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2.3直线、平面垂直的判定及其性质


2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.1

直线与平面垂直的判定

第一课时

直线与平面垂直的判定

复习

直线和平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

思考1 大桥的桥柱与水面的位置关系

思考2 旗杆与地面上的直线的位置关系如何?

思考3 将一本书打开直立在桌面上,观察书脊(想象成 一条直线)与桌面的位置关系呈什么状态?此时书脊 与每页书和桌面的交线的位置关系如何?

思考4

一条直线与一平面垂直的特征是什么?
特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.

直线和平面垂直
定义 如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂 直,我们说直线l与平面?互相垂直. 记为l ? ?
平面 ? 的垂线 垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
平面内任意一 条直线

思考5 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?

l

α

探究 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:
A A
D

C
B
D

C

?

B

过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直.

思考6 (1)折痕AD 所在直线与桌面所在平面 ? 上的一 条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面 ? 吗?

(2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关系 不变, AD ? CD , AD ? BD .由此你能得到什么结 论?
A

A
D

C
B
D

C

?

B

A

A
D

C
B
D

C

?

B

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在 直线与桌面所在平面α垂直.

线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
l?a l ?b
l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与直线垂直 直线与平面垂直

线面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理 定理2:

a // b, a ? ? ? b ? ?
定理3:

? // ? , a ? ? ? a ? ?
定理4:

? ? ? ,? ? ? ? l, a ? ? , a ? l ? a ? ?

例1. 如图,已知

a // b, ? ? ?,求证 b ? ? . a
a
b
n

证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? ,
a ? m, a ? n.

根据直线与平面垂直的定义知
又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n.

?

m

又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD'是 与AC 异面的体对角线. 求证:AC⊥BD'

D′ A′ D A B

C′

B′
C

证明:连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD'⊥平面ABCD 又因为 AC ? 平面ABCD 所以 AC ? DD, 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'

D′ A′ B′

C′

D
A B

C

例3 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,求证:AD⊥PC.

P D

C B

A

探究 如图,直四棱柱 A?B?C ?D? ? ABCD (侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足 什么条件时,A?C ? B?D? ?
A?
D?

B?

答:底面四边形ABCD对 角线相互垂直.
B

C?

A D

C

小结 直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直” 思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂 直,即将直线与平面的垂直关系(空间问题) 转化为直线间的垂直关系(平面问题).

问题提出 前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

第二课时

直线与平面所成的角

线面角相关概念
平面的斜线 P 斜足A α 平面的垂线

l A B

垂足B

斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面?所成的角为?PAB

线面角
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (00 ,900 )

2.平面的垂线与平面所成的角为直角 3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这 条直线与平面所成的角的00角
[00 ,900 ] 一条直线与平面所成的角的取值范围是

例1

在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;
(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A1 B1 O D A B C1

C

例2 如图,AB为平面?的一条斜线,B为斜足, AO⊥平面?,垂足为O,直线BC在平面?内,已知 ∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线AB和平面α所 成的角. A

B

O

D

α

C

例3.如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角, AC为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大 小关系如何? B 解:作BO?AD于O, BE?AC于E,

则 BD<BE A

α

E

o D C

sin?BAD<sin?BAC

∠BAD >∠BAC

思考1 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小 关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平 面所成的角的大小关系如何?

思考2

1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形?
2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形? 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形?

小结 1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的 角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.

2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线 所成角中最小的角.
3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在 平面内的射影.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

第一课时

二面角

观察 拦洪坝与水平面的位置关系

观察 卫星轨道面与地球赤道面的位置关系
卫星轨道面

地球赤道面

概念
A

从一点出发的两条射线, 构成平面角. 记作?AOB 同样,从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面 角的棱,这两个半平面叫做 二面角的面.

O

B

?

m

?

记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号
(1)以直线 l 为棱,以? , ? (2)以直线AB为棱,以 ? , ? 为半平面的二面角记为: 为半平面的二面角记为: ? ?l ? ? ? ? AB ? ?
?
l

?
B

?

?

A

概念 直线上的一点将直线分割成两部分,每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面.

射线

射线

半平面

半平面

思考? 两个相交平面有几个二面角?

探究 如何用平面角来表示二面角的大小? 二面角?-l-?

β B l

β

O A

B

α

l O

A

α

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角. α A l O B

β

∠AOB即为二面角α- l-β的 平面角

注意 二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

?0 ,180 ?
0 0

β
l
0度角

α
180度角

例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平 面角,并指出大小. D1 C
1

A1

B1

N M D C

A

B

平面角

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1AC-B的正切值.

C1
B1 A1

D1

C
B
O

D A

例3 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角 为300,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ,沿这条直道从堤脚C向上行走10m到 达E处,此时人升高了多少m? D E

A C

O

F

B

小结
二面角的平面角的作法:
1.定义法: 根据定义作出来.

