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高中数学 立体几何知识点总结


立体几何 一、空间位置关系的证明 (一)平行关系的证明 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行, 判定定理 则该直线与此平面平行 (简记为“线线平行?线 面平行”) 一条直线与一个平面平 行,则过这条直线的任 性质定理 一平面与此平面的交线 与该直线平行(简记为 “线面平行?线线平行”) 图形语言 符号语 言 ∵l∥a, a?α, l?α,∴l ∥α ∵l∥α, l?β, α∩β= b,∴l∥ b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两 条相交直线与另 判定定 理 一个平面平行, 则 这两个平面平行 (简记为“线面平 行?面面平行”) ∵a∥β, b∥β, a∩b =P,a?α,b?α, ∴α∥β 图形语言 符号语言 如果两个平行平 性质定 理 面同时和第三个 平面相交, 那么它 们的交线平行 ∵α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b,∴a∥b 3.重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ. (4)几何体中线面平行的证明常利用平行四边形的定义、性质或三角形中位线 (二)垂直关系的证明 1.直线与平面垂直 (1)定义::如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 垂 直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 一条直线与一个平 判定定理 面内的两条相交直 线都垂直,则该直 线与此平面垂直 垂直于同一个平面 的两条直线平行 图形语言 符号语言 a,b?α l⊥a l⊥b ⊥α a⊥α? ? b⊥α? ? ??a∥b a∩b=O ? ? ??l ? ? 性质定理 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线 和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 0° 的角. π (2)范围:[0,2]. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂 直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定 理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 两个平面垂直,则一个 性质定 平面内垂直于交线的 理 直线与另一个平面垂 直 l⊥α? l?β ? ??α⊥β 图形语言 符号语言 ? ? ?l α∩β=a? ? l⊥a ? α⊥β l?β ⊥α 4.重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则 它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线 线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)在几何体中垂直关系的证明中要重视勾股定理及平面几何知识的应用,如: 菱形的对角线互相垂直,等腰三角形底边上的中线垂直于底边等。 二、立体几何中的向量方法 (一)证明平行与垂直 1.直线的方向向量与

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