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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-1配套课件:2.2.2-椭圆的几何性质第1课时


数学[RB· 选修2-1]
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

2.2.2 第 1 课时

椭圆的几何性质 椭圆的几何性质

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●三维目标 1.知识与技能

(教师用书独具)

掌握椭圆的几何性质, 理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导 的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题. 2.过程与方法 通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程, 培养学生观 察、分析问题的能力,利用数形结合思想解决问题的能力.
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3.情感、态度与价值观 通过数与形的辨证统一,对学生进行辨证唯物主义教育,通 过对椭圆对称美的感受,激发学生对美好事物的追求. ●重点难点
重点:由标准方程分析出椭圆的几何性质. 难点:椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法. 对重难点的处理:为了突出重点,突破难点,应做好:(1) 让学生自主探索新知;(2)重难点之处进行反复分析;(3)及时巩 固.
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课标解读

1.掌握椭圆的几何性质,了解椭 圆标准方程中a、b、c的几何意 义.(重点) 2.会用椭圆的几何意义解决相关 问题.(难点)

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椭圆的简单几何性质
【问题导思】 x2 y2 1.观察椭圆a2+b2=1(a>b>0)的形状,你能从图中看出 x、 y 的取值范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特 殊?

图 2-2-1
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【提示】

椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部,-

a≤x≤a,-b≤y≤b,椭圆关于坐标轴对称.椭圆与坐标轴的四 个交点比较特殊.

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x2 y2 2.如何由椭圆a2+b2=1(a>b>0)求出椭圆与 x、y 轴的交 点坐标?
【提示】 只要令 x=0 或 y=0 求解即可.

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焦点的 位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 -a≤x≤a且 -b≤y≤b

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -b≤x≤b且 -a≤y≤a

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焦点的 位置 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 短轴长= 2b ,长轴长= 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2 |= 2c 对称轴为 坐标轴 ,对称中心为 原点

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椭圆的离心率

【问题导思】 1. 观察不同的椭圆, 我们会发现, 椭圆的扁平程度不一. 对 x2 y2 于椭圆a2+b2=1(a>b>0), 若令 a 不变, b 怎样变化时椭圆形状 越圆(扁)?此时 c 的情况如何?

【提示】 当 a 值不变,b 越大,即 c 越小时,椭圆形状越 圆;b 越小即 c 越大时,椭圆形状越扁.
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c 2.若用a来描述椭圆的扁平情况会是怎样的?
【提示】 c 意:0<a<1). c c a越小椭圆形状越圆;a越大椭圆形状越扁.(注

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c 1.定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e=a,叫做椭圆的
离心率



2.性质:离心率 e 的范围是 (0,1) .当 e 越接近 1 时,椭 圆 越扁 ;当 e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆.

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根据椭圆的方程研究其几何性质

3 已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 2 ,
2 2

求椭圆的长轴长、短轴长、焦点.
【思路探究】 根据已知条件,如何求出 a、b、c 的值?

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【自主解答】 x2 y2 方程化为m+ m =1(m>0), m+3
2 m +2m m 2 ,c = . m+3 m+3

∴a= m,b=

2 m +2m 3 3 又 e= 2 ,则4= ,∴m=1, m?m+3?

1 3 从而 a=1,b=2,c= 2 . ∴椭圆的长轴长 2a=2,短轴长 2b=1, 焦点坐标
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? F1? ?- ?

? ? 3 ? 3 ? ? ? , F , 0 , 0 2? ? ?. 2 2 ? ? ?

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确定椭圆的几何性质的四个步骤 (1)化标准:把椭圆方程化成标准形式. (2)定位置:根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数:写出 a,b 的值,并求出 c 的值. (4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.

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x2 y2 已知椭圆 C1:100+64=1,设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、 短轴长分别相等,且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上. (1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2 的方程,并研究其性质.

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x2 y2 【解】 (1)由椭圆 C1:100+64=1 可得其长半轴长为 10, 3 短半轴长为 8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率 e=5; y2 x 2 (2)椭圆 C2:100+64=1,

性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于 x 轴、y 轴、原点对称; ③顶点: 长轴端点(0,10), (0, -10), 短轴端点(-8,0), (8,0); 3 ④离心率:e=5.
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由几何性质求椭圆的标准方程
3 (1)焦距为 6,离心率 e=5,焦点在 x 轴上的椭圆的 标准方程是( x2 y2 A. 4 + 5 =1 ) x2 y 2 B.16+25=1

x2 y2 x2 y2 C. 5 + 4 =1 D.25+16=1 (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 A(2,0),求

椭圆的标准方程.
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【思路探究】

1.如果只给离心率的值方程能确定吗?2.题
c 3 (1)由条件知 2c=6,且a=5.

