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2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(B卷)


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2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 B 卷) (
(考试时间:10 月 17 日上午 9:00-12:10) 题号 得分 评卷人 复核人 一 二 三 四 合计

考生注意: 考生注意: 1.本卷共四大题,全卷满分 180 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答,解题书写不要超出装订线。 3.不能用计算器。 一、 (本题满分 40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O , K 是边 BC 上 一点(不是边 BC 的中点) D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交 , 于点 N , 直线 CD 与 AB 交于点 M . 求证: OK ⊥ MN , A, , , 四 若 则 B C D 点共圆。

得分 评卷人

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二、 (本题满分 40 分)设 m 和 n 是大于 1 的整数,求证:

1m + 2m + L + n m =

m m ?1 n 1 ? ? ?? k ( n + 1) ∑ Cm n k ? ∑ ? Cmj +1 ∑ i j ? ? . ? m +1 ? k =1 j =1 ? i =1 ??

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三、 (本题满分 50 分)设 x , , 是非负实数,求证: y z

? x2 + y 2 + z 2 ? ? xy + yz + zx ? ≤ ( x 2 ? xy + y 2 )( y 2 ? yz + z 2 )( z 2 ? zx + x 2 ) ≤ ? ? ? ? 3 2 ? ? ? ?
3

3



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得分 评卷人

四 、 本 题 满 分 50 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 , r = k + (

1 ,记 2

f ( ) ( r ) = f ( r ) = r [r ] .
1

f ( ) (r ) = f f (
l

(

l ?1)

( r ) ) , l ≥ 2 .证明:存在正整数 m ,使得 f ( m) ( r ) 为一个整数。这里 [ x ] 表
?1? ? ?

示不小于实数 x 的最小整数。例如: ? ? = 1 , [1] = 1 . 2

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2010 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(B 卷) 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准( 联合竞赛加试试题参考答案及评分标准
说明: 说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确, 当划分档次评分, 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 当划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 (本题满分 一、 本题满分 40 分) ( 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) 是线段 AK ,D 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A, B,D,C 四点共圆. 证明:用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设 证明 A 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK 2 = P 的幂(关于⊙O)+ K 的幂(关于⊙O)
O

= ( PO ? r
2 2

2

) + ( KO
2 2 2

2

? r ),
2 2

B

EK D

C

同理

QK = ( QO ? r
2

) + ( KO
2

?r
2

2

),
M

P

Q

N

所以

PO ? PK = QO ? QK ,
OK ⊥ PQ .
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是



(10 分)

AQ AP = . QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? = 1, BD EA QN



MC DE AP ? ? = 1. CD EA PM
由①,②,③可得



NB MC = , BD CD
所以

(30 分)

ND MD = ,故△DMN ∽ △DCB,于是 ∠DMN = ∠DCB ,所以 BC∥MN,故 OK⊥BC, BD DC
(40 分)

即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆.

2 注 1:“ PK = P 的幂(关于⊙O) + K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得

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PK ? KF = AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



∠PFE = ∠PAE = ∠BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF = PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 = PE ? PC ? AK ? KE

= P 的幂(关于⊙O) + K 的幂(关于⊙O) .
注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

(本题满分 二、 本题满分 40 分) ( 设 m 和 n 是大于 1 的整数,求证:

1m + 2m + L + n m =
证明: 证明:由(q + 1)
m +1

m m ?1 n 1 ? k k j j ? ?(n + 1)∑ Cm n ? ∑ (Cm +1 ∑ i ) ? . m +1? k =1 j =1 i =1 ?

j = ∑ Cm +1q j 得到 j =0

m +1

j (q + 1) m +1 ? q m +1 = ∑ Cm +1q j , j =0

m

分别将q = 1, 2,L , n代入上式得:
j 2m +1 ? 1 = ∑ Cm +1 , j =0 m

j 3m +1 ? 2m +1 = ∑ Cm +1 2 j , j =0

m

LL
j n m +1 ? (n ? 1)m +1 = ∑ Cm +1 (n ? 1) j , j =0 m

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j (n + 1) m +1 ? n m +1 = ∑ Cm +1n j . j =0

m

将上面n个等式两边分别相加得到:
j (n + 1) m +1 ? 1 = ∑ (Cm +1 ∑ i j ), j =0 i =1 m n

(20 分)

(n + 1)(n + 1) m ? 1 = n + ∑ Cm +1 ∑ i j) (m + 1)∑ i m , ( j +
j =1 i =1 i =1

m ?1

n

n

1m + 2m + L + n m =
(本题满分 三、 本题满分 50 分) ( 设 x, y , z 为非负实数, 求证:

m m ?1 n ? 1 ? k j (n + 1)∑ Cm n k ? ∑ (Cm +1 ∑ i j ) ? . ? m +1? k =1 j =1 i =1 ?

