi

|、|

yi

|的平均数.

【知识点归类点拨】二项式 相同,在遇到类似问题时,要注意区分

?a ? b?

n

与 ?b ? a ?

n

的展开式相同,但通项公式不同,对应项也不

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? ? 3x ? 2、如果 ?

1
3

? 1 ? 2 x ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 x 3 的系数是(

n



(A)7 解析:当 x ? 1 时
r

(B) ? 7
(3 ? 1 ?
3

(C)21
) ? 2 ? 1 2 8,? n ? 7
n n 2

(D) ? 2 1
(3 x ? 1
3

1 1
r

)
2

7


? 2 3

x
5 3

,根据二项式通项公式得
1

T r ? 1 ? C 7 (3 x )

7?r

( ? 1) ( x
6

) ? C7 3
r r

7?r

( ? 1) x
r

7?

5 3

r

?7?

r ? ? 3, r ? 6

时对应 x ,即

3

故 x 项系数为 2 1 . 【易错点 3】 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念, 在求法上也有很大的 差别,在此往往因为概念不清导致出错
x x x

T6 ?1 ? C 7 3
6

7?6

( ? 1)

1
3

? 7?3?

1
3

?

21
3

.

1
3

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Cn ? ? ?2 ?
4

4

解析: 由题意知, 第五项系数为

Cn ? ? ?2 ?
4

4

, 第三项的系数为

C n ? (?2)
2

2

, 则有

Cn ? ? ?2 ?
2

2

?

10 1



? n ? 8 设 展 开 式 中 的 第 r 项 , 第 r+1 项 , 第 r+2 项 的 系 数 绝 对 值 分 别 为
? C 8r ? 1 ? 2 r ? 1 ? C 8r ? 2 r ? ? r ?1 r ?1 r r ? C8 ? 2 ?C8 ? 2 ?

C8

r ?1

?2

r ?1

, C 8 ? 2 ,C 8
r r

?r 1

? 2

?r 1

,若第 r+1 项的系数绝对值最大,则
T7 ? 1 7 9 2 1 x
11

,解得:

5 ? r ? 6 ? 系数最大值为
T5 ? 1 1 2 0 1 x .
6

由 n ? 8 知第五项的二项式系数最大,此时

【易错点 4】对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 1.有六本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人,其中 1 人 1 本,1 人两本,1 人 3 本; (3) 平均分成三组,每组 2 本; (4) 分给甲、乙、丙三人,每人 2 本。

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(5)
C6 ?C4 ?C2
2 2 2

在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式

A3

3

? A3

3

种。

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于此类问题 的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组问题 更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。 2.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任) , 要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种 解析: 首先选择 3 位教师的方案有: ①一男两女; 计 其 次 派 出
3 1 2


C5 ? C4
2 1

C5 ? C 4 ? 30
1 2

; ②两男一女: 计

=40。

A3 ? ? C 5 ? C 4 ? C 5 ? C 4 ? ? 6 ? ? 3 0 ? 4 0 ? ? 4 2 0
2 1

3

位 教 师 的 方 案 是

A3

3

=6 。 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有

种。

解析: (1)3 个女同学是特殊元素,我们先把她们排列好,共有

A3

3

种排法;由于 3 个同学必

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须排在一起,我们可视排好的女同学为一个整体,在与男同学排队,这时是五个元素的全排 列,应有
3

A5

5

种排法。由乘法原理,有
A4
4

A3 ? A5 ? 7 2 0
3 5

种不同排法。

(2)先将男生排好,共有 生,有
3

种排法;再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空中插入 3 个女
A 4 ? A5 ? 1 4 4 0
4 3

A5

种方案。故符合条件的排法共有
A2
2

种。
3

(3)甲、乙 2 人先排好,共有 有
A5

种排法;再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中间,
A3

种排法, 这时把已排好的 5 人看作一个整体, 与剩下的 2 人再排, 又有
A4 ? A2 ? A3 ? 720
4 2 3

种排法; 这样,

总共有

种不同的排法。
A4
4

(4)先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人,有 排好,有 有
A5
2

种排法,由于甲、乙要相邻,故把甲、乙

A2

2

种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空当中,
A4 ? A2 ? A5 ? 960
4 2 2

种排法;这样,总共有

种不同的排法。
A7
4

(5)从七个位置中选出 4 个位置把男生排好,有

种排法;然后再在余下得个空位置中排
A7
4

女生,由于女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有

种不同的排法。

2.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就坐,规定前排中间三个座位 不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数( A、234 B、346
2 1


A1 9 ? A 2
1 2

C、350
2

D、363 种,再加上 4 种不能算相

解析:把前后两排连在一起,去掉前排中间 3 个座位,共有 邻的,共有
A2 0 ? A1 9 ? A2 ? 4 ? 3 4 6

种。

所以 ? 的概率分布为
?

