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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线与圆、圆与圆的位置关系

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

直线与圆、圆与圆的位置关系

[知识能否忆起] 一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r) 相离 相切 相交

图形

量 化

方程观点 几何观点

Δ<0 d>r

Δ=0 d=r

Δ>0 d<r

二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2 半径 r1、r2,d=|O1O2|) 相离 图形 |r1-r2|<d <r1+r2 外切 相交 内切 内含

量化

d>r1+r2

d=r1+r2

d=|r1-r2|

d<|r1-r2|

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离 )

解析:选 B 由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= 5,0<d< 6,故 该直线与圆相交但不过圆心. 2.(2012· 银川质检)由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长 的最小值为( A. 7 C.3 ) B.2 2 D. 2

解析:选 A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆 x2+y2-6x +8=0 可化为(x-3)2+y2=1,则圆心(3,0)到直线 y=x+1 的距离为 小值为 ?2 2?2-1= 7. 4 =2 2,切线长的最 2

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3.直线 x-y+1=0 与圆 x2+y2=r2 相交于 A,B 两点,且 AB 的长为 2,则圆的半径为 ( ) 3 2 A. 2 C.1 B. 6 2

D.2 1 1 3 6 |AB|?2+d2= ,r= . .则 r2=? 2 ? ? 2 2 2

解析:选 B 圆心(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离 d=

4. (教材习题改编)若圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点, 则实数 k 的取值范围是 ________. 解析:由题意知 2 1+k2 3) >1,解得- 3<k< 3.

答案:(- 3,

5.已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦 所在的直线方程是____________. 解析:两圆相减即得 x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性 质,可用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算. 2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.

直线与圆的位置关系的判断

典题导入 [例 1] (2012· 陕西高考) 已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 )

[自主解答] 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程,得 32+02-4×3=9-12=-3<0, 所以点 P(3,0)在圆内. 故过点 P 的直线 l 定与圆 C 相交. [答案] A

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本例中若直线 l 为“x-y+4=0”问题不变. 解:∵圆的方程为(x-2)2+y2=4, ∴圆心(2,0),r=2. 又圆心到直线的距离为 d= ∴l 与 C 相离. 6 =3 2>2. 2

由题悟法 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. (2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交. 以题试法 1. (2012· 哈师大附中月考)已知直线 l 过点(-2,0), 当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点 时,其斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) C.?- ) B.(- 2, 2) 1 1? D.? ?-8,8?

?

2 2? , 4 4?

解析:选 C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线 l 的方程是 y=k(x+2),即 kx -y+2k=0,根据点到直线的距离公式得 |k+2k|
2

1 2 2 <1,即 k2< ,解得- <k< . 8 4 4 k +1 直线与圆的位置关系的综合

典题导入 [例 2] (1)(2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2 =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1 )

(2)(2012· 天津高考)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2 =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3 ] )

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B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) [自主解答] (1)圆 x2+y2=4 的圆心(0,0),半径为 2,则圆心到直线 3x+4y-5=0 的距 离 d= =1. 3 +42
2

5

故|AB|=2

r2-d2=2

4-1=2 3. = 1, 所以 m+n ?m+1?2+?n+1?2 |m+n|

(2)圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为

1 +1=mn≤ (m+n)2,整理得[(m+n)-2]2-8≥0,解得 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. 4 [答案] (1)B (2)D

由题悟法 1.圆的弦长的常用求法: l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d . (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解; 若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解. 以题试法 2.(2012· 杭州模拟)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( 3 ? A.? ?-4,0? C.[- 3, 3] ) B.?-

?

3 3? , 3 3?

2 ? D.? ?-3,0?

解析:选 B 如图,设圆心 C(2,3)到直线 y=kx+3 的距离为 d,若 1 |2k|2 3 |MN|?2≤4-3=1,即 |MN|≥2 3,则 d2=r2-? ≤k≤ 2≤1,解得- ?2 ? 3 1+ k 3 . 3

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圆与圆的位置关系

典题导入 [ 例 3] ( ) A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 (1)(2012· 山东高考 ) 圆 (x+ 2)2+ y2 =4 与圆(x - 2)2 + (y - 1)2=9 的位置关系为

