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【人教A版】高中数学选修4-4模块综合检测卷(含答案解析)


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.将点的极坐标(π ,-2π )化为直角坐标为( A.(π ,0) C.(-π ,0) 1.A θ θ ? ? x =?cos +sin ?, ? ? ? 2 2? 2.参数方程? (θ 1 ? ?y=2(1+sin θ ) B.(π ,2π ) D.(-2π ,0) )

为参数,0≤θ <2π )表示(

)

? 1? A.双曲线的一支,这支过点?1, ? ? 2? ? 1? B.抛物线的一部分,这部分过点?1, ? ? 2?
1? ? C.双曲线的一支,这支过点?-1, ? 2? ? 1? ? D.抛物线的一部分,这部分过点?-1, ? 2? ? 2.B 3.在参数方程?
? ?x=a+tcos θ , ?y=b+tsin θ ?

(t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的 )

参数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( A. C.

t1-t2
2

B.

t1+t2
2

|t1-t2| |t1+t2| D. 2 2

3.B 4.设 r>0,那么直线 xcos θ +ysin θ =r 与圆? 系是( ) B.相切 D.视 r 的大小而定
? ?x=rcos φ , ?y=rsin φ ?

(φ 为参数)的位置关

A.相交 C.相离 4.B

/

5.在极坐标系中与圆 ρ =4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρ cos θ =2 B.ρ sin θ =2 π? π? ? ? C.ρ =4sin?θ + ? D.ρ =4sin?θ - ? 3? 3? ? ? 5.A 6. 若双曲线的参数方程为?
? ?x=-2+tan θ , ?y=1+2sec θ ?

)

(θ 为参数), 则它的渐近线方程为(

)

1 1 A.y-1=± (x+2) B.y=± x 2 2 C.y-1=±2(x+2) D.y=±2x 6.C 7.原点到曲线 C:?
?x=3+2sin θ , ? ?y=-2+2cos θ ?

(θ 为参数)上各点的最短距离为(

)

A. 13-2 B. 13+2 C.3+ 13 D. 13 7.A 8.圆 ρ =5cos θ -5 3sin θ 的圆心是( 4π ? ? A.?-5,- ? 3 ? ? π? ? B.?-5, ? 3? ? )

? π? C.?5, ? 3? ?
8.A 9.曲线?

5π ? ? D.?-5, ? 3 ? ?

? ?x=cos θ , ?y=sin θ ?

(θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(

)

A.

1 2 B. 2 2

C.1 D. 2

9.D π? ? 10. 若曲线 ρ =2 2上有 n 个点到曲线 ρ cos?θ + ?= 2的距离等于 2, 则 n=( 4? ? A.1 10.C B.2 C.3 D.4 )

11.集合 M=?(x,y)??
? ?

? ?

?x=3cos θ , ? ? ?? ? N={(x,y)|y=x+ (θ 是参数,0<θ <π ), ? ?? ?y=3sin θ ? /

b},若集合 M∩N≠?,则 b 应满足(
A.-3 2≤b≤3 2 C.0≤b≤3 2

)

B.-3 2<b<-3

D.-3<b≤3 2
2 2

11.解析:集合 M 表示 x +y =9 的圆,其中 y>0,集合 N 表示一条直线,画出集合 M 和 N 表示的图形,可知-3<b≤3 2. 答案:D 12.点 P(x,y)是曲线 3x +4y -6x-8y-5=0 上的点,则 z=x+2y 的最大值和最小 值分别是( )
2 2

A.7,-1 B.5,1 C.7,1 D.4,-1
2 2 ?x=1+2cos θ , (x-1) (y-1) 12. 解析: 将原方程配方得 + =1, 令? (θ 为参数), 4 3 ?y=1+ 3sin θ

π? π? π? ? ? ? 则 x+2y=3+4sin?θ + ?,∴当 sin?θ + ?=1 时,(x+2y)max=7,当 sin?θ + ?=- 6 6 6? ? ? ? ? ? 1 时,(x+2y)min=-1. 答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中的横线上) 13. 设点 p 的直角坐标为(1, 1, 2), 则点 P 的柱坐标是________, 球坐标是________. π ? ? 13.? 2, , 2? 4 ? ? 14.若直线 l1:? ________. 14.-1 15.(2015·深圳市高三第一次调研考试, 理数)在极坐标系中, 曲线 C1:ρ cos θ = 2 与曲线 C2:ρ cos 2θ =1 相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 15.2 16.(2013·广东卷)已知曲线 C 的参数方程为?
2

?2,π ,π ? ? ? 4 4? ?
(t 为参数)与直线 l2:?
? ?x=s, ?y=1-2s ?

? ?x=1-2t, ?y=2+kt ?

(s 为参数)垂直,则 k=

?x= 2cos t, ?y= 2sin t

(t 为参数),C 在点(1,

1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方 程为____________.
/

16.ρ cos θ +ρ sin θ =2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 17.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极 π? π? ? ? 轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为? 2, ?,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?= 4 4? ? ? ?

a,且点 A 在直线 l 上.
(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C 的参数方程为?
?x=1+cos α , ? ? ?y=sin α

(α 为参数),试判断直线 l 与圆的位置关系.

