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2018高中数学新人教版必修2教案:第2章 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 含答案

2.2 2.2.1 2.2.2 直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 1.理解直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理.(重点) 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理,并知道 其地位和作用.(易混点) 3.能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 直线与平面平行的判定定理 阅读教材 P54~P55“例 1”以上的内容,完成下列问题. 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直 自然语言 线与此平面平行 符号语言 图形语言 a?α,b?α,且 a∥b?a∥α 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c ) C.b?α,A、B∈a,C、D∈b,且 AC=BD D.a?α,b?α,a∥b 【解析】 A 错误,若 b?α,a∥b,则 a∥α 或 a?α;B 错误,若 b?α,c∥α, a∥b,a∥c,则 a∥α 或 a?α;C 错误,若满足此条件,则 a∥α 或 a?α 或 a 与 α 相 交;D 正确. 【答案】 教材整理 2 D 平面与平面平行的判定定理 阅读教材 P56~P57“例 2”以上的内容,完成下列问题. 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两 自然语言 个平面平行 符号语言 a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α 图形语言 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平 行.( ) (2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异 面.( ) ) ) (3)平行于同一平面的两条直线平行.( (4)若 α∥β,且直线 a∥α,则直线 a∥β.( 【解析】 行. (1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两个平面平 (2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公共点,则它 们平行或异面. (3)错误.两条直线平行或相交或异面. (4)错误.直线 a∥β 或直线 a?β. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× [小组合作型] 直线与平面平行的判定 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面 内,P,Q 分别是对角线 AE,BD 上的点,且 AP=DQ(如图 221).求证:PQ ∥平面 CBE. 图 221 【精彩点拨】 CBE. 【自主解答】 MN,如图, 则 PM∥QN, ∴EP=BQ. 在平面 CBE 中找一条直线与 PQ 平行,从而证明 PQ∥平面 作 PM∥AB 交 BE 于点 M,作 QN∥AB 交 BC 于点 N,连接 PM EP QN BQ = , = .∵EA=BD,AP=DQ, AB EA CD BD 又 AB=CD,∴PM 綊 QN, ∴四边形 PMNQ 是平行四边形, ∴PQ∥MN. 又 PQ?平面 CBE,MN?平面 CBE, ∴PQ∥平面 CBE. 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行,关键是寻找平面内与已 知直线平行的直线. 2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分 线段成比例定理、平行公理等. 图 222 [再练一题] 1.如图 222,四边形 ABCD 是平行四边形,S 是平面 ABCD 外一点,M 为 SC 的中点,求证:SA∥平面 MDB. 【证明】 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OM. ∵M 为 SC 的中点,O 为 AC 的中点,∴OM∥SA, ∵OM?平面 MDB,SA?平面 MDB, ∴SA∥平面 MDB. 平面与平面平行的判定 如图 223,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点. 图 223 求证:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 MAN∥平面 EFDB. 【精彩点拨】 (1)欲证 E、F、B、D 四点共面,需证 BD∥EF 即可. (2)要证平面 MAN∥平面 EFDB,只需证 MN∥平面 EFDB,AN∥平面 BDFE 即可. 【自主解答】 (1)连接 B1D1, ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点, ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面. (2)易知 MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD. 又 MN?平面 EFDB,BD?平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 MF.∵M、F 分别是 A1B1、C1D1 的中点, ∴MF∥A1D1,MF=A1D1. ∴MF∥AD,MF=AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形,∴AM∥DF. 又 AM?平面 BDFE,DF?平面 BDFE, ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN=M, ∴平面 MAN∥平面 EFDB. 1.要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一 个平面平行,而要证明线面平行,还要通过证明线线平行,注意这三种平行之间 的转化. 2.解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转 化. [再练一题] 2.如图 224 所示,已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形,E,F,H 分别为 AB,CD,PD 的中点. 图 224 求证:平面 AFH∥平面 PCE. 【证明】 因为 F,H 分别为 CD,PD 的中点,所以 FH∥PC, 因为 PC?平面 PCE,FH?平面 PCE,所以 FH∥平面 PCE. 又由已知得 AE∥CF 且 AE=CF, 所以四边形 AECF 为平行四边形, 所以 AF∥CE,而 CE?平面 PCE,AF?平面 PCE, 所以 AF∥平面 PCE. 又 FH?平面 AFH,AF?平面 AFH,FH∩AF=F,所

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