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河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)


河北唐山一中 2014-2015 学年高一上学期期中考试数学试卷 (解 析版)
一、选择题 1.设全集 U 是实数集 R , M ? {x x ? 2或x ? ?2} , N ? {x x ? 3或x ? 1} 都是 U 的子集, 则图中阴影部分所表示的集合是( )

A. {x ? 2 ? x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} 【答案】A 【解析】

B. {x ? 2 ? x ? 2} D. {x x ? 2}

试题分析:由韦恩图知阴影部分所表示的集合为 N

CU M , 先 求 出 M 的 补 集 为

?x | ? 2 ? x ? 2 ? ,再画数轴可以求它于 N 的交集为 {x ? 2 ? x ? 1} .
考点:1.集合间的基本关系;2.集合的基本运算. 2.下列函数中与函数 y ? x 相等的函数是( ) A. y ? ( x ) 2 C. y ? 2 log 2 x 【答案】D 【解析】 试题分析: 函数三要素都相同的两个函数是相等函数, 因为 y ? x 的定义域、 值域都是 R . 选 项 A .函数的定义域是 ?0, ??? ,选项 B 函数的值域是 ?0, ??? 选项 C 函数的定义域是 B. y ? x 2 D. y ? log 2 2 x

?0, ??? ,选项 D 函数的的定义域、值域都是 R ,且解析式化简后为 y ? x
考点:函数的三要素 3.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值域是(
2

) D. [? 2, 2]

A. [?2, 2] 【答案】C 【解析】

B. [1, 2]

C. [0, 2]

2 2 试题分析:由 ? x ? 4 x ? 0 得函数的定义域为 ?x | 0 ? x ? 4? ,先求 y ? ? x ? 4x 的值域为

?0, 4? ,再求得函数 y ?

? x2 ? 4 x 的值域为 ?0, 2? ,则可以求出原函数的值域为 [0, 2] .
kb 在同一坐标系中的大致图象正确的是( ) x

考点:1.函数的定义域;2.复合函数的值域. 4.函数 y ? kx ? b 与函数 y ?

【答案】B 【解析】 试题分析:A. y ? kx ? b 的图像过二、三、四象限 k ? 0, b ? 0 则 kb ? 0 , y ?

kb 的图 x

像应在一、三 象限,错误 B. y ? kx ? b 的图像过一、二、四象限 k ? 0, b ? 0 ,则 kb ? 0 ,

kb 的图像应在二、 四 象限, 正确 C.y ? kx ? b 的图像过一、 三、 四象限 k ? 0, b ? 0 , x kb 则 kb ? 0 , y ? 的图像应在二、四象限,错误 D. y ? kx ? b 的图像过一、二、四象限 x kb 的图像应在二、四 象限,错误 k ? 0, b ? 0 ,则 kb ? 0 , y ? x y?
考点:一次函数和反比例函数的图像 5.已知函数 f ? x ? ? ? A.

?log 3 x, x ? 0, ?2 ,
B.4
x

x ? 0.

则 f?f?

? ? 1 ?? ?? 的值为( ? ? 27 ??
C.2



1 8

D.

1 4

【答案】A 【解析】 试题分析:因为

1 1 ? 0 , log 3 ? ?3 ,所以 27 27

? ? 1 ?? 1 f ? f ? ?? = f (?3) ? 2 ?3 ? . 8 ? ? 27 ??

考点:分段函数函数值的计算. 6.下列函数中既是偶函数又在 (??,0) 上是增函数的是( A. y ? x
4 3


?2

B. y ? x

3 2

C. y ? x

D. y ? x

?

1 4

【答案】C 【解析】 试题分析:因为 y ? x 2 的定义域为 ?0, ??? , y ? x
?2 非奇非偶函数, B、 D 错误,又因为 y ? x ?

3

?

1 4

的定义域为 ? 0, ??? ,所以两函数为

1 在 (??,0) 上是增函数,所以选项 C 正 x2

确 考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性.