—300 0.008

—100 0.096

100 0.384

300 0.512

P

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根据 ? 的概率分布,可得 ? 的期望 E ? ? ? ? 300 ? ? 0.008 ? ? ? 100 ? ? 0.096 ? 100 ? 0.384 ? 300 ? 0.512 ? 180 (2)这名同学总得分不为负分的概率为 P ? ? ? 0 ? ? 0.384 ? 0.512 ? 0.896 。 【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列,其概率 就是独立重复实验 n 次其中发生 k 次的概率 题时一定看清是否满足二项分布。
P ?? ? k ?

?k

? 0,1, 2, ? ?

Cn P

k

k

?1 ? P ?

n?k

。 但在解决实际问

解析: (1) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4。用
P ? Ak

Ak

表示“汽车通过第 k 个路口时不停” ‘则

??

3 4

?k

? 1, 2, 3, 4 ? 且 A1 , A 2 , A3 , A 4

独立。故

P ? ? ? 0 ? ? P A1 ?

? ?

1 4
2

P ? ? ? 1 ? ? P A1 ? A 2

?

??

3 4

?

1 4

?

3 16

, P ? ? ? 2 ? ? P A1 ? A 2 ? A3
3

?

? ? (4)
3

?

1 4

?

9 64

,

P ? ? ? 3 ? ? P A1 ? A 2 ? A3 ? A 4

?

?

1 27 ?3? ?? ? ? ? , 4 256 ?4? 81 ?3? ?? ? ? 256 ?4?
4

P ? ? ? 4 ? ? P ? A1 ? A 2 ? A3 ? A 4 ?

从而 ? 的分布列为

?
P
E? ? 0 ? 1 4 ? 1? 3

0
1 4 ? 2? 9 64 16

1
3 16 ? 3? 27

2
9 64 ? 4? 81 ?

3
27 256 525

4
81 256

256 256 256 81 175 P ?? ? 3 ? ? 1 ? P ?? ? 4 ? ? 1 ? ? 256 256 。 (2)

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【知识点归类点拨】在正态分布 另外, 正态分布
N ? ? ,?
2

N ? ? ,?

2

? 中, ? 为总体的平均数, ?
0 0

为总体的标准差,

? 在 ? ? ? ? , ? ? ? ? 的概率为 68.3

, 在

??

? 3 ,? ?3 ? ?

? 内取值的

2 0 N ? ? ,? ? 概率为 99.7 0 。解题时,应当注意正态分布 在各个区间的取值概率,不可混淆, 否则,将出现计算失误。 四、典型习题导练 1、一笼子中装有 2 只白猫,3 只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可能出来。

(Ⅰ)第三次出来的是只白猫的概率; (Ⅱ)记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为 ? ,试求 ? 的 概率分布列及期望。
C 2 ?A 4
1 2

【解析】 (Ⅰ)

A5

3

?

2 5

(Ⅱ)设笼中所剩黑猫数为 ? ,则: ? =0,1,2,3,其概率分布列如下: 0 1 2

?

3

P

C 2 ?A 4 A5
5

1

4

?

2 5

C 2 ?C 3 ?A3 A5
=1
4

1

2

3

?

3 10

C 2 ?C 3 ?A 2 A5
3

1

1

2

?

1 5

A2 A5

2 2

?

1 10

E? =

3 10

+

4 10

+

3 10

=

10 10

2、深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过 的球) 3 个是旧球(即至少用过一次的球) , .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放 回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第二次 训练时恰好取到一个新球的概率.

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(Ⅱ)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则 “第二次训练时恰好取到一个新球” 就是事件 互斥, 所以, 得
1 P ( A 0 B ? A1 B ? A 2 B ) ? P ( A 0 B ) 1? P ( A1 B ) ? P ( A 2 B ) 1 C 3C 3 1 3 3 .由条件概率公式, P ( A 0 B ) ? P ( A 0 ) P ( B | A 0)? ? ? ? ? 2 5 C6 5 5 25

A 0 B ? A1 B ? A 2 B

. 而事件

A0 B

、A1 B 、A 2 B

,?9 分

P ( A1 B ) ? P ( A1 ) P ( B | A1 ? )

3 5

?