?
A
o

l

?
B

2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来. o

o

?
A
l

?
B

l

A

?
?

l

B

第二课时

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面 角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
记为??? β a A α b ? ?

面面垂直的判定
判定定理 如果一个平面经过另一个平面 的垂线,则这两个平面垂直.

a?? a ? 面?

β

?? ? ?
α

a A

思想: 直线与平面垂直

平面与平面垂直

平面与平面垂直的判定定理 定理2:

a // ? , a ? ? ? ? ? ?
定理3:

? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

例1 如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径, PA⊥α,C为圆周上不同于A、B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
P

C

A

O

B

证明: ? PA ? 面? , BC ? 面? ? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC
PA ? BC ? AC ? BC ? PA ? AC ? A ? ? ? PA ? 面PAC ?
P

AC ? 面PAC ? ?
BC BC

C A O B

? 面PAC ? ? ? 面PBC ?

? 面PAC ? 面PBC

例2 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,∠BAD=60°,求证:平面ABC⊥平面ACD.

D

C

B

E
A

例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥ 底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面 PMC⊥平面PCD. P F E D C

A

M

B

探究

已知AB ? 面BCD, BC ? CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

A

D C

小结

1. 知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直 2. 思想方法
直线与平面垂直 平面与平面垂直

2.3.3

直线与平面垂直的性质

复习

a??
直线与平面垂直的定义是什么? 直线与平面垂直的判定定理是什么?

a

α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1, BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系 如何?它们彼此之间具有什么位置关系? C1 D
1

B1 C B

A1 D A

思考2

如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直 线a,b的位置关系如何?

l
a
b
相交

l
a b
平行

b

l
a
异面

思考3 如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b 一定平行吗? a b

?

直线与平面垂直的性质定理
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行. a b

?

a ??? ? ? a // b b ???

直线与平面垂直
性质定理的证明 反证法证明: b’ c

a

b

?

o

直线与平面垂直的性质定理 定理2:

a ? ?,b ? ? ? a ? b

三垂线定理及逆定理
三垂线定理

AB ? ? , AC是平面?的斜线, BC是AC在?内的射影, ? l ? ?, l ? BC ? l ? AC

A B C l

三垂线定理及逆定理
逆定理

AB ? ? , AC是平面?的斜线, BC是AC在?内的射影, ? l ? ?, l ? AC ? l ? BC

A B C l

如图,已知? ? ? ? l , CA ? ? ,于点A, CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, a 求证:a // l . 例1

β
B

C

α
l A a

小结 直线与平面垂直的性质定理可简述为 “线面垂直,则线线平行” “线面垂直,则线线垂直”

思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂 直来证明线线平行的方法,也提供了作平行线 的一种方法.

2.3.4

平面与平面垂直的性质

复习1

两个平面相互垂直
α

三个平面两两垂直
α β

β

l γ

l

复习2

两个平面垂直的判定
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 垂线,那么这两个平面互相垂直.
α

α
l

β

β

思考1

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板 上是否存在直线与地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

思考2 2.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1 与平面ABCD垂直,其交线为AD,直线A1A,D1D都在 平面A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两条直线与 平面ABCD垂直吗? C D
1 1

B1 C B

A1

D
A

思考3
AB 3. 设 ? ? ? ,? ? ? ? CD , ? ? , AB ? CD, 垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为 什么? β

E D B C A

α

思考4 若α⊥β,过平面α内一点A作平面β的垂线a, 那么垂线a与平面?具有什么样的位置关系? α

A

反证法证明点B在两个 平面的交线上 注意:过一点只能作 一条直线垂直于已知 平面.

β

B B’

两个平面垂直的性质
性质定理 两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? a ? ? ? a?? ?
a?l ? ?
线面垂直

面面垂直

两个平面垂直的性质
性质定理 如果两个平面互相垂直,那么 经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直 线,必在这个平面内. α A

? ? ?, A ?? ,
A ?l , l ? ? ?l ??

β

l

平面与平面垂直的性质定理

定理3:

? ? ? , ? ? ? ,? ? ? ? l ? l ? ?

例1.如图,已知α⊥β,a⊥β,a??,试判 断直线l与平面α的位置关系,并说明理由.
α b l β A a

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2, BC ? 2 ,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面 ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P

A
E B C

D

探究 对于三个平面?、?、?,如果???,???,β??, ???= l ,那么直线l与平面? 的位置关系如何?为什 么?

l
α

β

解答:在?内分别 作平面的垂线a、b, 则a? l,b? l, a与 b必相交. 所以l⊥?

a
b

?

小结 1. 知识小结 几个结论和性质的应用

2. 思想方法
面面垂直 线面直线线垂直

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