? x 2 ? ax ? 5, x ? 1, ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 在 R 上单调,则实数 a 的取值范围为( 1 ? 1 ? , x ? 1. x ?
A. (??, 2] 【答案】D 【解析】 B. [2, ??) C. [4, ??) D. [2, 4]



f x) =1+ 试题分析:当 x ? 1 时, (

1 为减函数,所以 ( 在 R 上应为单调减函数,要求当 f x) x a x ? 1 时 f ? x ? ? x2 ? ax ? 5 为减函数,所以 ? 1 ,即 a ? 2 ,并且要满足当 x=1 时函数 2 1 ( f x) =1+ 的函数值不大于 x=1 时函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? 5 的函数值,即 1 ? a ? 5 ? 2 ,解 x

得 a ? 4 ,易知 a 的取值范围为 [2, 4] 考点:1.分段函数 2.函数的单调性. 8 . 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 ? ??, 0? 上 是 增 函 数 , 设 a ? f ? log 4 7 ? ,
0.6 b ? f (log 2 3) , c ? f ? 0.2 ? ,则 a, b, c 的大小关系是(

) D. a ? b ? c

A. c ? b ? a 【答案】C 【解析】

B. b ? c ? a

C. b ? a ? c

试 题 分 析 : 偶 函 数 f ? x ? 在 ? ??, 0? 上 是 增 函 数 , 则 在 ?0, ??? 上 为 减 函 数 , 又

log4 7 ? log2 7 , 0 ? 0.20.6 ? 1 ? log2 7 ? log2 3 ,所以 b ? a ? c
考点:1.偶函数的性质;2.指对数的运算性质. 9.设函数 y ? x 3与y ? ( ) x ? 2 的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 所在的区间是( ) A. (0,1) 【答案】B 【解析】 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

1 2

1 ?1? 试题分析: 函数 y ? x 与y ? ( ) x ? 2 的图象的交点的横坐标 x 0 即函数 f ? x ? ? x3 ? ? ? 2 ?2?
3

x ?2



?1? 零点,根据函数零点存在定理,若 f ? x ? ? x ? ? ? ?2?
3

x ?2

若在区间 ? a, b ? 上存在零点,则

f (a) f (b) ? 0 , 对 四 个 答 案 中 的 区 间 进 行 判 断 , 即 可 得 到 答 案 . 当 x ? 1 时 ,

?1? f ? x? ? x ? ? ? ?2?
3

x ?2

? 0 ,当 x ? 2 时, f ? x ? ? x3 ? ? ?1? ?2?
x ?2

?1? ? ?2?

x ?2

?0 ?1? ?2?
x ?2

即 f (1) f (2) ? 0 又∵函数 f ? x ? ? x3 ? ? ? 点一定位于区间 ?1, 2 ? . 考点:函数与方程.

为连续函数,故函数 f ? x ? ? x3 ? ? ?

的零

10.设 g ( x) 为 R 上不恒等于 0 的奇函数, f ( x) ? ? 函数,则常数 b 的值为( A.2 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意可知函数 h ? x ? ? ? B.1 C. )

1? ? 1 ? ? g ( x) ( a >0 且 a ≠1)为偶 x ? a ?1 b ?

1 2

D.与 a 有关的值

1? ? 1 ? ? 为奇函数,所以 h ? ?x ? ? ?h ? x ? ,即有: x ? a ?1 b ?

2 1 1 1? 1 1 ? 1 ? ? ?? x ? ??? x ? ,化简得 ? ? ?1 ,所以 b ? 2 . b a ?1 b a ?1 b ? a ?1 b ?
?x

考点函数奇偶性的判断. 11 .若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0,4) 和点 B(3,?2) ,则当不等式

| f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的解集为 (?1,2) 时, t 的值为(
A. 0 【答案】C 【解析】 B.-1 C. 1

) D. 2

试题分析:由 | f ( x ? t ) ? 1 |? 3 得 ?3 ? f ( x ? t ) ? 1 ? 3 ,即 ?2 ? f ( x ? t ) ? 4 根据图像过点

A(0,4) 和点 B(3,?2) ,所以 f (3) ? f ( x ? t ) ? f (0) ,即 0 ? x ? t ? 3 ,因为 ?1 ? x ? 2 ,

0 ? x ? 1 ? 3 ,所以 t ? 1 .
考点:1.函数的单调性;2.绝对值不等式的解法. 12 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 满 足 : ① y ? f ( x ? 1)是偶函数 ; ② 在 ?1,?? ? 上 为 增 函 数 , 若

x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ?2 ,则 f (? x1 ) 与 f (? x 2 ) 的大小关系是(
A. f (? x1 ) ? f (? x 2 ) B. f (? x1 ) ? f (? x 2 )



