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简单线性规划课件.ppt2


线性规划在实际中的应用
——生活中的最优化问题

课前练习:求z=x-y的取值范围,使式中的x、y满足
约束条件:? x ? 2 y ? 2 ? 0

? ?x ? 2 ? 0 ? y ?1 ? 0 ?

?-1,2? z的取值范围:

[问题情境] 在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定 一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完 成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务, 问怎样统筹安排,能使完成这项任务耗费的人力、物力资 源最小.

实际应用的最优问题
例1 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张
规模类型 钢板类型

钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3

第一种钢板 第二种钢板

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块, 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少?

分析

解决简单线性规划应用题的关键是 (1) 找出线性约束

条件和目标函数; (2)准确画出可行域; (3)利用几何意义, 求 出最优解.

解 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张.

? ?2x+y≥15 ?x+2y≥18 ? ?x+3y≥27 ? ?x≥0,y≥0

.

作出可行域如图(阴影部分)

目标函数为 z=x+y,作出一族平行直线 x+y=t,其中经过可行 域内的点且和原点距离最近的直线,经过直线 x+3y=27 和直线 ?18 39? ? , 2x+y=15 的交点 M? ?5 ?, 5 ? ?

57 18 39 直线方程为 x+y= 5 .由于 5 和 5 都不是整数,而最优解(x,y) 中,x,y 必须都是整数,
所以可行域内点
?18 39? M? 5 , 5 ?不是最优解. ? ?

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=12,
经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解.



要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数

最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二 种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共 12 张.

例2(课本87-88页)某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产 一件甲产品需要4个A配件,耗时1h;每生产一件乙产品需要4个B配件,耗 时2h;该厂每天最多从配件厂获得16个A配件和12个B配件,而且每天工作 时长为不能超过8小时;若每件甲产品获利2万元,每件乙产品获利3万元, 问每天分别生产甲、乙产品多少件获利达到最大?最大利润是多少?

解:设工厂每天生产甲 产品x件,乙产品 y件,每天利润为 z万元,则
?4 x ? 1 6 ? ?4 y ? 1 2 ? ?x ? 2 y ? 8 ?x ? N ? ? ? ? y ? N ?
目标函数为:z=2x+3y



?x ? 4 ? ?y ? 3 ? ?x ? 2 y ? 8 ?x ? N ? ? ? ? y ? N ?

作出可行域为:

因为z=2x+3y,故y= ?

2 z x? 3 3

故直线的截距最大时z最大

令z=0,作过原点的直线2x+3y=0,
对直线进行平移,可知直线经过M点时截距最大,z最大
?x ? 4 ?x ? 4 由? 得? ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? y ? 2 , 故M(4, 2)

故zmax=2×4+3×2 =14(万元)
答:生产4件甲产品和2件乙产品时,获利最大, 最大利润为14万元

解应用题的步骤: 1、设:设立所求的未知数;

2、列:列线性约束条件(即x、y满足的不等式组)目标函数 (要求最值的式子); 3、画:画可行域、需要平移的目标直线,找出最优的直线
(画两条:一条是过原点的,一条是平移的最终位置,都用虚 线); 4、解:联立方程,求交点(最优点)的坐标

5、求:将交点坐标代入式子,算出最值
6、答

例3.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg的碳水化 合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合 物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合 物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮 食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg? 将已知数据列成下表: 食物(kg) A 碳水化合物(kg) 0.105 蛋白质(kg) 0.07 脂肪(kg) 0.14

B

0.105

0.14

0.07

例4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料 是磷酸盐4t、硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、 硝酸盐15 t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66 t,在此基础上生产这两种混合 肥料.若生产1车皮甲种肥料,产生的利润为10000元;生产1车皮乙种肥料, 产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生

最大的利润?
(学生自己尝试解答)


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