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考点4 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数


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1.(2010·安徽高考理科·T6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图象可能是(

A、

B、

C、

D、

【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系,考查考生的逻辑推理能力. 【思路点拨】逐项验证,由图象先确定 a 、 c 的符号,再根据对称轴的正负确定 b 的符号。 【规范解答】选 D.由 D 选项的二次函数图象可知, a ? 0, c ? 0, 且对称轴 ? 满足 abc ? 0 ,故 D 正确;同理可判断 A、B、C 错误。 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑,另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。 2.(2010·浙江高考文科·T2)已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

b ? 0 ,所以 b ? 0 , 2a

? =(



【命题立意】本题主要考察对数函数概念及对数运算性质。 【思路点拨】把 f (? ) 表示出来,解对数方程即可。 【规范解答】选 B. f (? ) ? log2 (? ? 1) ? 1,?? ? 1 ? 2,?? ? 1. 【方法技巧】对数常用性质: (1) loga 1 ? 0 ; (2) loga a ? 1 。
x 3.(2010·山东高考文科·T3)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为(

?

?



(A)

? 0, ?? ?

(B)

? ?0, ?? ?

(C)

?1, ???

(D) ? ?1, ?? ?

【命题立意】本题考查对数型函数的值域, 考查考生的运算求解能力.

【思路点拨】先求 3x ? 1 的范围,再求 f ( x) 的值域. 【规范解答】选 A,因为 3x ? 1 ? 1 ,函数 y ? log 2 x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 f ( x) ? log1 2 ? 0, 故选 A. 4.(2010·广东高考文科·T2)函数,f(x)=lg(x-1)的定义域是 A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) ( )

D.[2,+∞)

【命题立意】本题考查对数的概念以及函数定义域的意义和不等式的解法. 【思路点拨】对数的真数要大于零。 【规范解答】选 B .由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 。
2 5.(2010·天津高考文科·T6)设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则(



(A)a<c<b

(B) b<c<a

(C) a<b<c

(D)b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。 【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

c ? log4 5 ? 1 。
【规范解答】选 D,由对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

? b ? (log5 3)2 ? log5 4 ,又 c ? log4 5 ? 1,?b ? a ? c 。
【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同,直接利用函数 的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要借助中间量比较大小。 6.(2010·北京高考文科·T6)给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,
2
1 2

其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( (A)①② (B)②③ (C)③④

)

(D)①④

【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。 【思路点拨】画出各函数的图象,再判断在(0,1)上的单调性。 【规范解答】选 B。各函数在(0,1)上的单调性:①增函数;②减函数;③减函数;④增函数。 7.(2010·陕西高考文科·T7)下列四个函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x +y)=f (x)f(y) ”的是 ( (A)幂函数 ) (C)指数函数 (D)余弦 函数

(B)对数函数

【命题立意】本题考查幂函数、对数函数、指数函数、余弦 函数的基本概念与简单运算性质。 【思路点拨】根据各个函数的一般形式代入验证即可。

【规范解答】选 C 因为对任意的 x>0, y>0 ,等式 ( x ? y)? ? x? ? y?、 log(x ? y ) ? log x ? log y 、

cos( x ? y) ? cos x ? cos y 不恒成立,故 f(x)不是幂函数、对数函数、余弦 函数,所以 A、B、D 错误;
事实上对任意的 x>0,y>0, a x ? y ? a x a y 恒成立,故选 C。 8.(2010·辽宁高考文科·T10)设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? =2,则 m ? ( a b



(A)

10

(B)10

(C)20

(D)100

【命题立意】本题考查指数对数的相互转化,考查对数换底公式及对数的基本运算。 【思路点拨】先用 m 把 a、b 表示出来,再代入化简,求解。 【规范解答】选 A,

由2a ? 5b ? m得a ? log 2 m, b ? log 5 m, ? 1 1 1 1 ? ? log m 2, ? ? log m 5 a log 2 m b log 5 m

1 1 ? ? ? log m 2 ? log m 5 ? log m 10 ? 2 a b ? m 2 ? 10, 又m ? 0,? m ? 10, 故选A

?log 2 x, x ? 0, ? 9.(2010·天津高考理科·T8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1 ? ? 2
是 ( ) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 【命题立意】考查对数函数的图像和性质。

【思路点拨】对 a 进行讨论,通过图像分析 f(a)>f(-a)对应的实数 a 的范围。 【规范解答】 选 C, 当 a>0, 即-a<0 时, 由 f(a)>f(-a)知 log 2 a ? log 1 a , 在同一个坐标系中画出 y ? log 2 x
2

和 y ? log 1 x 函数的图像,由图像可得 a>1;当 a<0,即-a>0 时,同理可得-1<a<0,综上可得 a 的取值
2

范围是(-1,0)∪(1,+∞) 。 10.(2010·浙江高考理科·T10) 设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,平面上点的集合

? ?