C. f (? x1 ) ? f (? x 2 ) D.无法确定 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : f ? x ? 1? 是 偶 函 数 , 所 以 f ? ? x ? 1? ? f ? x ? 1? 即 f ? ?x ? ? f ? x ? 2? 由

x1 ? x2 ? ?2 得 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 , y ? f ( x) 在 ?1,?? ? 上 为 增 函 数 , 所 以

f ? ? 1x f ? ? ?2

?? ? f? 2 ? x ? 2 x

考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性. 二、填空题 13. 计算:27 【答案】 20 【解析】 试题分析: 原式=(3 ) ? 3 ? (?3) ? 2 ? 9 ? 9 ? 2 ? 20 考点:指数与对数的运算性质. 14. f ( x) ? ax ? bx ? 2 ,若 f (2014) ? 10 ,则 f (?2014) 的值为
7

2 3

1 -2log2 3 ? log 2 ? log 2 3 ? log 3 4 =____________. 8

2 3 3



【答案】 -14 【解析】 试 题 分 析 : 设 g ? x ? ? ax ? bx, g ? x ? ? f ? x ? ? 2 , 则 g ? ? x ? ? ??g
7

, ?x

因 为

g ? 2014? ? f (2014) ? 2 ? 12 g ? ?2014? ? f (?2014) ? 2 ? ?g ? 2014? ?12 ,所以 f (?2014) ? ?14
考点:函数的奇偶性.
2

15.已知 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在区间 ? 2, ?? ? 上为减函数,则实数 a 的取值范围是
2

?

?

____________. 【答案】 ? -4, 4 【解析】 试 题 分 析 : 二 次 函 数 y ? x ? ax ? 3a 的 对 称 轴 为
2

?
a a ,应有 ?2 ,且满足当 2 2

x ? 2时y ? x2 ? ax ? 3a ? 0

?a ? ?2 即?2 ,所以 ?4 ? a ? 4 . ? ?4 ? 2a ? 3a ? 0
考点:函数的单调性和最值. 16.定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数) ,使得 f ( x) ≥ g ( x) 对一切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为 f ( x) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x) =2 x 为函数 f ( x) ? 2 的一个承托函数;
x

③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是____________. 【答案】① 【解析】 试题分析:对于①,若 f ? x ? ? sin x, 则g ? x ? ? B(B ? ?1), 就是它的一个承托函数,且有无 数个,再如 f

? ? x? ? t a n x , g ? ?x
3

就 lgx ,没有承托函数,所以①正确;对于②

3 ?3? 当x ? 时g ? ? ? 3, f ? x ? ? 2 2 ? 8, 2 ?2?
所以 f ? x? ? g ? x? ,所以 g ? x ? ? 2x 不是 f ? x ? ? 2 的一个承托函数,故错误对于③如
x

f ? x ? ? 2x ? 3 存在一个承托函数 y ? 2 x ? 1 ,故错误;
考点:1.新定义函数;2.一次函数、指数函数的性质. 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | 3 ? 3 ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
x

(1)求 ?R B

?

?

A;

(2)已知集合 C ? x 1 ? x ? a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

3? 【答案】 (1) ?x | x ? 3? ;(2) ?? ?,
【解析】 试题分析: (1)首先化简集合 A、B ,求出 CR B ? ?x | x ? 2? ,再利用数轴求并集; (2)由

C ? A 先考虑 C ? ? 时,此时 a ? 1 ,当 C ? ? 时, 1 ? a ? 3
试题解析: (Ⅰ) A ? {x | 3 ? 3 ? 27} ? {x | 1 ? x ? 3} , B ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | x ? 2}
x

?[ R B ?

A ? {x | x ? 2} ? {x | 1 ? x ? 3} ? {x | x ? 3}

5分

(Ⅱ) ①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ; ②当 a ? 1 时, C ? A ,则 1 ? a ? 3 综合①②,可得 a 的取值范围是 ?? ?, 3? 考点:1.集合的运算;2.集合的基本关系. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 3m ? 4 ,
2

10 分

(1) m 为何值时, f ( x) 有两个零点且均比-1 大; (2)求 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值 g (m) . 【答案】 (1) ? ?5, ?1? ; (2) g (m) ? ?

?3m ? 4, m ? ?1 . ?7m ? 8, m ? ?1

【解析】 试题分析:本题考查函数的零点,利用方程的根求证零点;及二次函数对称轴与给定区间的 关系的讨论. (1) f ( x) 有两个零点且均比-1 大即函数与 x 轴有两个交点,且交点在-1 的右边,所以 要求 ? 0 , ? m ? ?1 ,当 x ? ?1 时,图像在 x 轴上方. (2) f ? x ? 的对称轴为 x ? ? m ,讨论对称轴在区间 [0, 2] 的关系.区间 [0, 2] 的中点 x ? 1 , 利用二次函数的对称性,当 ? m ? 1 时, f ? 0 ? 最大值,当 ? m ? 1 时, f ? 2 ? 取最大值,

? ? m ? ?1 ?m ? 1 ? ? 试题解析: (1)由题意,知 ? ? 0 即 ?m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ? f ?1 ? 0 ?1 ? 2m ? 3m ? 4 ? 0 ? ? ? ?

