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高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系(1)讲课稿

教案三
(人教版必修二 4.2.1 直线与圆的位置关系) 1、 题目:直线与圆的位置关系 2、 教学时间:45分钟 3、 授课人数: 4、 课时:1课时 5、 课型: 6、 教学目标 1.知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的 距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2.过程与方法 设直线l:ax + by + c = 0,圆C:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,圆 的半径为r,圆心 到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下 几点: (1)当d>r时,直线l与圆C相离; (2)当d=r时,直线l与圆C相切; (3)当d<r时,直线l与圆C相交; 3.情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培 养学生数形结合的思想. 七、教材分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直 线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与 圆的位置关系,但是在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的 关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现。在高一学 习了解析几何以后,考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线

与圆的位置关系的方法,解决问题的方法主要是几何法和代数法,其中 几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公 式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.,适可 而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并 与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”。含参 数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提 高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的 位置关系”为目的,要控制难度。 虽然学生学习解析几何了,但把几何 问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因 此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 八、教学重点与难点 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 九、教学设计  1.导入新课 思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中 有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建 立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系. 思路2.(复习导入) (1)直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r. (3)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),圆心为(-,),半径为. 2.推进新课、新知探究、提出问题 ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢? ③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? ④判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?

讨论结果:①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线 与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种. ②直线与圆的三种位置关系的含义是:
直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r的关系 图形

相交

两个

d<r

相切

只有一个

d=r

相离

没有

d>r

③方法一:判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成 的方程组有无实数解; 方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与 圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法: 几何方法步骤: 1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断:当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当 d<r时,直线与圆相交. 代数方法步骤: 1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.

3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系:若Δ>0,则直线与圆相交;若Δ=0,则直 线与圆相切;若Δ<0,则直线与圆相离。反之也成立。 3.应用示例 思路1 例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与 圆的位置关系. 如果相交,求出它们的交点坐标. 互动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考 虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直 线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解;方 法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置 关系. 解法一:由直线l与圆的方程,得 消去y,得x2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1>0,所以直线l与圆相 交,有两个公共点. 解法二:圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1), 半径长为,圆心C到直线l的距离d==<.所以直线l与圆相交,有两个公共 点. 由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1. 把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代 入方程①,得y2=3. 所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别 是(2,0)和(1,3). 点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断 快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解. 例2 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线 有两个公共点,只有一个公共点没有公共点. 互动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提 示,对学生的思维作出评价。我们知道,判断直线l与圆的位置关系, 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距 离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系。反过来,当已知圆与直线 的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为 b为何值时,方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问

题。圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可 转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的 问题. 解法一:若直线l:y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共 点、没有公共点, 则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解, 消去y,得2x2+2bx+b2-2=0, 所以Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=16-4b2. 所以,当Δ=16-4b2>0,即-2<b<2时,圆与直线有两个公共点; 当Δ=16-4b2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点;当Δ=16-4b2<0, 即b>2或b<-2时,圆与直线没有公共点. 解法二:圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到 直线l:y=x+b的距离d=. 当d>r时,即>,即|b|>2,即b>2或b<-2时,圆与直线没有公共 点; 当d=r时,即=,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点; 当d<r时,即<,即|b|<2,即-2<b<2时,圆与直线有两个公共点. 点评:由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到 直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥 曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断. 变式训练 已知直线l过点P(4,0),且与圆O:x2+y2=8相交,求直线l的倾斜角α的 取值范围. 解法一:设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0, 因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径, 即<2,化简得k2<1,所以-1<k<1,即-1<tanα<1. 当0≤tanα<1时,0≤α<;当-1<tanα<0时,<α<π. 所以α的取值范围是[0,)∪(,π). 解法二:设直线l的方程为y=k(x-4), 由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0. 因为直线l与圆O相交,所以Δ=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)>0,化简得k2 <1.(以下同解法一)

点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题 若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案. 思路2 例1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. 活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直 线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质。此切线过点 (x0,y0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接 求解)。直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径, 切线与法线垂直. 解法一:当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜 率为k1, 因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-. 因为k1=所以k=-。所以经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0). 整理得x0x+y0y=x02+y02 又因为点M(x0,y0)在圆上,所以x02+y02=r2. 所以所求的切线方程是x0x+y0y=r2. 当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用. 解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上 时,由OM⊥MP得kOM·kMP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证, 当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求的切线方程 是x0x+y0y=r2. 点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过 这一点的切线方程. 变式训练 求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线l的方程. 解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2, 所以=2,解得k=-. 所以切线方程为y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0. 当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直 线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.

所以直线l的方程是3x+4y-12=0或x=3. 例2 (1)已知直线l:y=x+b与曲线C:y=有两个不同的公共点,求实数b的取 值范围; (2)若关于x的不等式>x+b解集为R,求实数b的取值范围.

图1

解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b的直 线l; 方程y=表示单位圆在x轴上及其上方的半圆, 当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l1; 当直线与半圆相切时,b=,直线记为l2. 直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l1与l2之间(包括l1 但不包括l2), 所以1≤b<,即所求的b的取值范围是[1,).

(2)不等式>x+b恒成立,即半圆y=在直线y=x+b上方, 当直线l过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 4. 知能训练 本节练习2、3、4. 5. 拓展提升 例题 :圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦. (1)当α=时,求AB的长; (2)当AB的长最短时,求直线AB的方程. 解: (1)当α=时,直线AB的斜率为k=tan=-1,所以直线AB的方程为 y-2=-(x+1),即y=-x+1. 解法一:(用弦长公式) 由消去y,得2x2-2x-7=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1,x1x2=-,所以 |AB|=|x1-x2|=·=·=. 解法二:(几何法)弦心距d=,半径r=2,弦长|AB|=2. 解:(2)当AB的长最短时,OP0⊥AB,因为kOP0=-2,kAB=,直线AB的方 程为y-2=(x+1), 即x-2y+5=0. 6. 课堂小结 (1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. 7. 作业 习题4.2 A组1、2、3.


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