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高中数学必修一幂函数经典教案与习题


幂 函 数
一、幂函数定义:对于形如:
定义说明:

f? x ? ? x?

,其中 ? 为常数.叫做幂函数

1、 2、 3、

定义具有严格性, x 系数必须是 1,底数必须是 x

?

? 取值是 R

.

《考试标准》要求掌握α =1、2、3、?、-1 五种情况

习题:定义应用
1、下列函数是幂函数的是 ______

1 y ? ( ) ?2 x ①

② y ? 2x

2

③ y ? ( x ? 1)
2

?1

④y?x

0

⑤ y ?1

? 2 ? ? ? 2 ,2? ? y ? f ? x? ? ,则函数 y ? f ? x ? 的解析式为______. 2、若幂函数 的图像过点 ?
3、已知函数 __________.

f ? x ? ? ? m 2 ? 4m ? 4 ? x m

2

? m ?1

是幂函数,且经过原点,则实数 m 的值为

二、幂函数的图象
幂函数的图像是由 ? 决定的,可分为五类: 1) ?>1 时图像是竖立的抛物线.例如: f? x ? 2) ? =1 时图像是一条直线.即 f ? x ?

? x2

?x

1 时图像是横卧的抛物线.例如 f? x ? 3) 0<?<

?x

1 2

4) ? =0 时图像是除去(0,1)的一条直线.即 f? x ?

? x0 ( x≠0 )

具备规律: ①在第一象限内 x=1 的右侧:指数越 大,图像相对位置越高(指大图高) ②幂指数互为倒数时,图像关于 y=x 对
y=x0

称 ③结合以上规律,要求会做出任意一种 幂函数图像

三、幂函数的性质
, 2, 3, , ? 1 时性质如下表所示: 幂函数中,当 a ? 1 1 2

函数 特征 性质 定义域 值域 单调性 所过定点

y=x R R 增 (1,1) (0,0)

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1
{x| x ? 0}

R [0, ?? ) x ?[0, ? ?) 增 x ? ( ??, 0] 减 (1,1) (0,0)

R R 增 (1,1) (0,0)

[0, ?? ) [0, ?? ) 增 (1,1) (0,0)

{y| y ? 0}

x ? ( 0, ? ?) 增 x ? ( ??,0) 减

(1,1)

结合以上特征,得幂函数的性质如下: (1)所有的幂函数在 (0, ? ?) 都有定义,并且图象都通过点(1,1); (2)当 a 为奇数时,幂函数为奇函数;当 a 为偶数时,幂函数为偶函数;

? ?) 上是增函数; (3)如果 a>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,
(4)如果 a<0,则幂函数在区间 (0, ? ?) 上是减函数

习题:图象及性质应用
1、右图为幂函数 y ? x 在第一象限的图像,则 a, b, c, d 的大小关系是 (
?



( A) a ? b ? c ? d (C ) a ? b ? d ? c

( B) b ? a ? d ? c ( D) a ? d ? c ? b

2、如图:幂函数 y ? x ( m 、 n ? N ,且 m 、 n 互质)的图象在第一,二象限,且不经 过原点,则有 ( ) y

n m

( A) m 、 n 为奇数且 m ? 1 n ( B ) m 为偶数, n 为奇数,且 m ? 1 n (C ) m 为偶数, n 为奇数,且 m ? 1 n ( D) m 奇数, n 为偶数,且 m ? 1 n
3、比较下列各组数的大小: ( 1 ) 1.5 , 1.7 , 1 ; ( 2 ) ? 2
1 3 1 3

x O

?

?

3 7

, ? 3

?

?

3 7

, ? 5

?

?

3 7

? 2? ; ( 3 ) ?? ? 2 ? ? ? ?

?

2 3



4 ? ? 10 ? 3 3. ? ? 1.1 , ? ? ? ? 7 ? ?

?

2

综合练习:
1.下列函数是幂函数的是(
x 2


1 2
?3

A.y=x

B.y=3x

C.y=x +1

D.y=x

2、在函数 y= A、0 个

1 3 2 ,y=2x ,y=x +x,y=1 中,幂函数有 2 x
B、1 个 C、2 个



) D、3 个

3、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

?1.5

,则 C、 y1 ? y3 ? y2
?1.6





A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

D、 y1 ? y2 ? y3

4、比较下列各组数的大小 (1) 3.5
1.7

____3.41.7

(2) 1.20.3 ___1.30.3

(3) 2.4

___2.5?1.6

5 .如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y = xm 和 y = xn 在第一象限的图象,那么一定有 ( ) B.m<n<0 C.m>n>0 D.n>m>0
y c1 c2 0 x

A.n<m<0

6.函数 y ? x 的图象是

4 3

( )

7、若一个幂函数 f ( x) 的图象过点 (2, ) ,则 f ( x) 的解析式为 8、已知函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2
5 3

1 4

m2 ?2m?1

是幂函数,求实数 m 的值为



9、已知 f(x)=x +ax +bx-8,f(-2)=10,则 f(2)=____、 10、函数 y=(x2-2x)2-9 的图象与轴交点的个数是_________。 11、函数 y=(x-1)3+1 的图象的中心对称点的坐标是_________。 12、使 x >x 成立的 x 的取值范围是
2 3





A、x<1 且 x≠0

B、0<x<1

C、x>1

D、x<1 ( C、 a ) D、

13、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A 、 a ?a ? an
m n m

B、

a m ? a n ? a m?n

? ?

m n

? a m?n

1 ? a n ? a 0? n
14、设 f(x)=22x-5×2x-1+1 它的最小值是 A、-0.5 B、-3 C、-
9 16

( D、0

)

15、已知函数 y ? x 2m?1 在区间 ?0,??? 上是增函数,求实数 m 的取值范围为



2 a ?9 16、若函数 f (x) ? (a ? 9a ? 19) x 是幂函数,且图象不经过原点,求函数的解析式.


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