C C C
2 6

1 2

1 4

?
1 5

3 5

?

8 15

?

8 25

,??10 分

P ( A 2 B ) ? P ( A 2 ) P ( B | A 2)?

1 5

?

C C C
2 6

1 1

?

1 5

?

1 3

?

1 15

.???11 分

P ( A 0 B ? A1 B ? A 2 B ) ?

所 以 , 第 二 次3 训 8 练 1 时 恰 好 取 到 一 个 新 球 的 概 率 为 38
? ? = 25 25 15 75 .?12 分

3、黄山风景区某旅游超市销售不同价格的两种纪念品,一种单价 10 元,另一种单价 15 元, 超市计划将这两种纪念品共 4 件(两件 10 元,两件 15 元)在超市入口和出口处展出销售,假 设光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品,且选购单价 10 元和 15 元的纪念品是等 可能的.(Ⅰ)若每处各展出一件 10 元的纪念品和一件 15 元的纪念品,则该游客只选购了一 件纪念品且单价为 15 元的概率是多少?(Ⅱ)若每处至少展出一件纪念品,记该游客只选购了 一件纪念品且单价为 15 元的概率为 P ,怎样分配展出能使 P 的值最大?并求出 P 的最大值; (Ⅲ)若每处随机的各展出两件纪念品, 该游客从这两处各选购了一件纪念品,记该游客选购 纪念品的消费总金额为 X 元,求随机变量 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

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4、盒中有大小相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定:摸一次需 1 元,从盒中 摸出 2 只球,如果这 2 只球的编号均能被 3 整除,则获一等奖,奖金 10 元,如果这 2 只球的 编号均为偶数,则获二等奖,奖金 2 元,其他情况均不获奖(Ⅰ)若某人摸一次且获奖,求他 获得一等奖的概率; (Ⅱ)若有 2 人参加摸球游戏,按规定每人摸一次,摸后放回,2 人共获 奖金 X 元,求 X 的分布列及期望
P ( A) ? 1 C
2 6

?

1 15

【解析】(Ⅰ)设摸一次得一等奖为事件 A,摸一次得二等奖为事件 B,则
P(B) ? C C
2 3 2 6



?

1 5
P(A ? B) ? 1 15 ? 1 5 ? 4 15

某人摸一次且获奖为事件 A ? B ,显然 A、B 互斥所以 故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:

P(A | A ? B) ?

P ( A) P(A ? B)

?

1 15

?

4 15

?

1 4

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【解析】(Ⅰ)设学生“跳高得 A ,跳远得 B ”记为事件 M , “跳高得 B ,跳远得 A ”记为 事件 N ,
P (M ) ? 1 3 ? 1 2 1 6 ? 1 6 1 8 7 2 4 。 分) (4 , P(N ) ? 1 2 ? 1 4 ? 1 8 (2 分) 所以该学生恰好得到一个 A 和一个 B 的概率

则 为

P (M ) ? P ( N ) ?

?

?

(Ⅱ)由题意, ? 的所有可能取值是 10,15,20,20,25,30。
P (? ? 1 0 ) ? 1 6 ? 1 4 ? 1 24 , P ( ? ? 1 5) ? 1 6 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 4 ? 5 24


P (? ? 2 0 ) ?
P (? ? 3 0 ) ?

1 6 1
3

?
?

1 4 1
4

?
?

1

?

1

?

1 2

?

1 2

?

3 8

, P ( ? ? 2 5) ? P ( M ) ? P ( N ) ?

7 24

3 4 1

1 2 (8 分)则 ? 的分布列为

?

10
1

15
5 24 1 24 ? 15 ? 5 24

20
3 8 ? 20 ? 9 24 ? 25 ? 7

25
7 24 ? 30 ? 2 24 ? 24

30
1 12 125 6

P

24 E? ? 10 ?

? ? 的数学期望为

。 (12 分)

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6、某电视台有 A、B 两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立 进行游戏 A,丙丁两人各自独立进行游戏 B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 ,丙、 丁两人各自闯关成功的概率均为 .(Ⅰ)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关成功的

人数的概率;(Ⅱ) 记游戏 A、B 被闯关成功的总人数为 ,求 的分布列和期望.

