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2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B


2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如题一图, ABCD 是圆内接四边形. AC 与 BD 的交点为

P , 是弧 AB 上一点, E 连接 EP 并延长交 DC 于点 F , G , H 点
分 别 在 CE , DE 的 延 长 线 上 , 满 足 ∠EAG = ∠FAD ,

∠EBH = ∠FBC ,求证: C , D, G , H 四点共圆.
[证] 由已知条件知

∠FAG = ∠FAE + ∠EAG = ∠FAE + ∠FAD = ∠DAE .
…10 分 又 所以

∠DAE + ∠DCE = 180° , ∠FAG + ∠DCE = 180° ,

题一图

从而 A, F , C , G 四点共圆,此圆记为 Γ1 . 同理可证: B, F , D, H 四点共圆,此圆记为 Γ 2 . …20 分 点 E 在圆 Γ1 , Γ 2 内.延长 FE 与圆 Γ1 相交于点 I ,则

IP ? PF = AP ? PC = DP ? PB ,
故 B, F , D, I 四点共圆. 所以 I 在 ?BFD 的外接圆上,故 I 在 Γ 2 上. 再用相交弦定理: …30 分 …40 分

EC ? EG = EF ? EI = ED ? EH ,
故 C , D, G , H 四点共圆. …50 分 答一图

二、 (本题满分 50 分) 求满足下列关系式组

? x2 + y 2 = 2 z 2 , ? ? z < y ≤ z + 50,
的正整数解组 ( x, y , z ) 的个数.
2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 5 页)

[解] 令 r = y ? z ,由条件知 0 < r ≤ 50 ,方程化为

x 2 + ( z + r )2 = 2 z 2 ,即 x 2 + 2 zr + r 2 = z 2 .
因 y ? z = r > 0 ,故 z = x + y ? z > x ,从而 z > x .
2 2 2 2 2

(1)

设 p = z ? x > 0 .因此(1)化为

?2 zp + p 2 + 2 zr + r 2 = 0 .
下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数. 令 r = 2r1 + 1 , p = 2 p1 + 1 ,代入(2)得

(2)

…10 分

2( p12 + p1 ? zp1 + zr1 + r12 + r1 ) + 1 = 0 .

(3) …20 分

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解.

(ⅱ)当 r 为偶数时,设 r = 2r1 ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p = 2 p1 ,代 入(2)化简得

p12 ? zp1 + zr1 + r12 = 0 .
2 2

(4)

由(4)式有 z ( p1 ? r1 ) = p1 + r1 > 0 ,故 p1 > r1 ,从而可设 p1 = r1 + a ,则(4)可化 为 ( r1 + a ) ? za + r1 = 0 ,
2 2

2r12 + 2ar1 ? za + a 2 = 0 .
因z =

(5)

2r12 + 2r1 + a 为整数,故 a 2r12 . a

…30 分

又 z > z ? x = 2 p1 = 2( r1 + a ) ,因此

(r1 + a )2 + r12 = za > 2(r1 + a )a ,得 a 2 < 2r12 ,

a < 2r1 .
因此,对给定的 r1 = 1, 2, ???, 25 ,解的个数恰是满足条件 a <
2 2

2r1 的 2r12 的正因数 a 的
2

个数 N ( r1 ) .因 2r1 不是完全平方数,从而 N ( r1 ) 为 2r1 的正因数的个数 σ (2r1 ) 的一半.即

N (r1 ) = σ (2r12 ) / 2 .

…40 分

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由题设条件, 1 ≤ r1 ≤ 25 .而 25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组: :

A1 = {20 , 21 , 22 , 23 , 24 } , A2 = {2 × 3, 2 × 5, 2 × 7, 2 × 11} , A3 = {22 × 3, 22 × 5} , A4 = {23 × 3} , A5 = {2 × 32 } , B1 = {3,5, 7,11,13,17,19, 23} , B2 = {32 ,52 } , B3 = {3 × 5,3 × 7} ,
从而易知

N ( A1 ) = N (20 ) + N (21 ) + N (22 ) + N (23 ) + N (24 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 , N ( A2 ) = N (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 , N ( A3 ) = 9 × 2 = 18 , N ( A4 ) = 12 , N ( A5 ) = 10 , N ( B1 ) = 3 × 8 = 24 , N ( B2 ) = 5 × 2 = 10 , N ( B3 ) = 9 × 2 = 18 ,
将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131. 三、 (本题满分 50 分) 设 ak > 0 ,k = 1, 2,? , 2008 .证明:当且仅当 ∑ ak > 1 时,存在数列 { xn } 满足以下条件:
k =1 2008

…50 分

(ⅰ) 0 = x0 < xn < xn +1 , n = 1, 2,3, ? ;
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(ⅱ) lim xn 存在;
n →∞

(ⅲ) xn ? xn ?1 = ∑ ak xn + k ? ∑ ak +1 xn + k , n = 1, 2,3,? .
k =1 k =0

2008

2007

[证] 必要性:假设存在 { xn } 满足(ⅰ)(ⅱ) , .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 = ∑ ak ( xn + k ? xn + k ?1 ) , n ∈ N , k =1 2008

其中 x0 = 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 = 0 得

xn = a1 ( xn +1 ? x1 ) + a2 ( xn + 2 ? x2 ) + ? + a2008 ( xn + 2008 ? x2008 ) .
由(ⅱ)可设 b = lim xn ,将上式取极限得
n →∞

…10 分

b = a1 (b ? x1 ) + a2 (b ? x2 ) + ? + a2008 (b ? x2008 ) = b ? ∑ ak ? ( a1 x1 + a2 x2 + ? + a2008 x2008 )
k =1 2008

< b ? ∑ ak ,
k =1

2008

因此 ∑ ak > 1 .
k =1

2008

…20 分
2008 k =1

充分性:假设 ∑ ak > 1 .定义多项式函数如下:

f ( s ) = ?1 + ∑ ak s k , s ∈ [0,1] ,
k =1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) = ?1 < 0 , f (1) = ?1 + ∑ ak > 0 .
k =1

2008

因此方程 f ( s ) = 0 在[0,1]内有唯一的根 s = s0 ,且 0 < s0 < 1 ,即 f ( s0 ) = 0 .
n

…30 分

k 下取数列 { xn } 为 xn = ∑ s0 , n = 1, 2,? ,则明显地 { xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且 k =1

k xn = ∑ s0 = k =1

n

n s0 ? s0 +1 . 1 ? s0 n +1

n 因 0 < s0 < 1 ,故 lim s0 +1 = 0 ,因此 lim xn = lim s0 ? s0 n →∞ n →∞ n →∞ 1 ? s 0

=

s0 ,即 { xn } 的极限存在,满 1 ? s0
…40 分

足(ⅱ) .
k 最后验证 { xn } 满足(ⅲ) ,因 f ( s0 ) = 0 ,即 ∑ ak s0 = 1 ,从而 k =1 2008

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n k n n xn ? xn ?1 = s0 = ( ∑ ak s0 ) s0 = ∑ ak s0 + k = ∑ ak ( xn + k ? xn + k ?1 ) . k =1 k =1 k =1

2008

2008

2008

, , . 综上,已证得存在数列 { xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)

…50 分

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)试题参考答案及评分标准 第 5 页(共 5 页)


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