1. ∴ -5 ? m ? -
∴m 的取值范围为 (-5,- 1) . (2) f ? x ? 的对称轴为 x ? ? m ,

6分

当 ? m ? 1, 即m ? ?1时,g (m) ? f (0) ? 3m ? 4 , 当 ? m ? 1, 即m ? ?1时, g ( m) ? f (2) ? 7 m ? 8 ,

?3m ? 4, m ? ?1 ? g ( m) ? ? . ?7 m ? 8, m ? ?1

12 分

考点:1.函数的零点;2.二次函数图像的性质. 19. (本小题满分 12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x 2 ? ?80000, x ? 400
是仪器的月产量, (1)将利润 f ( x) 表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利 润) .

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 【答案】 (1) f ( x) ? ? 2 ? ?60000 ? 100 x, x ? 400
(2) 当月产量为 300 台时,公司获利最大,最大利润为 25000 元. 【解析】 试题分析: (1)根据题意总收益 总成本 ? 利润,故利润 总收益 总成本,易得函数关系 式; (2)通过(1)知函数关系式为分段函数,故函数的最大值为各段最大值中的最大值. 试题解析: (1)当 0 ? x ? 400 时,

f ( x) ? 400 x ?

1 2 1 x ? 100 x ? 20000 = ? x 2 ? 300 x ? 20000 ; 2 2

当 x ? 400 时 f ? x ? ? 80000 ?10x ? 20000 ? 60000 ?100 x

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 所以所求 f ? x ? ? ? 2 ? ?60000 ? 100 x, x ? 400
(2)当 0 ? x ? 400 时

6分

1 1 f ? x ? ? ? x 2 ? 300 x ? 20000 ? ? ( x ? 300)2 ? 25000 2 2
当 x ? 300 时, fmax ? x ? ? 25000 当 x ? 400 时, f ? x ? ? 60000 ?100x ? f ? 400? ? 20000 ? 25000 所以当 x ? 300 时, fmax ? x ? ? 25000 答:当月产量为 300 台时,公司获利最大,最大利润为 25000 元 考点:函数综合问题. 20. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x) ? (1)求函数的定义域; 12 分

2x ? a , 2x ?1

(2)当 a 为何值时, f ( x) 为奇函数; (3)写出(2)中函数的单调区间,并用定义给出证明. 【答案】 (1) x x ? 0? ;(2) a ? 1 (3) 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递减. 【解析】 试题分析: (1)利用分母不为零,可知函数定义域; (2)中利用奇函数的定义,判定先看定义域关于原点对称,然后利用 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 可 求出 a ; (3)由(2)知 a ? 1 时, f ( x) ?

?

2 ? 1 , y ? 2x ?1 在 (??,0) 和 (0,??) 为增函数, 2 ?1
x

? f ? x?
的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) ,利用函数的单调性定义取值、作差、变形可证明. 试题解析: (1) 2 x ? 1 ? 0 即 x ? 0

? 定义域为 ?x x ? 0?
(2)由 f ( x) 是奇函数,则对任意 x ? x x ? 0?

2分

?

f (? x) ?

2?x ? a a ? 2x ?1 2x ? a ? ? ? ? f ( x ) ? ? 2?x ? 1 2x ?1 2x ?1
x

化简得 (a ? 1)2 ? a ? 1

? a ?1
6分

? a ? 1 时, f ( x) 是奇函数
(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?
x

2 ? 1 的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) . 8 分 2 ?1

任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
? 2 x2 ? 2 x1 ? 1

? 0 ? x1 ? x 2

y ? 2 x 在 R 上递增

? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x) 在 (0,??) 上单调递减.

同理: f ( x) 在 (??,0) 上单调递减.

综上: f ( x) ?