7、盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球. 规定取出 1 个红色 球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分 . 现从盒内任取 3 个球(Ⅰ)求 取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (Ⅱ) 求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (Ⅲ) 设 ? 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

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8、如图 3, A , B 两点之间有 6 条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2, 3, 4 . 从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量, 设这三条网线通过的最大信息量之和为 ? (Ⅰ)当 ? ? 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率;
A (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望. (本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 1 1 2 2 考查或然与必 3 4 图3 B

【解析】 (Ⅰ)从 6 条网线中随机任取三条网线共有 ∵1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 , ∴
P ?? ? 6 ? ? 1 ? C 2C 2
1 1

C 6 ? 20
3

种情况? 1 分

C6
1

3

?

1 4

? 2分
1 4

∵1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7 , ∴ ∵1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 , ∴ ∵2 ? 3 ? 4 ? 9 , ∴

P ?? ? 7 ? ? P ?? ? 8 ? ? C2 C6
1 3

C2C2 ? 1
1

C6
1

3

? 3 20

? 3分

C2 ? 1 C6
3

?

.? 4 分

P ?? ? 9 ? ?

?

1 10

.??? 5 分

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∴P

??

? 6 ? ? P ?? ? 6 ? ? P ?? ? 7 ? ? P ?? ? 8 ? ? P ?? ? 9 ?

?

1 4

?

1 4

?

3 20

?

1 10

?

3 4 .

9、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜, 比赛结束) 假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. , (Ⅰ) 求甲以 4 比 1 获胜的概率; (Ⅱ) 求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.
1

【解析】 (Ⅰ) :由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 2 ?1 分
1 3 1 3 1 4?3 1 P ( A) ? C 4 ( ) ( ) ? 2 2 2 8 .??4 分 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A ,则

(Ⅱ) :记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B . 因为乙以 4 比 2 获胜的概率为
5 3 1 3 1 5?3 1 P1 ? C 5 ( ) ( ) ? 2 2 2 32 , 6 分 5 3 1 3 1 6?3 1 P2 ? C 6 ( ) ( ) ? 2 2 2 3 2 ,? 乙以 4 比 3 获胜的概率为

7分 所以
P ( B ) ? P1 ? P2 ? 5 1 6 ?8 分

(Ⅲ)解:设比赛的局数为 X ,则 X 的可能取值为 4, 5, 6, 7 .
1 1 4 1 4 3 1 3 1 4?3 1 P ( X ? 4) ? 2C 4 ( ) ? P ( X ? 5) ? 2 C 4 ( ) ( ) ? 2 8 ,?9 分 2 2 2 4 ,??10 分 5 5 3 1 3 1 5?2 1 3 1 3 1 6?3 1 P ( X ? 6) ? 2C 5 ( ) ( ) ? ? P ( X ? 7) ? 2C 6 ( ) ( ) ? ? 2 2 2 1 6 ,?11 分 2 2 2 1 6 .?12

分 比赛局数的分布列为:
X
P

4

5
1 4

6
5 16

7
5 16

1 8

??13 分
内部资料 - 16 -

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?1? ?2? P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ?3? ?3?
0 4

0

4

?

16 81 ;
2 2

?1? ?2? P ?? ? 1 ? ? C ? ? ? ? ?3? ?3?
1 4

1

3

?

32 81 ;
3 1

?1? ?2? P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ?3? ?3?
2 4

8 ?1? ?2? ? ? P ?? ? 3 ? ? C ? ? ? ? ? 81 27 ; 81 ; ?3? ?3? 24 8
3 4

?1? ?2? P ?? ? 4 ? ? C ? ? ? ? ?3? ?3?
4 4

4

0

?

1 81 .

??11 分 随机变量 ? 的分布列为: 2
8 27

?
P

0
16 81

1
32 81

3
8 81

4
1 81

?????????12 分
E? ? 0 ? 16 81 ? 1? 32 81 ? 2? 24 81 ? 3? 8 81 ? 4? 1 81 ? 4 3 ????????13 分

所以

内部资料

- 17 -

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11、2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大 型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示: ⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数值) ;⑵从本周内该银行所借 贷客户中任意选取两位,求他们贷款年限相同的概率; ⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续 10 个星期不变,在这段时间里,每星期都从借贷客 户中选出一人,记 ? 表示其中贷款年限不超过 20 年得人数, 求 E ( ? ) .新课标第一网 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉 及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法. 【 解 析 】 ⑴ 平 均 年 限
n ? 10 ? 10 ? 15 ? 10 ? 20 ? 25 ? 25 ? 20 ? 30 ?15 80 ? 22(年 ) .