(2)设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1), 则两圆心的距离|C1C2|=________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= = 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. (2)由题意可设两圆的方程为(x-ri)2+(y-ri)2=r2 i ,ri>0,i=1,2.由两圆都过点(4,1)得(4 -ri)2+(1-ri)2=r2 整理得 r2 此方程的两根即为两圆的半径 r1, r2, 所以 r1r2 i, i -10ri+17=0, = 17 , r1 + r2 = 10 , 则 |C1C2| = × 100-68=8. [答案] (1)B (2)8 由题悟法 两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 以题试法 3.(2012· 青岛二中月考)若⊙O:x +y =5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、 B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长是________. 解析:依题意得|OO1|= 1 |AB| 5+20=5,且△OO1A 是直角三角形,S△O O1A= · · |OO1| 2 2
2 2

42+1

?r1-r2?2+?r1-r2?2 = 2 ×

?r1+r2?2-4r1r2 =

2

1 2· |OA|· |AO1| 2× 5×2 5 = · |OA|· |AO1|,因此|AB|= = =4. 2 |OO1| 5 答案:4

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一、选择题 1.(2012· 人大附中月考)设 m>0,则直线 2(x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关 系为( ) B.相交 D.相交或相切

A.相切 C.相切或相离

1+m 1+m 1 解析:选 C 圆心到直线 l 的距离为 d= ,圆半径为 m.因为 d-r= - m= 2 2 2 1 (m-2 m+1)= ( m-1)2≥0,所以直线与圆的位置关系是相切或相离. 2 2.(2012· 福建高考)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的 长度等于( A.2 5 C. 3 ) B.2 3 D.1 4-1=2 3.

解析: 选 B 因为圆心(0,0)到直线 x+ 3y-2=0 的距离为 1, 所以 AB=2

3.(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值 范围是( ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

A.[-3,-1] C.[-3,1]

解析:选 C 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,只需使圆心到直线的 距离小于等于圆的半径 2即可,即 |a-0+1| ≤ 2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2

4.过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则|AB|的最 小值为( A. 2 C.2 ) B. 3 D.3

解析:选 C 设圆上的点为(x0,y0),其中 x0>0,y0>0,则切线方程为 x0x+y0y=1.分别

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1 ? ? 1? 令 x=0,y=0 得 A? ?x ,0?,B?0,y ?,则|AB|=
0 0

? 1 ?2+? 1 ?2= 1 ≥ 1 =2.当且仅当 2 ?x0? ?y0? x0y0 x2 0+y0
2

x0=y0 时,等号成立. 5.(2013· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1, 则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) ) B.( 2-1, D.(0, 2+1)

2+1) 2 = 2 2>1,如图.直

解析:选 A 计算得圆心到直线 l 的距离为

线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1, 故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2+1.

6.(2013· 临沂模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C: x +y2-2y=0 的两条切线, A, B 是切点, 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k 的值为( A. 2 C.2 2 B. 21 2
2

)

D.2 , k2+1 d2-1?=2, 5

解析:选 D 圆心 C(0,1)到 l 的距离 d= 1 所以四边形面积的最小值为 2×? ?2×1× 解得 k2=4,即 k=± 2. 又 k>0,即 k=2.

?

7. (2012· 朝阳高三期末)设直线 x-my-1=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3,则实数 m 的值是________. 解析:由题意得,圆心(1,2)到直线 x-my-1=0 的距离 d= 3 1,解得 m=± . 3 答案:± 3 3 |1-2m-1| 4-3=1,即 = 1+m2

8.(2012· 东北三校联考)若 a,b,c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边),则圆 C:x2 +y2=4 被直线 l:ax+by+c=0 所截得的弦长为________. 解析: 由题意可知圆 C : x2 + y2 = 4 被直线 l : ax + by + c = 0 所截得的弦长为 2

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4-?

? c ?2 2 2 2 2 2? ,由于 a +b =c ,所以所求弦长为 2 3. a + b ? ?

答案:2 3 9.(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切 线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. 解析:∵点 P 在直线 x+y-2 2=0 上,∴可设点 P(x0,-x0+2 2),且其中一个切点为 M.∵两条切线的夹角为 60° ,∴∠OPM=30° .故在 Rt△OPM 中,有 OP=2OM=2.由两点间的距 离公式得 OP= 答案:( 2,
2 x2 0+?-x0+2 2? =2,解得 x0= 2.故点 P 的坐标是(

2,

2).