1 2

1 2

? ?

? ? 1 1 经过 Q 中 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x) 的图象恰好 .. 2 2 ? ?
两个点的函数的个数是( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

【命题立意】本题考查对数型函数的图象,集合元素的表示,考查学生对数运算能力和数形结合的思想。 【思路点拨】把 Q 中的点表示在坐标系中,逐个分析 P 中的每一个函数的图像,找出恰过两点的函数。 【规范解答】选 B。Q 中有 12 个点,表示在坐标系中;P 中共有 12 个函数,逐个分析 P 中的每一个函数 的图像,可知恰过两个点的函数有 f ( x) ? log2 x , f ( x) ? log2 x ? 1 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ,

1 2

1 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? 1 , 2

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ?1 ,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? 1 共 6 个。


11.(2010·山东高考理科·T11)函数 y ? 2 x ? x 2 的图象大致是(

【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力,考查了考生的分析问题解 决问题的能力和运算求解能力。 【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析. 【规范解答】选 A,因为当 x=2 或 4 时, 2 ? x ? 0 ,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x =
x 2
x

2

1 ? 4<0 , 4

故排除 D,所以选 A. 12.(2010·湖南高考文科·T8)函数 y=ax + bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标
| | a
2

系中的图像可能是(



【命题立意】在一个坐标系中做出两个函数的图象可以很好的考查学生的综合识图能力。 【思路点拨】二次函数主要观察开口和对称轴的情况,对数函数线主要观察单调性。 【规范解答】选 D.在 A 中由抛物线的开口得到 a>0,由抛物线与 x 轴的另一个交点为 0<

?b <1 , 不能得 a



?b |b| >1,∴A 不正确。在 B 中由抛物线的开口得到 a<0,由抛物线与 x 轴的另一个交点为 0< <1 , 不 a |a| ?b |b| >1,∴B 不正确。在 C 中由抛物线的开口得到 a<0,由抛物线与 x 轴的另一个交点为 <-1 , a |a|

能得到

可以得到

|b| >1,此时对数函数线应该单调递减,∴C 项错误。在 D 中由抛物线的开口得到 a>0,由抛物 |a|
?b |b| >-1 , 不能得到 >1,此时不能得到对数函数线单调递减,∴D 项错误。 a |a|

线与 x 轴的另一个交点为

【方法技巧】客观题的解法 1、直接法:直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得到 结论的,称之为直接求解法.它是解客观题常用的基本方法.使用直接法解客观题,要善于透过现象抓 本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 2、排除法:从已知出发,通过观察分析或推理运算各选项提供的信息,对于错误的选项一一剔除,从而 得到正确的结论. 3、特例法:根据题设和各项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊数值、集合、点、位置或图形.针对 各项代入对照或检验,填空题暗示结论唯一或其值为定值时,可取特例来解. 4、数形结合法:借助于图形进行直观分析,并辅之以简单计算得出结论.

13.(2010·广东高考理科·T9) 函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 【命题立意】本题考查对数的概念以及函数定义域的意义和不等式的解法。 【思路点拨】对数的真数要大于零。 【规范解答】由 x ? 2 ? 0 得 x ? 2 . 【答案】 (2 , ? ?) ,



14. (2010·天津高考理科·T16)设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【命题立意】考查函数的有关性质以及最值问题。 【思路点拨】转化为求函数的最值问题。 【规范解答】依据题意得

3 x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立, 2 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x ? 时函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? ,所以 2 ? 4m ? ? ,即 (3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解 2 x x 3 m 3
即 得m? ?

3 3 或m ? 。 2 2
? ? ? ? 3? ? 3 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【答案】 ? ??, ?

【方法技巧】求解恒成立问题时,可构造我们熟悉的函数类型,然后根据函数的性质解题,求解时经常要 应用变量分离的方法,应用这一方法的关键是分清参数与变量。

? lg x , 0<x ? 10, ? 15.(2010 ·海南宁夏高考·理科 T11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 ?? x ? 6, x>10 ? 2

f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ,则 abc 的取值范围是(
(A) ?1,10? (B) ? 5,6 ?

) (D) ? 20, 24?

(C) ?10,12?

【命题立意】本小题主要考查了数形结合解决函数问题的能力. 【思路点拨】利用函数图像得出相关信息,进行计算. 【规范解答】选 C. 设 a ? b ? c ,因为 a, b, c 互不相等,且 f ( a) ? f ( b)? f ( c),由函数的图像可知

10 ? c ? 12 ,且 lg a ? lg b ,因为 a ? b ,所以 lg a ? ? lg b ,可得 ab ? 1 ,所以
abc ? c ? (10,12) ,故选 C.
【方法技巧】根据 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? 结合函数的图像,可以得出 a,b,c 满足 的条件,然后进行求解.


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