(4 分)

P ?

C10 ? C10 ? C 25 ? C 20 ? C15
2 2 2 2 2

⑵所求概率 ⑶由条件知 ? ~ B (1 0,
9 16 ) ,所以 E ? ? 1 0 ? 9 16 ? 45 8

C 80

2

?

137 632

.

(8 分)

. (12 分)

12、为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 500 名 志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、② 位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) ,再根据频率分布直方图估计 这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分 层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人, 记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 分组(单位:岁) 布直方图如图所示. 频数 频率 【解析】 (Ⅰ)①处填 20,②处填 0.35;补全频率分

内部资料

- 18 -

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根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)的人数为 500×0.35=175.?? (4 分)

13、某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五 组,得到频率分布表如下表所示。

(1)请求出①②位置相应的数字,填在答题卡相应位置上,并补全频率分布直方图; (2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法 抽取 12 人进入第二轮面试,求第 3、4、5 组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试;假定考 生“XXX”笔试成绩为 178 分,但不幸没入选这 100 人中,那这样的筛选方法对该生而言公平 吗?为什么? (3)在(2)的前提下,学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受“王 教授”的面试,设第 4 组中被抽取参加“王教授”面试的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
内部资料 - 19 -

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【解析】 (1) 由题意知,5 组频率总和为 1 , 故第 3 组频率为 0.3 , 即①处的数字为 0.3 ; ?? 1分 总的频数为 1 0 0 ,因此第 4 组的频数为 2 0 ,即②处数字为 2 0 ??2 分频率分布直方图如下:

30

4 5 (2)第 3、、 组共 6 0 名学生,现抽取 12 人,因此第 3 组抽取的人数为: 6 0
20
4 组抽取的人数为: 6 0

? 12= 6

人,第 ??7 分

? 12= 4

10

? 12= 2

人,第 5 组抽取的人数为: 6 0

人.

公平:因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 1 0 0 人,每个人被抽到的概率是相同 的. ?8 分(只写“公平”二字,不写理由,不给分)
1、、 (3) ? 的可能取值为 0、 2 3.

P (? ? 0 ) ? C4
3 3

C8

3

C12 ? 1 55

3

?

14 55

P ( ? ? 1) ?

C8 C4 C12
3

2

1

?

28 55

P (? ? 2 ) ?

C 8C 4 C12
3

1

2

?

12 55
2

P ( ? ? 3) ?

C12

?
P

0
14 55

1

3
1 55

? 的分布列为:

??11 分
? E? ? 0 ? 14 55 ? 1? 28 55 ? 2? 12 55 ? 3? 1 55 ?1

28 55

12 55

??12 分

内部资料

- 20 -

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【解析】(Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天,
16 ? 8 15

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 4分 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,则
P ? X ? 0? ? C 22 C 30
2 2

30

.???????

?

231 435

P ? X ? 1? ?

C 8 C 22 C 30
2

1

1

?

176 435

P ? X ? 2? ?

C8

2

,

,

C 30

2

?

28 435

所以 X 的分布列为:
X
P

0
231 435

1

2

176 435

28 435

??12 分

15、户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关, 对本单位的 50 名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表: 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 5
内部资料

- 21 -

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女性 合计

10 50
3

已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 5 .(Ⅰ)请将上面的列联 表补充完整; Ⅱ) ( 是否有 99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由; Ⅲ) ( 经进一步调查发现,在喜欢户外运动的 10 名女性员工中,有 4 人还喜欢瑜伽.若从喜欢户外 运动的 10 位女性员工中任选 3 人,记 ? 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 下面的临界值表仅供参考:
P(K
2

? k)

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

参考公式:K =

n(ad ? bc)



( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其 中 n ? a ? b ? c ? d


3

【解析】 (Ⅰ) ? 在全部 50 人中随机抽取 1 人的概率是 5 ,? 喜欢户外活动的男女员工共 30,其中,男员工 20 人,列联表补充如下

男性 女性 合计

喜欢户外运动 20 10 30

不喜欢户外运动 5 15 20

合计 25 25 50

16、在某医学实验中,某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系, 选取六只实验动物进行血检,得到如下资料: 动物编号 1 2 3 4 5 6 用药量 x(单 位) 抗体指标 y (单位) 1 3.4 3 3.7 4 3.8 5 4.0 6 4.2 8 4.3

记 s 为抗体指标标准差,若抗体指标落在 ( y ? s , y ? s ) 内则称该动物为有效动物,否则称为无 效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归方程, 再对被选取的两只动物数据进行检验.