(40 分)

(

xy + yz + zx 3 x2 + y 2 + z 2 3 ) ≤ ( x 2 ? xy + y 2 )( y 2 ? yz + z 2 )( z 2 ? zx + x 2 ) ≤ ( ) . 3 2
1 1 x 2 ? xy + y 2 = [( x + y ) 2 + 3( x ? y )2 ] ≥ ( x + y ) 2 , 4 4 1 1 ( y + z ) 2 , z 2 ? zx + x 2 ≥ ( z + x) 2 ; 4 4 1 [( x + y )( y + z )( z + x)]2 64

证明: 证明:首先证明左边不等式. 因为

同理,有

y 2 ? yz + z 2 ≥
于是

(10 分)

( x 2 ? xy + y 2 )( y 2 ? yz + z 2 )( z 2 ? zx + x 2 ) ≥ =

1 [( x + y + z )( xy + yz + zx) ? xyz ]2 ; (20 分) 64 1 由算术-几何平均不等式, 得 xyz ≤ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ,所以 9 1 ( x 2 ? xy + y 2 )( y 2 ? yz + z 2 )( z 2 ? zx + x 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 ( xy + yz + zx) 2 81 1 2 xy + yz + zx 3 = ( x + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx)( xy + yz + zx) 2 ≥ ( ) . 81 3 左边不等式获证, 其中等号当且仅当 x = y = z 时成立. (30 分)
下面证明右边不等式. 根据欲证不等式关于 x, y , z 对称, 不妨设 x ≥ y ≥ z , 于是

( z 2 ? zx + x 2 )( y 2 ? yz + z 2 ) ≤ x 2 y 2 ,
所以

( x 2 ? xy + y 2 )( y 2 ? yz + z 2 )( z 2 ? zx + x 2 ) ≤ ( x 2 ? xy + y 2 ) x 2 y 2 .
运用算术-几何平均不等式, 得

(40 分)

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x 2 ? xy + y 2 + xy 2 ) ? xy 2 x 2 ? xy + y 2 + xy 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 3 x2 + y 2 + z 2 3 ≤( ) ?( ) =( ) ≤( ) . 2 2 2 2 右边不等式获证, 其中等号当且仅当 x, y , z 中有一个为 0,且另外两个相等时成立. ( x 2 ? xy + y 2 ) x 2 y 2 = ( x 2 ? xy + y 2 ) ? xy ? xy ≤ (
(本题满分 四、 本题满分 50 分) ( 设 k 是给定的正整数, r = k +

(50 分)

1 (1) (l ) .记 f ( r ) = f (r ) = r ? r ? , f ( r ) = ? ? 2

f ( f (l ?1) (r )), l ≥ 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? x ? 表示不小于实 ? ?
数 x 的最小整数,例如: ? ? = 1 , ?1? = 1 . ?? 2 证明:记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m = v2 ( k ) + 1 时, f ( m ) ( r ) 为整数. 证明 下面我们对 v2 ( k ) = v 用数学归纳法. 当 v = 0 时,k 为奇数, k + 1 为偶数,此时 f ( r ) = ? k + 数. 假设命题对 v ? 1(v ≥ 1) 成立. 对于 v ≥ 1 ,设 k 的二进制表示具有形式

?1? ? ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? ? ? k + ? = ? k + ? ( k + 1) 为整 2?? 2? ? 2?
(10 分)

k = 2v + α v +1 ? 2v +1 + α v + 2 ? 2v + 2 +L ,
这里, α i = 0 或者 1, i = v + 1, v + 2, L . (20 分)

于是

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) = ? k + ? ? k + ? = ? k + ? ( k + 1) 2?? 2? ? 2? ? 1 k + + k2 + k 2 2 1 = + 2v ?1 + (α v +1 + 1) ? 2v + (α v +1 + α v + 2 ) ? 2v +1 + L + 22 v + L 2 1 = k′ + , ① 2 =

(40 分)

这里 k ′ = 2

v ?1

+ (α v +1 + 1) ? 2v + (α v +1 + α v + 2 ) ? 2v +1 + L + 2 2 v + L .显然 k ′ 中所含的 2 的幂次为

1 v ? 1 .故由归纳假设知, r ′ = k ′ + 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f ( v +1) (r ) 是一个整数, 2
这就完成了归纳证明. (50 分)
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