2)

10.(2012· 福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙ M 于 A,B 两点. (1)若|AB|= 4 2 ,求|MQ|及直线 MQ 的方程; 3

(2)求证:直线 AB 恒过定点. 2 2 解:(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= ,又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,得|MP| 3 = 8 1 12- = , 9 3 又∵|MQ|= |MA|2 ,∴|MQ|=3. |MP| x2+22=3,得 x=± 5,

设 Q(x,0),而点 M(0,2),由

则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0). 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. (2)证明:设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A,B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方 程为 x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得 AB 的方程为 qx 3? -2y+3=0,所以直线 AB 恒过定点? ?0,2?. 2? 11. 已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, 其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

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解:(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为 2?2 2 4 (x-t)2+? ?y- t ? =t +t2, 4 化简得 x2-2tx+y2- y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4? 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B? ?0, t ?, t 1 所以 S△AOB= |OA|· |OB| 2 1 ?4? = |2t|· =4 为定值. 2 ?t? (2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去,∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2), 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由. 解:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的直线 方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、 B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 3 ? 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为? ?-4,0?. 4

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(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2), 4?k-3? 由方程①得 x1+x2=- .② 1+k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 因 P(0,2)、Q(6,0), PQ =(6,-2), 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式, 解得 k=- 3 . 4 3 ? 而由(1)知 k∈? ?-4,0?,故没有符合题意的常数 k.

1.已知两圆 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线 的方程为________________;公共弦长为________. 解析:由两圆的方程 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公 共弦所在直线的方程为 2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线 2x+y-5=0 的距离为 的一半为 50-20= 30,得公共弦长为 2 30. 10 =2 5,弦长 5

答案:2x+y-5=0 2 30 2. (2012· 上海模拟)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0, a1, a2, …, a11 是该圆过点(3,5) 的 11 条弦的长, 若数列 a1, a2, …, a11 成等差数列, 则该等差数列公差的最大值是________. 解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的 10-4 6 5-2 6 弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为 10,最短为 4 6,故公差最大为 = . 10 5 5-2 6 答案: 5 3.(2012· 江西六校联考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l, 焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 π O 作倾斜角为 的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、 3 B,且|AO|=|BO|=2. (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;

PF ,的最小值; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ,·

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(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定 点,并求该定点的坐标. 解:(1)易得 B(1, 3),A(-1,- 3),设圆 M 的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0), 将点 B(1, 3)代入圆 M 的方程得 a=2, 所以圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4, 因为点 A(- p 1,- 3)在准线 l 上,所以 =1,p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2 (2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点 P(x,y),则 PM ,=(2-x,-y), PF ,=(1-x,- y),又点 P 在抛物线 y2=4x 上,所以 PM ,· PF ,=(2-x)(1-x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x

PF ,≥2,即 PM ,·PF ,的最小值为 2. +2,因为 x≥0,所以 PM ,·
(3)证明:设点 Q(-1,m),则|QS|=|QT|= m2+5,以 Q 为圆心, m2+5为半径的圆 的方程为(x+1)2+(y-m)2=m2+5,即 x2+y2+2x-2my-4=0,① 又圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,② 由①②两式相减即得直线 ST 的方程 3x-my-2=0, 2 ? 显然直线 ST 恒过定点? ?3,0?.

1.两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅 有( ) A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条

解析:选 B 由题知 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心 C1(-1,-1),C2:(x-2)2+(y -1)2=4,圆心 C2(2,1),两圆半径均为 2,又|C1C2|= ?2+1?2+?1+1?2= 13<4,则两圆相 交?只有两条外公切线. 2.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直 线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的 最大值是________. 解析:设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= |4k-2|
2

|4k-2|

,由题意知,问题转化 k2+1

为 d≤2,即 d=

4 4 ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 3 3 k +1

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4 答案: 3 3.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 斜率为________. 解析:将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径 r=1.由弦 长为 2得弦心距为 |2k-3| 2 2 .设直线方程为 y+2=k(x+1),即 kx-y+k-2=0,则 = , 2 2 2 k +1 2,则直线 l 的

17 化简得 7k2-24k+17=0,得 k=1 或 k= . 7 17 答案:1 或 7 4.圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程. 解:(1)设圆 O2 的半径为 r2, ∵两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2. (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 2, 又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程:4x+4y+r2 2-8=0. 因为圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 |r2 2-12| = 4 2 2 2?2 4-? = 2, ? 2 ?

2 解得 r2 2=4 或 r2=20.

故圆 O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.


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