(2)中焦点的位置是确定的吗?
【自主解答】

解得 c=3,a=5,从而 b2=a2-c2=16. 又∵焦点在 x 轴上, 所以椭圆的标准方程为 x 2 y2 25+16=1.
【答案】 D
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数学[RB· 选修2-1] x2 y2 (2)若椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>
0), 4 ∵椭圆过点 A(2,0),∴a2=1,a=2. x2 2 ∵2a=2×2b,∴b=1,∴方程为 4 +y =1. y2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 02 4 ∵椭圆过点 A(2,0),∴a2+b2=1, ∴b=2,由 2a=2×2b,∴a=4,
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y 2 x2 ∴方程为16+ 4 =1. x2 2 y2 x 2 综上所述,椭圆的标准方程为 4 +y =1 或16+ 4 =1.

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1.根据几何性质求椭圆方程的两个关键

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2.求椭圆标准方程的一般方法及步骤 (1)基本方法:待定系数法. (2)一般步骤:

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(1)本例题(1)中把“焦点在 x 轴上”去掉,结果如何? (2)本例题(2)中把“经过点 A(2,0)”改为“焦点为(2,0)”, 结 果如何?

【解】 (1)焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, 由于 a=5,b2=16, x2 y 2 y2 x2 故标准方程为25+16=1 或25+16=1.

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(2)∵焦点为(2,0), ∴椭圆的焦点在 x 轴上且 c=2,由条件知 2a=2×2b, ∴a=2b.又 a2-b2=c2, 4 16 2 ∴(2b) -b =4,即 b =3,a = 3 ,
2 2 2

x2 y2 ∴椭圆的标准方程为16+ 4 =1. 3 3

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求椭圆的离心率

(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等,求椭圆的离心 率. (2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,求 该椭圆的离心率.
c 【思路探究】 (1)能否推导出 a 与 c 的关系进而求出a的值? c (2)能否由已知条件构造关于a的方程求解?
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2 2 2 c c c 【自主解答】 (1)由题意得: b=c, ∴e2=a2= 2 2=2c2= b +c

1 2 2,∴e= 2 . (2)由题意得:2b=a+c,∴4b2=(a+c)2. 又∵a2=b2+c2,∴4(a2-c2)=a2+2ac+c2.
?c? c ? ?2=0. 即 3a -2ac-5c =0,∴3-2· - 5· a ?a?
2 2



?c ? c c 3 2 ? ? 5· +2· a-3=0,∴e=a=5. ?a?

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椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量, 它是椭圆的半焦距 和长半轴长的比值.由于 a,b,c 的关系,这个比值可以通过三 个量中的任意两个量来刻画. 在解决问题的过程中我们更多地用 a,c 描述,因此,求 e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不 等式,具体如下: (1)定义法:若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定 a2, c b ,求出 a,c 的值,利用公式 e=a直接求解.
2

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(2)方程法:若椭圆的方程未知,则根据条件建立 a,b,c 满足的关系式,化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程 或不等式两边同除以 a 的最高次幂, 得到关于 e 的方程或不等式, 即可求得 e 的值或范围.

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x2 y2 (2013· 四川高考)从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作 垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是 椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭 圆的离心率是( 2 A. 4 ) 1 B.2 2 C. 2 3 D. 2

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【解析】 x2 y2 由题意设 P(-c, y0), 将 P(-c, y0)代入a2+b2=

2 2 2? 2 4 ? a - c c c2 y0 b 2 2 ? ? 1 - 1,得a2+b2=1,则 y2 = b = b · a2 =a2. 2 0 a? ?

b2 b2 ∴y0= a 或 y0=- a (舍去),
? b2? b2 ∴P?-c, a ?,∴kOP=-ac. ? ?

b-0 b ∵A(a,0),B(0,b),∴kAB= =-a. 0-a

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又∵AB∥OP,∴kAB=kOP, b2 b ∴-a=-ac,∴b=c. 2 c c c ∴e=a= 2 2= .故选 C. 2= 2 2c b +c
【答案】 C

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椭圆中的最值问题 x2 y2 (12 分)如图 2-2-2, 点 A, B 分别是椭圆36+20= 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且 位于 x 轴上方,PA⊥PF.

