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陕西省西工大附中2014届高三下学期第六次适应性训练数学(理)试题Word版含答案


陕西省西北工业大学附属中学 2014 届高三第六次模拟

数 学(理科)
第Ⅰ 卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y ? A.[1,2]

log 2 (2 x ? 1) 的定义域是
3

B. [1, 2)

C. ( ,1]

2. “ m ? 0 ”是“函数 f ( x) ? m ? log 2 x( x ? 1) 存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知定义在区间 [0, 2] 上的函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示, 则 y ? ? f (2 ? x) 的 图象为

1 2

D. [ ,1]

1 2

4.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 ,抛物线 y ? 8 x 的准线为,设抛物线上任意一点 P
2 2 2

到直线的距离为 m ,则 m ? | PC | 的最小值为 A.5 B. 41 C. 41 -2 D.4

5.2014 年西安地区特长生考试有 8 所名校招生,若某 3 位同学恰好被其中的 2 所名校录取,则不同的录取方法有 A.68 种 B.84 种 C.168 种 D.224 种 6.右图是计算 条 件是 A. k ? 5 C. k ? 5
1 1 1 1 1 值的一个程序框图,其中判断框内应填入的 ? ? ? ? 2 4 6 8 10

B. k ? 5 D. k

?6

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ? a2013 ? a1 ? ? a2014 ,则必定有 A. S 2013 ? 0, 且S 2014 ? 0 C. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0 B. S 2013 ? 0, 且S 2014 ? 0 D. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

8.已知 O, A, M,B 为平面上四点,且 OM ? ? OB ? (1 ? ? )OA ,实数 ? ? (1, 2) ,则

???? ?

??? ?

??? ?

A. 点 M 在线段 AB 上 C. 点 A 在线段 BM 上

B. 点 B 在线段 AM 上 D. O,A,M,B 一定共线

9. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 其中 A ? 120? , b ? 1 , 且 ?ABC 面积为 3 , 则

a?b ? sin A ? sin B
B. 2 39
3

A. 21

C. 2 21

D. 2 7

10.已知 ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数 ? x ? R ? ,如:? ?1.3? ? ?2, 义 ? x? ? x ? ? x ? ,给出如下命题: ①使 ?x ? 1? ? 3 成立的 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 ; ②函数 y ? ? x? 的定义域为 R ,值域为 ? 0,1? ; ③?
2 3 ? 20132014 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1007; ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?

?0.8? ? 0, ?3.4? ? 3 .定

x?0 ?? x? 1 1 ④设函数 f ? x ? ? ? ,则函数 y ? f ? x ? ? x ? 的不同零点有 3 个.其中正确 ? 4 4 ? ? f ? x ? 1? x ? 0

的命题有 A. 1 个

B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第Ⅱ 卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在 答题卡相应的位置) 11.复数 12.若
3i+4 1+2i
a

的虚部是__

___. ___.

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是__ 1 x

13.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为__

___.

14.在 ?ABC 中,不等式 1 ? 1 + 1 ≥ 9 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ?

1 1 1 1 1 25 不等式 1 ? 1 + 1 + 1 ≥ 16 成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 ? + + + ≥ 成 A B C D E 3? A B C D 2?
立,?,依此类推,在凸 n 边形 A1 A2 ? An 中,不等式 1 ? 1 + ? ? 1 ≥ __
A1 A2 An

___成立.

15. 选做题 (请考生在以下三个小题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题评阅记分)
? 2 t, ?x ? A.(坐标系与参数方程)已知直线的参数方程为 ? (为参数),圆 C 的参数方程为 2 ? ? y ? 1? 2 t ? ? 2

? x ? cos ? ? 2 ( ? 为参数), 则圆心 C 到直线的距离为_________. ? ? y ? sin ?

B. (几何证明选讲)如右图,直线 PC 与圆 O 相切于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC ? 4 , PB ? 8 ,则 CE ? _________. C. (不等式选讲)若存在实数 x 使 x ? m ? x ? 1 ? 2 成立,则实数 m 的取值范围是_________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 cos 2 x ? sin ? 2 x ?

? ?

7? 6

?. ? ?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ? 最小值. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ?
? n ?

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的 2

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1, 2,?. 2

n ? 1 ? 是等差数列,并求 S ; (Ⅰ)证明:数列 ? Sn ? n ?

(Ⅱ)设 bn ?

5 Sn . ,求证: b1 ? b2 + ? ? bn < 12 n 3 ? 3n 2

18. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中, 已知 AB=5, AC=4, BC=3, AA1=4,点 D 在棱 AB 上. (Ⅰ) 若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD; (Ⅱ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

19. (本小题满分 12 分)某市公租房的房源位于 A, B, C 三个片区,设每位申请人只申请其中一 个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列和期望. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

(I)求函数 f ( x) 在 ? m,m ? 1? (m ? 0) 上的最小值;
2

ex 的定义域为 (0, ??) . x

(Ⅱ)对 任意x ? (0, ??) ,不等式 xf ( x) ? ? x ? ? x ? 1 恒成立,求实数 ? 的取值范围. x2 y2 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,短轴两 a b 个端点为 A 、 B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (I)求椭圆方程; (Ⅱ)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于 点 P ,证明: OM ? OP 为定值; (III)在(Ⅱ)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的

圆恒过直线 DP, MQ 的交点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

数学(理科)参考答案与评分标准 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11. -1; 12. 2; 13. ; 1 C 2 A 3 B 4 B 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

2 3

14.