2 ? 1 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递减. 2 ?1
x

12 分

考点:1.函数的定义域;2.函数的奇偶性;3.函数的单调性. 21. (本小题满分 12 分)已知定义域为 (0 , ? ?) 的函数 f ( x) 满足:① x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; ② f ( ) ? 1 ③对任意的正实数 x , y ,都有 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ; (1)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; (2)求证: f ( x) 在定义域内为减函数; (3)求不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 的解集. 【答案】 (3) 【解析】 试题分析: (1)因为 与x 互为倒数,可先求出 f ?1? ? 0 ,再利用 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) 可 证 (2)构造函数中两个任意变量的函数值差,结合函数表达式得到函数单调性的证明. (3)结合特殊值的函数值,得到 f ? 4? ? ?2 ,由(2) f ? x ? 为减函数进而得到函数的不等 式的求解. 试题解析:因为对任意正实数 x, y 有

1 2

1 x

?x | 3 ? x ? 5?
1 x

1 与x f ? x. y ? ? f ? x ? ? f ? y ? x
2分

所以 f ?1? ? f (1) ? f ?1? ? f ?1? ? 2 f ?1? , 所以f ?1? ? 0

(1)所以 f ?1? ? f ( x ? ) ? f ? x ? ? f ( ) ? 0 , 所以 f ( ) ? ? f ? x ? (2)设 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 , 则

1 x

1 x

1 x

5分

x1 ? 1则 x2

?x ? f ? 1 ??0, ? x2 ?
x 1 )? f( 2)?0 x1 x1

又由(1)知 ? f ? x ? ? f ( ) ? f ? x2 ? ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? f (

1 x

? f ? x2 ? ? f ( x1 ) ? f ? x ? 为? 0, +??的减函数
(3)

8分

1 1 ?1? f ?1? =f (2 ? )=f ? 2 ? +f ? ? =0 因为 f ( ) ? 1 2 2 ?2?

f ? 2? +f (5 ? x) ? ?2等价于

f ?10 ? 2x ? ? f (4)

+? ? 上为减函数,所以上面不等式等价于 ? f ? x ? 在 ? 0,
?10 ? 2 x ? 0 得 ?x | 3 ? x ? 5? ? ?10 ? 2 x ? 4
12 分

考点:1.抽象函数;2.函数的单调性的运用. 22. (本小题满分 12 分)定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数

M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的
上界.已知函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , (1)当 a ? ?

1 3

1 9

1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否 2

为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)函数 f ? x ? 在 (??,0) 上不是有界函数;(2) ?-6,2? 【解析】

1 1 1 1 代 入 f ? x ? 可 得 f ( x) ? 1 ? ( ) x ? ( ) x , 令 2 2 3 9 1 x 1 t ? ( ) ,? x ? 0,? t ? 1 利用函数的单调性判断出 y ? 1 ? t ? t 2 在 (1,??) 上是单调递增 3 2 3 函数,即可求得 y ? ,从而得到 f ? x ? 的值域,根据有界函数函数的定义,即可判断出 2
试 题 分 析 :( Ⅰ ) 将 a ? ?

f ? x ? 不是有界函数;
(Ⅱ)根据有界函数的定义,可得 f ( x) ? 4 在 x ? [0,??) 上恒成立,利用参变量分离转化 为 ? (t ? ) ? a ?

5 t

3 ? t 在t ? (0,1] 上恒成立,令 t

,则 h(t ) ? ?(t ? ) , p(t ) ?

5 t

3 ?t , t

问题转化为求 h ? t ? 的最大值和 p ? t ? 最小值, 利用函数单调性的定义, 分别判断出函数 h ? t ? 和 p ? t ? 的单调性,即可求得最值,从容求得 a 的取值范围.

1 1 1 1 1 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x ? ( ) x ,令 t ? ( ) x ,? x ? 0,? t ? 1 , 2 2 3 9 3 1 1 3 y ? 1 ? t ? t 2 因为 y ? 1 ? t ? t 2 在 (1,??) 上单调递增,? y ? ,即 f ( x) 在 ? ??,1? 的 2 2 2 3 值域为 ( ,??) 2
试题解析: (1)当 a ? ? 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立,所以函数 f ? x ? 在 (??,0) 上不是有界函数。

(2)由题意知, f ( x) ? 4 对 x ? [0,??) 恒成立。

1 (0,1] ∴ ? 4 ? f ( x) ? 4 , 令 t ? ( ) x ,? x ? 0,? t ? 3 5 3 成立 9 分∴ [?(t ? )] max ? a ? ( ? t ) min t t 5 3 设 h(t ) ? ?(t ? ) , p(t ) ? ? t ,由 t ? (0,1] , t t
由于 h(t ) 在 t ? (0,1] 上递增, p (t ) 在 t ? (0,1] 上递减,

5 3 ? (t ? ) ? a ? ? t 对 t ? (0,1] 恒 t t

h(t ) 在 t ? (0,1] 上的最大值为 h(1) ? ?6 ,
所以实数 a 的取值范围为 [?6,2] 。 考点:1.指数与指数函数;2.函数综合.

p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p(1) ? 2


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