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2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)


2013 年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版
绝密 ★ 启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(理科)

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的 图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

? ? ? 5? B. C. D. 12 6 6 3

5.已知 0 ? ? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y 2 x 2 ? ? 1 与 C : ? ? 1的 2 cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
D.离心率相等

A.实轴长相等 B.虚轴长相等

C.焦距相等

6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 AB 和 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C.

3 2 2

D.

3 15 2

7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
1

v(t ) ? 7 ? 3t ?

25 (t的单位:s, v的单位:m / s) 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的 1? t

距离(单位: m )是 A. 1+25 ln 5 B. 8+25ln

11 3

C. 4+25ln 5

D. 4+50 ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 为 V1,V2,V3,V4, 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

AV . 1 ? V2 ? V4 ? V3

B. V C. V D. V 1 ? V 3 ? V 2 ? V 4 2 ? V 1 ? V 3 ? V 4 2 ? V 3 ? V 1 ? V 4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌 后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频 率分布直方图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。

2

13.设 x, y, z ? R ,且满足: x2 +y2 +z2 =1 则 x+y+z= ___________。 ,x+2 y+3z = 14, 14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角 形数为

n(n +1) 1 2 1 = n + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形 2 2 2 1 1 N (n,3)= n 2 + n 2 2
2 N ( n, 4 ) = n

数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

3 1 N (n,5)= n 2 - n 2 2
2 N ( n, 6 ) = n 2

-n

…………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填 在答题卡的 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) O 如 图 , 圆 上 一 点

C在直径AB上的射影为D, 点D在半径OC上的射影为E.



3

AB ? 3 AD,

CE 的值为 EO

.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为

?

x ? a cos ? y ?b sin ?

??为参数, a ? b ? 0 ? . 在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直 线 l 与圆 O 的极坐标分别为 ? sin ?? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数? 与? =b. 若直线 l 经过 ?? 4? 2
.

椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角A、B、C对应的边分别为a, b, c. 已知cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC的面积S ? 5 3, b ? 5, 求sin B sin C的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2a3 ? 125. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; ( II ) 是 否 存 在 正 整 数

m,

使



1 1 1 若不存在,说明理由. ? ? ?????? ? ? 1? 若存在,求m的最小值; a1 a2 an
19.(本小题满分 12 分) 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , 点 C是圆 O 上 异 于 A、B 的 点 , 直 线

PC ? 平面ABC, E, F分别为PA, PB的中点.
(I)记平面

BEF与平面ABC的交线为l,是判断l与平面PAC的位置关系, 并加以
说明; ( II ) 设 ( I ) 中 的 直 线 l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足DQ ?
4

?

1 ? CP. 记 直 线 2

PQ与平面ABC所成的角为O, 异 面 直 线 所 成 的 锐 角 为 o , 二 面 角 E ? l ? C的大小为?,求证: sin ? ? sin ? sin ? .

20.(本小题满分 12 分)
2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N 800,50 的随机变量,

?

?

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求P n 的值;
2 (I) (参考数据:若 X ? N ? , ? , 有P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

?

?

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往 返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P 0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地 的营运成本最小,那么应配备 A型车、B型车各多少辆?

21.(本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 椭 圆 C1与C2的中心原点坐标O, 长 轴 均 为 MN 且在x轴上,短 轴 长 分 别 为 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1、C2的四个交点按纵坐标 从大到 2m、 2n ? m ? n?, 小依次为 A、B、C、D. 记 ? ?

m , ?BDM 和?ABN的面积分别为S1、S 2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 =? S2 , 求?的值; (II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 =? S2 , 并说明理由 .

5

22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1?的最小值;

(II)证明:

nr ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r ?2

?n

r

? n ? 1? ?

? nr ?1 ; r ?1
? 3? ? ?

r ?1

(III)设 x ? R, 记 ? x?为 不小于 ?? ? =4,?? ? =-1. ...x 的最小整数,例如 ? 2? =2, 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求? S ?的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.7. )
4 4 4 4

6

7

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