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立体几何中与球有关的“内切” 与“ 外接”问题的研究

立体几何中与球有关的“内切” 与“ 外接”问题的研究
纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想 象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼 的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇 到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

1 球与柱体
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结 合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体

发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通 过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.

O 的表面上,E,F 分别是棱 AA1 ,DD1 的 例 1 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球
中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为( A. ) D. 2

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

1.2 球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球 . 但是不一定存在内切球 . 设长方体的棱长为

a, b, c, 其体对角线为 l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接
球的道理是一样的,故球的半径 R ?

l a 2 ? b2 ? c 2 ? . 2 2

例 2 在长、宽、高分别为 2,2,4 的长方体内有一个半径为 1 的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间 部分的体积为( 10π A. 3 B.4π ) 8π C. 3 7π D. 3

1.3 球与正棱柱

R 的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 例 3 正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的各顶点都在半径为
为 .

值,

2

球与锥体
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种

形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

R?r ?

2 a2 6 6 2 解得: R ? a,R 2 ? r 2 ? CE = , a, r ? a. 这个解法是通过利用两心合一的思路,建 4 12 3 3

立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心 O 为正四面体高的四等分点.如果我们 牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便. 例 4 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最 小值为 ( A. ) B. 2+

3?2 6 3

2 6 3

C. 4+

2 6 3

D.

4 3 ?2 6 3

球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到 地面距离的 3 倍.] 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形

例5

在正三棱锥 S ? ABC 中, M 、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 AM ? MN ,若侧棱 SA ? 2 3 ,则正

2.3

球与正棱锥 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根

据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与 正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱 锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例 6 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥外接球的 体积为( A. ? B. )

? 3

C. 4 ?

D.

4? 3

接球的球心,则 R ?

SC . 2

例 7 矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D , 则四面体

ABCD 的外接球的体积是(
A.

) D.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

125 ? 3

3

球与球
对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需

掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化 平面问题求解.

4

球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位

置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解 .如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一 半: r ? ?

2 a. 4

例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四

综合上面的四种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通 过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面 体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面 体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果 是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.


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