;

15. A. 3 2 ; 2

B.12 ;
5

C. [?3,1] .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin(2 x ?

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+ sin(2 x ? ) . 2 2 6

∴函数 f ( x) 的最大值为 2 .要使 f ( x) 取最大值,则 sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

? ? 故 x 的取值集合为 ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 6 ? ?
(Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

………6 分

3 ,化简得 sin(2 A ? ? ) ? 1 . 6 2 6 2 ? 5? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ? ( ? , 13? ) ,∴ 2 A ? ? , ∴A? ? . 6 6 6 6 6 3 ) ?1 ?

?

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

b?c 2 由 b ? c ? 2 ,知 bc ? ( ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 . 2
∴当 b ? c ? 1 时,实数 a 取最小值 1. 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)证明:由 S n ? n an ? n(n ? 1) 知,当 n ? 2 时: S n ? n 2 ( S n ? S n ?1 ) ? n(n ? 1) , 即 (n ? 1) S n ? n S n ?1 ? n(n ? 1) ,∴
2 2
2

………12 分

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立. n n ?1

n ? 1 ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 又 1 ? 1 S1 ? 1,? ? Sn ? ? 1 ? n ?

n ?1 n 2 . ………6 分 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ,∴ S n ? n n ?1
(Ⅱ) bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,………8 分 2 (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3 n ? 3n
3

∴ b1 ? b2 ? ?? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 n n ? 2 n ?1 n ? 3

1 5 1 1 5 = ( ? ? ) ? . ………12 分 2 6 n ? 2 n ? 3 12 18. (本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ) 证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,连接 DE. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, 所以 侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线,所以 DE// AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD,所以 AC1∥平面 B1CD.??? 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC⊥BC,如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4).设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) ,因
??? ? ??? ? 为 点 D 在线段 AB 上,且 BD ? 1 ,即 BD ? 1 BA . AB 3 3

???? ??? ? ??? ? 4 4 所以 a ? 2 , b ? 4 , BD ? (?1, , 0) , CB1 ? (3, 0, 4) , , CD ? (2, , 0) . 3 3 3
?? ? ?? ?

平面 BCD 的法向量为 n 1 ? (0, 0,1) . 设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,
?3 x ? 4 ? 0 ??? ? ?? ? ???? ??? 由 CB1 ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ? , 4 ? 2 x ? y ? 0 ? 3 ?

?? ? 4 4 所以 x ? ? , y ? 2 , n 2 ? (? , 2,1) .所以 3 3

?? ? ?? ? n1 ? n 2 3 . cos ? ? ?? ? ?? ? ? 61 n1 n 2

所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为 3 61 .??? 12 分 61 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)所有可能的申请方式有 3 4 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C 4 ? 2 种,
2 2

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 C4 ? 22 8 , ??? 5 分 ? 4 27 3

2, 3, (Ⅱ) ? 的所有可能值为 1,
P(? ? 1) ?
1 2 1 1 3 2 2 C3 C4 C2 4 3 1 C 32 (C 2 C4 ? C4 C 2 ) 14 , , ? P ( ? ? 3 ) ? ? , P(? ? 2) ? ? 4 4 27 9 3 27 34 3

综上知, ? 的分布列为

?

2

3







P

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 . ? 2? ? 3? ? 27 27 9 27 20. (本小题满分 13 分)

??? 12 分

??? 1 分 ??? 3 分 (I)

, ??? 5 分

??? 7 分

??? 9 分

, 21. (本小题满分 14 分)

??? 13 分

2 2 2 2 2 解: (I) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b 2 ? 2 ,? 椭圆方程为 x ? y ? 1 ,???4 分 4 2

(Ⅱ) C (?2,0), D (2,0) ,设 M (2, y 0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) , 直线 CM :

?

?

x ? 2 y ? y 0 ,即 y 1 ? y ? 0 x ? y0 , 4 2 4 y0
2
2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4 ? 0, 8 2 2

代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得 (1 ?
2

? x1 (?2) ?
? ?

2 2 2 4( y 0 ? 8) 2( y 0 ? 8) , 8 y0 , ? 2( y 0 ? 8) 8 y 0 , , ? x ? ? ? y ? ? OP ? ( ? , 2 ) 1 1 2 2 2 2 y0 ?8 y0 ?8 y0 ?8 y0 ? 8 y0 ?8

? OP? OM ? ?

2 2 2 4( y 0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 ? ? ? 4 (定值),???10 分 2 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

(III)设存在 Q (m,0) 满足条件,则 MQ ? DP ,

,

???14 分


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