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高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

学业分层测评

(建议用时:45 分钟) [学业达标]

一、选择题

1.已知 a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则 b=( )

A.(2,-4,2)

B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)

D.(2,1,-3)

【解析】 b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=

(2,-4,2). 【答案】 A

2.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 点 C 的距离|CM|的值为( )

53

53

A. 4

B. 2

53 C. 2

13 D. 2

【解析】 ∵AB 的中点 M???2,23,3???,∴C→M=???2,21,3???,故|CM|

=|C→M|=

22+???12???2+32=

53 2.

【答案】 C

3.已知向量 a=(2,3),b=(k,1),若 a+2b 与 a-b 平行,则 k

的值是( )

A.-6

B.-23

2 C. 3

D.14

【解析】 由题意得 a+2b=(2+2k,5),且 a-b=(2-k,2),又

因为 a+2b 和 a-b 平行,则 2(2+2k)-5(2-k)=0,解得 k=23.

【答案】 C

4.如图 3-1-36,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1 = 2,E,F 分别是平面 A1B1C1D1、平面 BCC1B1 的中心,则 E,F 两 点间的距离为( )

图 3-1-36

A.1

5 B. 2

6

3

C. 2

D.2

【解析】 以点 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

E(1,1,

?
2),F?2,1,
?

22???,所以|EF|=

(2-1)2+(1-1)2+??
?

22-

?2 2? =
?

26,故选

C.

【答案】 C

5.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( )

5 A. 5

55 B. 5

35

11

C. 5

D. 5

【解析】 b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+02

=5t2-2t+2=5???t-15???2+95.

∴|b-a|2min=59.

35 ∴|b-a|min= 5 . 【答案】 C

二、填空题

6.已知点 A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0), 点 Q 在直线 OP 上运动,当Q→A·Q→B取得最小值时,点 Q 的坐标为 ________.
【解析】 设O→Q=λO→P=(λ,λ,2λ),故 Q(λ,λ,2λ),故Q→A=(1 -λ,2-λ,3-2λ),Q→B=(2-λ,1-λ,2-2λ).则Q→A·Q→B=6λ2-16λ +10=6???λ-34???2-32,当Q→A·Q→B取最小值时,λ=43,此时 Q 点的坐标为

???43,43,83???.

【答案】 ???43,43,83???

7.若A→B=(-4,6,-1),A→C=(4,3,-2),|a|=1,且 a⊥A→B,

a⊥A→C,则 a=________.

【解析】

??a·A→B=0, ? 设 a=(x,y,z),由题意有 a·A→C=0,代入坐标可解
??|a|=1,

??x=133, ??x=-133, ? ? 得 y=143,或 y=-143,
??z=1123 ??z=-1123.

【答案】 ???133,143,1123???或???-133,-143,-1123???

8.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)

三点共线,则 m+n=________. 【解析】 因为A→B=(m-1,1,m-2n-3),A→C=(2,-2,6),

由题意得A→B∥A→C,则m-2 1=-12=m-26n-3,所以 m=0,n=0,m+n

=0. 【答案】 0 三、解答题 9.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,
4),B(-2,-2,2).

(1)求|2a+b|; 【导学号:18490101】 (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得O→E⊥b?(O 为原点) 【解】 (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1) =(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+(-5)2+52=5 2. (2)O→E=O→A+A→E=O→A+tA→B=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(- 3+t,-1-t,4-2t), 若O→E⊥b,则O→E·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=59, 因此存在点 E,使得O→E⊥b,E 点坐标为???-65,-154,52???. 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 是正方 形 ABCD 的中心. 求证:O→A1⊥A→M. 【证明】 建立空间直角坐标系,如图所示,设正方形的棱长为 1 个单位,则 A(1,0,0),A1(1,0,1),M???0,0,12???,O???12,12,0???.
∴O→A1=???21,-12,1???,A→M=???-1,0,12???. ∵O→A1·A→M=21×(-1)+???-12???×0+1×12=0,

∴O→A1⊥A→M.

[能力提升]

1.已知向量 a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若

a⊥(b-c),则 x 的值为( )

A.-2

B.2

C.3

D.-3

【解析】 ∵b-c=(-2,3,1),a·(b-c)=4+3x+2=0,∴x=

-2.

【答案】 A

2.已知 a=(cos α ,1,sin α ),b=(sin α ,1,cos α ),则向

量 a+b 与 a-b 的夹角是( )

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

【解析】 a+b=(cos α+sin α,2,sin α+cos α),a-b=(cos α

-sin α,0,sin α-cos α),∴(a+b)·(a-b)=0,

∴(a+b)⊥(a-b).

【答案】 A

3.已知 a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且 a 与 b 的夹角

为钝角,则 x 的取值范围是________.

【解析】 因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0,所以 3×(-1)

+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0,解得 x>-2.若 a 与 b 的夹角为π,则 x

5 =3,

所以 x∈???-2,53???∪???35,+∞???.

【答案】 ???-2,53???∪???53,+∞???

4.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC 和平面 A1B1C1 为正三角 形,所有的棱长都是 2,M 是 BC 边的中点,则在棱 CC1 上是否存在点 N,使得异面直线 AB1 和 MN 所夹的角等于 45°? 【导学号:18490102】

【解】 以 A 点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.

由题意知 A(0,0,0),C(0,2,0),B(

3,1,0),B1(

?
3,1,2),M?
?

33 ? 2 ,2,0??.

又点 N 在 CC1 上,可设 N(0,2,m)(0≤m≤2),

则A→B1=(

3,1,2),M→N=??-
?

23,12,m???,

所以|A→B1|=2 2,|M→N|= m2+1,A→B1·M→N=2m-1.

如果异面直线 AB1 和 MN 所夹的角等于 45°,那么向量A→B1和M→N的

夹角等于 45°或 135°.

又 cos〈A→B1,M→N〉=|AA→→BB11|·|MM→→NN|=2

2m-1 .
2× m2+1

所以 2

2m-1 =±
2× m2+1

22,解得

m=-34,这与

0≤m≤2

矛盾.

所以在 CC1 上不存在点 N,使得异面直线 AB1 和 MN 所夹的角等 于 45°.


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