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函数的奇偶性知识点及经典例题


函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念: ①设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则这个函数叫奇函数。
(如果已知函数是奇函数,当函数的定义域中有 0 时,我们可以得出 f ? 0 ? ? 0 )

②设函数 y ? g ? x ? 的定义域为 D ,如果对 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D , 若 g ? ? x ? ? g ? x ? ,则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出,讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断,看其 定义域是否关于原点对称。也就是说当 x 在其定义域内时, ?x 也应在其定义域内有意义。

③图像特征 如果一个函数是奇函数 ? 这个函数的图象关于坐标原点对称。 如果一个函数是偶函数 ? 这个函数的图象关于 y 轴对称。 ④复合函数的奇偶性:同偶异奇。

⑤对概念的理解: (1)必要条件:定义域关于原点成中心对称。 (2) f ( x) 与 f (? x) 的关系:
f (? x) ? 1 时为偶函数; f ( x) f (? x) ? ?1 时为奇函数。 当 f ( ? x) ? ? f ( x) 或 f ( ? x ) ? f ( x) ? 0 或 f ( x)

当 f ( ? x) ? f ( x) 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 或

二、函数的奇偶性与图象间的关系: ①偶函数的图象关于 y 轴成轴对称,反之也成立; ②奇函数的图象关于原点成中心对称,反之也成立。 三、关于函数奇偶性的几个结论:
1

①若 f ( x) 是奇函数且在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ②偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=奇函数; 偶函数 ? 偶函数=偶函数;奇函数 ? 奇函数=偶函数; 偶函数 ? 奇函数=奇函数 ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. (二) 、关于函数奇偶性的运用 1.利用奇偶性求函数式或函数值 1.设函数 f ( x) 为定义域为 R 上奇函数,又当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,试求 f ( x) 的解析式。

2.已知 y ? f ? x ? 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? x ?1 , 求当 x ? 0 时, f ? x ? 得 解析式。

3.设函数 f ( x) 是定义域 R 上的奇函数,f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? x , 求 f (7.5) 的值

5.已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 4 ,若 f (?2) ? 0 ,求 f (2) 的值。
2

1 6.若函数 f ( x) 是偶函数,则 f (1 ? 2 ) ? f ( )? 1? 2



7.已知 f ? x ? 是偶函数,g ? x ? 是奇函数, 且 f ? x? ? g ? x? ? 的表达式。

1 , 试求 f ? x ? 与g ? x ? x ?1

3


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