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(1)求点 P 的坐标. (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 |MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

【规范解答】

(1)由已知可得 A(-6,0),F(4,0),

设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y). x y ? ? + =1, 由已知得?36 20 2 ? ??x+6??x-4?+y =0.
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2

2

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3 消去 y 得 2x +9x-18=0,解得 x=2或 x=-6.3 分
2

3 5 由于 y>0,只能 x=2,于是 y=2 3. 故点 P
?3 5 的坐标是?2,2 ? ? 3?.5 ?



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(2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0), |m+6| 则 M 到直线 AP 的距离是 2 ,7 分 |m+6| 于是 2 =|m-6|,又-6≤m≤6,解得 m=2.9 分 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离为 d, 5 2 4? 9?2 有 d =(x-2) +y =x -4x+4+20-9x =9?x-2? +15,11 分 ? ? 由于-6≤x≤6,
2 2 2 2

9 故当 x=2时,d 取最小值 15.12 分
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【思维启迪】 1.椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离 问题的最佳解法 设直线设出与已知直线平行的直线方程定参数由直线与椭 圆相切确定参数得方程由参数值确定直线方程求距离利用平行 直线间的距离公式求距离

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2.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法:利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而 求解. (3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.

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1.椭圆的几何性质分为两类:一是与坐标系无关的椭圆 本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等; 另一类是与坐标系有关的性质, 如: 顶点坐标、 焦点坐标等. 在 解题中要特别注意第二类性质,应根据椭圆方程的形式首先 判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上再进行求解.

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2.通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质;反之,由椭 圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程. 3.椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度,离心率可由关于 a、b、c 的一个方程求得.

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1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个 顶点是(-10,0),则焦点坐标为( A.(± 13,0) C.(0,± 13) ) B.(0,± 10) D.(0,± 69)

【解析】 由条件知,椭圆的焦点在 y 轴上,且 a=13,b =10,∴c2=a2-b2=169-100=69,∴焦点坐标为(0,± 69).
【答案】 D
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2 y 2.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则椭圆 x2+m=1 的离心率

为(

) 3 A. 2 B. 5 2 C. 2 1 D.2

【解析】

∵m 是 2 和 8 的等比中项,

∴m2=2×8. 3 解得 m=± 4,∵m>0,∴m=4.解得 e= 2 .
【答案】 A
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3.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( 1 A.2 ) B.2 1 C.4 D.4

2 y 2 2 【解析】 方程化为 x + 1 =1,长轴长为 ,短轴长为 2, m m

2 1 由题意, =2×2,∴m=4. m
【答案】 C
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y2 x2 x2 y2 4.已知与椭圆 4 + 3 =1 有相同的离心率且长轴长与 8 + 3 =1 的长轴长相同的椭圆方程为________.

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【解析】 y2 x2 1 x2 y2 椭圆 4 + 3 =1 的离心率为 e=2,椭圆 8 + 3 =1

的长轴长为 4 2. c 1 ? ? = , ∴?a 2 解得 a=2 2,c= 2,∴b2=a2-c2=6. ? ?2a=4 2. 又∵所求椭圆焦点既可在 x 轴上,也可在 y 轴上, x 2 y2 y2 x2 故方程为 8 + 6 =1 或 8 + 6 =1.

【答案】
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x2 y2 y2 x 2 8 + 6 =1 或 8 + 6 =1
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课后知能检测

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(教师用书独具)

以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆, 交椭圆于四个不同的 点,顺次连接这四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,求这 个椭圆的离心率.

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【自主解答】 如图,设椭圆两焦点为 F1,F2,与正六边形 其中两个交点为 A,B,并设正六边形边长为 m,则根据正六边 形的性质有:

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∠F1AB=120° ,|OF1|=m,根据余弦定理 F1B2=m2+m2- 2m· m· cos 120° =3m2, ∴F1B= 3m,又 2a=F1B+BF2= 3m+m, 3+1 c m ∴a= 2 m,又 c=m,∴a= = 3-1, 3+1 2 m 即椭圆的离心率为 3-1.

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→ → 已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 满足MF1· MF2=0 的点 M 总 在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( A.(0,1)
? C.? ?0, ? ? 1? B.?0,2? ? ? ? D.? ? ? ? 2 ? 2 ,1 ? ?

)

2? ? 2? ?

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→ → 【解析】 设 M(x,y),∵MF1· MF2=0,∴M 的轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为圆直径.由题意知椭圆上的点在圆 x2+ y2=c2 外部, 设 P 为椭圆上任一点, 则|OP|>c 恒成立, 而|OP|≥b, ∴b>c,∴c <b =a -c ,∴a >2c
2 2 2 2 2 2

?c? 1 2 ? ? ,∴ a <2,∴0<e< ? ?

2 2.

【答案】 C

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