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[配套K12]2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念学案 新人教B版选修2-1

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2.1.1 曲线与方程的概念
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方 程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与 方程的关系,强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
知识点一 曲线与方程的概念 思考 1 设平面内有一动点 P,属于下列集合的点组成什么图形? (1){P|PA=PB}(A,B 是两个定点); (2){P|PO=3 cm}(O 为定点).
思考 2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么?
梳理 一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满 足某种条件的点的____________. 一个二元方程总可以通过移项写成 F(x,y)=0 的形式,其中 F(x,y)是关于 x,y 的解析式. 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间具有如下关系: ①________________________都是方程 F(x,y)=0 的解; ②以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在________C 上. 那么,方程 F(x,y)=0 叫做______________;曲线 C 叫做______________. 知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读 思考 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,能否说 f(x,y)=0 是曲线 C 的方 程?试举例说明.
思考 2 方程 x- y=0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线?方程 x-y= 0 呢?
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,是从不同角度出发的两种说法.曲
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教育配套资料 K12 线 C 的点集和方程 f(x,y)=0 的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的 方程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个 方程;条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2) 曲线 的方 程和 方程 的曲 线有 着紧 密的 关系 ,通过 曲线 上的 点与 实数 对 (x, y)建 立了 ______________关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线 的性质.
类型一 曲线与方程的概念理解与应用 命题角度 1 曲线与方程的判定 例 1 命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,下列命题中正确 的是( ) A.方程 f(x,y)=0 的曲线是 C B.方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C C.f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 D.以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上
反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判 定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的“两性”是否都满足,并作出相应的回 答即可.判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程. 跟踪训练 1 设方程 f(x,y)=0 的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都 在曲线 C 上”是不正确的,那么下列命题正确的是( ) A.坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x,y)=0 C.坐标满足方程 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 命题角度 2 曲线与方程的概念应用 例 2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k.
反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即 直观地说“点不比解多”,称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直 观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方 教育配套资料 K12

教育配套资料 K12 程是曲线的方程. 跟踪训练 2 写出方程(x+y-1) x-1=0 表示的曲线.
类型二 曲线与方程关系的应用 例 3 已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断点 P(1,-2),Q( 2,3)是否在此方程表示的曲线上;
(2)若点 M???m2,-m???在此方程表示的曲线上,求 m 的值.
反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时,可以利用曲线与方程的定义;也可利用互为逆否 关系的命题的真假性一致判断. 跟踪训练 3 若曲线 y2-xy+2x+k=0 过点(a,-a)(a∈R),求 k 的取值范围.

1.曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y-3=0 对称的曲线方程为( )

A.f(x-3,y)=0

B.f(y+3,x)=0

C.f(y-3,x+3)=0

D.f(y+3,x-3)=0

2.方程 xy2-x2y=2x 所表示的曲线( )

A.关于 x 轴对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 x-y=0 对称

3.方程 4x2-y2+6x-3y=0 表示的图形为________.

4.若曲线 ax2+by2=4 过点 A(0,-2),B(12, 3),则 a=________,b=________.

5.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0 表示的图形是________.

1.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方程的解,是否适合 方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上. 2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问 题.
提醒:完成作业 第二章 2.1.1
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答案精析
问题导学 知识点一 思考 1 (1)线段 AB 的垂直平分线; (2)以 O 为圆心,3 cm 为半径的圆. 思考 2 y=±x.在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0,y0)满足 y0=x0 或 y0=-x0,即(x0,y0)是方程 y=±x 的解;反之,如果(x0,y0)是方程 y=x 或 y=-x 的解, 那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等. 梳理 轨迹方程 ①曲线 C 上点的坐标 ②曲线 曲线的方程 方程的曲线 知识点二 思考 1 不能.还要验证以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线 C 为“以原点为圆心,以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程 x2+y2=4”,曲线上的点都满 足方程,但曲线的方程不是 x2+y2=4. 思考 2 方程 x- y=0 不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、 三象限角平分线上的点不全是方程 x- y=0 的解.例如,点 A(-2,-2)不满足方程, 但点 A 是第一、三象限角平分线上的点.方程 x-y=0 能够表示第一、三象限的角平分线. 梳理 (2)一一对应 题型探究 例1 B 跟踪训练 1 D 例 2 证明 ①如图,设 M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.
因为点 M 与 x 轴的距离为|y0|,与 y 轴的距离为|x0|,所以|x0|·|y0|=k, 即(x0,y0)是方程 xy=±k 的解. ②设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程 xy=±k 的解,则 x1y1=±k,即|x1|·|y1|=k. 而|x1|,|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离,因此点 M1 到这两条直线的距离的积是常数 k,
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教育配套资料 K12 点 M1 是曲线上的点.由①②可知,xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点 的轨迹方程. 跟踪训练 2 解 由方程(x+y-1)· x-1=0 可得?????xx- +1y≥ -10, =0 或 x-1=0.即 x+y- 1=0(x≥1)或 x=1, ∴方程表示直线 x=1 和射线 x+y-1=0(x≥1). 例 3 解 (1)∵12+(-2-1)2=10, ( 2)2+(3-1)2=6≠10, ∴P(1,-2)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上,Q( 2,3)不在此曲线上.
(2)∵M???m2,-m???在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上,∴???m2???2+(-m-1)2=10.解得 m=2 或 m=-158. 跟踪训练 3 解 ∵曲线 y2-xy+2x+k=0 过点(a,-a), ∴a2+a2+2a+k=0. ∴k=-2a2-2a=-2???a+12???2+12. ∴k≤12, ∴k 的取值范围是???-∞,12???.
当堂训练 1.D 2.C 3.两条相交直线 4.4 1 5.4 个点
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