π? π? ? ? 17.解析:(1)由点 A? 2, ?在直线 ρ cos?θ - ?=a 上,可得 a= 2. 4? 4? ? ? 所以直线 l 的方程可化为 ρ cos θ +ρ sin θ =2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y -2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 (x-1) +y =1. 所以圆心为(1,0),半径 r=1, 则圆心到直线 l 的距离 d= 2 <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2
? ?x=t cos α , ?y=t sin α , ?
2 2

18.(2015·全国卷Ⅱ,数学文理 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:?

(t

为参数,且 t≠0),其中 0≤α <π ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

C2:ρ =2sin θ ,C3: ρ =2 3cos θ .
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|最大值. 18.解析:(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y -2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x +y 3 ? ?x= 2 ? 3 ,所以 ?y=2 ?
2 2 2 2

? ?x=0 -2 3x=0,联立两方程解得? 或 ?y=0 ?

C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0,0),

? 3 3? ? , ?. ? 2 2?
(2)曲线 C1 极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α <π ,因此点 A 的极坐标
/

为(2sin α ,α ),点 B 的极坐标为(2 3cos α ,α ). π ?? 5π ?? 所以|AB|=|2sin α -2 3cos α |=4sin??α - ??,当 α = 时|AB|取得最大值,最 3 ?? 6 ?? 大值为 4. π 19.(本小题满分 14 分)已知直线 l 经过 P(1,1),倾斜角 α = . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. π 3 x=1+tcos , ?x=1+ t, ? ? ? 6 2 19.解析:(1)直线的参数方程为? 即? (t 为参数). π 1 ? ?y=1+tsin 6 , ? ?y=1+2t 3 ? ?x=1+ 2 t, 3 ?2 ? 1 ? 2 ? (2)把直线? 代入 x +y =4 得?1+ t? +?1+ t? =4, 2 ? ? 2 ? ? 1 y = 1 + t ? ? 2
2 2 2 2

∴t +( 3+1)t-2=0, ∴t1t2=-2,故点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2. 20.(本小题满分 14 分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2: (x-2) +y =4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 20.解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ =2. 圆 C2 的极坐标方程为 ρ =4cos θ .
?ρ =2, ? π 由? 得:ρ =2,θ =± . 3 ?ρ =4cos θ ?
2 2 2 2

2

π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2, ?,?2,- ?. 3 3? ? ? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)解法一 由 ? 3).
/ ? ?x=ρ cos

θ , 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- ? ?y=ρ sin θ

故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为?
?x=ρ cos ?

?x=1, ? ? ?y=t

(t 为参数,- 3≤t≤ 3).

解法二

将 x = 1 代入 ?

θ ,

?y=ρ sin θ ?

得 ρ cos θ = 1 ,从而 ρ =

1 ? y= cos θ

1 ·sin θ =tan θ , cos θ 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为?
? ?x=1,

?θ 为参数,-π ≤θ ≤π ?. ? ? 3 3? ?y=tan θ ? ?
?x=2cos φ , ? ? ?y=3sin φ

21.(本小题满分 14 分)已知曲线 C1 的参数方程是?

(φ 为参数),以坐标

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2, 正方形 ABCD

? π? 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2, ?. 3? ?
(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围. 21.解析:(1)由已知可得
2 2 2 2

A?2cos

? ? ? ? ?

π π ,2sin ? , 3 3? ? 2?

? ?π π ? ?π π ?? B?2cos? + ?,2sin? + ??, ?3
π ?3 π

?3

2 ??

? ? ? ? ?? C?2cos? +π ?,2sin? +π ??, ?
π ?3

??

? ? D?2cos? + ?3
即 A(1,

3π ? ?π 3π ?? ,2sin? + ??, 2 ? 2 ?? ? ?3

3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

(2)设 P(2cos φ ,3sin φ ), 令 S=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| ,则 S=16cos φ +36sin φ +16=32+20sin φ . 因为 0≤sin φ ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. 1 ? ?x=2(e +e 22. (本小题满分 14 分)分别在下列两种情况下, 把参数方程? 1 ?y=2(e -e ?
t t
-t 2 2 2 2 2 2 2 2

)cos θ , )sin θ

-t

化为普通方程. (1)θ 为参数,t 为常数; (2)t 为参数,θ 为常数.
/

22.解析:(1)当 t=0 时,y=0,x= cos θ ,即|x|≤1,且 y=0; 当 t≠0 时,cos θ = , 1 t -t (e +e ) 2 sin θ = ,而 x +y =1,即 + =1. 1 t -t 1 t -t 2 1 t -t 2 (e -e ) (e +e ) (e -e ) 2 4 4 (2)当 θ =kπ ,k∈Z 时,

x

y

2

2

x2

y2

y=0,x=± (et+e-t),即|x|≥1,且 y=0;
π 1 t -t 当 θ =kπ + ,k∈Z 时,x=0,y=± (e -e ),即 x=0; 2 2

1 2

? ?e +e kπ 当 θ ≠ ,k∈Z 时,有? 2 ? ?e -e
t t

-t

2x 2x 2y t , 2e = + , cos θ cos θ sin θ 即 得 2y 2x 2y -t -t = , 2e = - , sin θ cos θ sin θ =
2 2

? ? ? ? ?

2e ·2e =?
t
-t

? 2x + 2y ?? 2x - 2y ?,即 x - y =1. ?? ? 2 2 cos θ sin θ ?cos θ sin θ ??cos θ sin θ ?

/


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