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- 22 -

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【解析】(Ⅰ) y ? 3 . 9 , s ? 0 . 31 .故 1、6 号为无效动物,2、3、4、5 号为有效动物 ----2 分 所以随机变量 ? 的取值为 0,1,2 共 有 C 6 ? 15 种 .
2

记从六只动物中选取两只所有可能结果
P (? ? 1) ? C2 ?C4
1 1

P (? ? 0 ) ?

1 15

?

8 15

P (? ? 2 ) ?

C4

2

?

6 15

15

15

----5 分 分别列为
?

0

1

2

P

1 15

8 15
? 2? 2 5 ? 4 3

2 5





E (? ) ? 0 ?

1 15

? 1?

8 15

---6 分

f ( x) ? x 17、一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数: 1 ,
f2 ( x) ? x
2



f3 ( x ) ? x

3



f 4 ( x ) ? sin x



f 5 ( x ) ? co s x



f6 ( x) ? 2

. (1)现从盒子中任

取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒 子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取, 否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

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- 23 -

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18 、 “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。 ”某科研所为进一步改良肇实, 为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘 分成 n 小片水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种 植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列和数 学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个小片水 塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表: 号码 1 2 3 4 5 6 7 8 品种 A 101 97 92 103 91 100 110 106 品种 B 115 107 112 108 111 120 110 113 分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种 植哪一品种? 【解析】 (1)? 可能的取值为 0, 2, 4. (1 分) 1, 3,
P (? ? 2 ) ? C4 C4 C8
3 4 2 2

P (? ? 0 ) ?

1 C8
4

?

1 70

P (? ? 1) ?

C 4C 4 C8
4

1

3

?

16 70





?

36 70


P (? ? 4 ) ? 1 C8
4

P ( ? ? 3) ?

C4C4 C8
4

1

?

16 70

?

1 70

, 3
16 70

即 ? 的分布列为

?

0
1 70

1
16 70

2
36 70

4
1 70

P

内部资料

- 24 -

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(4 分)
?

的数学期望为

E (? ) ? 0 ?

1 70

? 1?

16 70

? 2?

36 70

? 3?

16 70

? 4?

1 70

? 2

(6 分)

19、某地农民种植 A 种蔬菜,每亩每年生产成本为 7000 元,A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、
1

市场双重影响。预计明年雨水正常的概率为 ,雨水偏少的概率为 3 。若雨水正常,A 种蔬菜
1

每亩产量为 2000 公斤,单价为 6 元/公斤的概率为 4 ,单价为 3 元/公斤的概率为;若雨水偏
1

少, 种蔬菜每亩产量为 1500 公斤, A 单价为 6 元/公斤的概率为, 单价为 3 元/公斤的概率为 3 .(1) 计算明年农民种植 A 种蔬菜不亏本的概率;(2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户, 订单农业”的生产模式,某公司为不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后, 产量不受天气影响,预计每亩产量为 2500 公斤,农民生产的 A 种蔬菜全部由公司收购,为保 证农民每亩预期收入增加 1000 元,收购价格至少为多少?

E? ? 5000 ?

1 6

? 2000 ?

2 9

? 1000 ?

1 2

? 2500 ?

1 9

?

5 0 0 ,?11 分

设收购价格为 a 元/公斤,农民每亩预期收入增加 1000 元,则 2500 a ? 7000 ? 1500 , 即 a ? 3.4 ,所以收购价格至少为 3.4 元/公斤.???12 分 20、甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比赛进行

内部资料

- 25 -

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p( p ?

1

到有一个人比对方多 2 分或比满 8 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为
5

) 2 ,且各局

胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 8 . (I)如右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分 S,T 的程序框图. 其中如果甲获胜,输人 a=l.b=0;如果乙获胜,则输人 a=0,b=1. 请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件?(Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和 E ? . 【解析】 (Ⅰ)程序框图中的①应填 M ? 2 ,②应填 n ? 8 . (注意:答案不唯一.)?????2 分 (Ⅱ)依题意得,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时, 第二局比赛结束时比赛停止.
p ? (1 ? p ) ?
2 2

5 8 ,解得:

p ? 3

3 4或

p ?

1 4,

所以
p ? 1 2 ,所以

p ?

因为

. 4 ??6 分

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