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高中新课标数学必修综合测试题(2)


高中新课标数学必修②综合测试题(2) 高中新课标数学必修②综合测试题( )
一、选择题 1.图为某物体的实物图,则其俯视图为(



答案:C 2.图所示的直角梯形 OABC 的面积为 S ,高为 OC ,那么用斜二测画法所得其直观图的面 积为( ) A. S
1 B. S 2

C.

3 S 2

D.

2 S 4

答案:D 3.四面体 A ? BCD 中, AB,AC,AD 两两互相垂直, 棱 则顶点 A 在底面 BCD 上的投影 H 为
△BCD 的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案:A 4.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是(



A. 8πcm B. 12πcm C. 2πcm D. 20πcm 答案:B 5.已知点 (a, a > 0) 到直线 l : x ? y + 3 = 0 的距离为 1,则 a 等于( 2)(
2 2 2 2



A. 2 答案:C

B. 2 ? 2

C. 2 ? 1

D. 1 + 2

6.在平面直角坐标系中,直线 ( 3 ? 2) x + y = 3 和直线 x + ( 2 ? 3) y = 2 的位置关系是 ( ) A.相交但不垂直 C.平行

B.垂直 D.重合

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答案:B 7.两圆 x 2 + y 2 = 1 和 x 2 + y 2 ? 6 x ? 8 y + 9 = 0 的公切线有( A.1 条 答案:C B.2 条 C.3 条 )

D.4 条

8.圆: x 2 + y 2 ? 4 x + 6 y = 0 和圆: x 2 + y 2 ? 6 x = 0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的

方程是( ) A. x + y + 3 = 0 C. 3x ? y ? 9 = 0 答案:C

B. 2 x ? y ? 5 = 0 D. 4 x ? 3 y + 7 = 0

, 3) 9.在空间直角坐标系中,点 B 是 A(1 2, 在 yOz 坐标平面内的射影, O 为坐标原点,则 OB 等于( A. 14 答案:B ? 10.过点 (0, 1) )的直线 l 与半圆 C : x 2 + y 2 ? 4 x + 3 = 0( y ≥ 0) 有且只有一个交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围为( A. k = 0 或 k = C. k =
4 3

) B. 13 C. 2 3 D. 11


1 B. ≤ k < 1 3

4 1 或 ≤k <1 3 3

D. k =

4 1 或 ≤ k ≤1 3 3

答案:C 11.如下图,都不是正四面体的表面展开图的是(



A.①⑥ 答案:B

B.④⑤

C.③④

D.④⑥

12.当 0 < r ≤ 8 时,两圆 x 2 + y 2 = 9 与 ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = r 2 的位置关系为(



A.相交 答案:D

B.相切

C.相交或相切 D.相交、相切或相离

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二、填空题 13.顺次连接 A(1 0) B (1 4) C (3,,D(5, 所得到的四边形绕 y 轴旋转一周,所得旋转体的 ,, ,, 4) 0)
体积是 答案:
184π 3



14.已知直线 l 经过点 P (?4, 3) ,且被圆 ( x + 1)2 + ( y + 2)2 = 25 截得的弦长为 8,则直线 l 的 ?

方程是 . 答案: 4 x + 3 y + 25 = 0 或 x = ?4 15.已知 O(0, 0) B(3, 4) ,半径为 1 的球体的球心在线段 OB 上运动时,球体各点的轨迹 0,, 0, 得到一几何体,则该几何体的体积为 答案: .

19π 3

16.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正 方体后,有下列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q
重合;④点 A 与点 S 重合.其中正确命题的序号为 答案:②④ .

三、解答题 17.平行四边形的两邻边所在直线的方程分别为 x ? y + 1 = 0 及 3x + y ? 3 = 0 ,对角线的交点为 M (0, 1) ,求另两边所在直线的方程. ? 解:设另两边所在直线方程为 x ? y + b = 0 及 3x + t + c = 0 , ∵平行四边形对角线交点为 M (0, 1) , ? ∴点 M 到对边的距离相等,
∴ 1+ b 2 = 1+1 2 ,
?1 + c 10 = ?1 ? 3 10



∴ b = ?3 ,或 b = 1 (舍去) c = 5 ,或 c = ?3 (舍去) , , 故所求的直线方程为 x ? y ? 3 = 0 和 3x + y + 5 = 0 .

18.若球 O 的半径为 R,P,A,B,C 为球面上四个不同的点,且 PA,PB,PC 两两垂直,则 PA2 + PB 2 + PC 2 是否为定值?并说明理由. 解:首先 PA,PB 确定一个平面,此平面和球的交线是一个圆,设 圆心为 O1 ,此圆不可能是大圆,否则由 CP ⊥ PA , CP ⊥ PB ,便 推出 CP ⊥ 平面 PAB ,这时 PC 就变成球 O 的切线,与已知矛盾.
∵ ∠BPA = 90° ∴ AB 是圆 O1 的直径,于是有 PA2 + PB 2 = AB 2 . ,

作小圆 O1 的直径 PD ,则 PA2 + PB 2 = PD 2 ,且 PC 和 PD 确定的 平面与球 O 的交线是一个大圆,为了证明这个圆是大圆,可以过 小圆 O1 的圆心 O1 作圆 O 的垂线,此垂线必过球心 O ,因为 CP ⊥ 圆 O1 , OO1 ⊥ 圆 O1 , ∴ CP ∥ OO1 .

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∵ ∠CPD = 90° , ∴ CD 是大圆 O 的直径,故有 CD = 2 R ,且 CD 2 = CP 2 + PD 2 , 从而有 CD 2 = CP 2 + PA2 + PB 2 . 故 PA2 + PB 2 + PC 2 = 4 R 2 ,为一定值.

19.如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 BC 的中点. (1)求证: BD1 ∥平面 C1 DE ; (2)试在棱 CC1 上求一点 P ,使得平面 A1 B1 P ⊥ 平面 C1 DE .

(1)证明:如图 1,连结 CD1 ,交 C1 D 于点 O , ∵ E 是 BC 的中点, O 是 CD1 的中点, ∴ BD1 ∥ OE , 由线面平行的判定定理知 BD1 ∥平面 C1 DE ;

(2)解:如图 2,过 B1 作 B1 P ⊥ C1 E ,交 CC1 于点 P ,交 C1 E 于点 O1 , ∵ A1 B1 ⊥ 平面 BCC1 B1 , ∴ A1 B1 ⊥ C1 E , 又∵ C1 E ⊥ B1 P , A1 B1 ∩ B1 P = B1 , ∴ C1 E ⊥ 平面 A1 B1 P . ∵ C1 E ? 平面 C1 DE , ∴平面 A1 B1 P ⊥ 平面 C1 DE ,

这时由图 3 可知, ∠B1C1O1 = ∠CEC1 , ∴ ∠C1 B1O1 = ∠CC1 E ,且 B1C1 = C1C , 从而 Rt△B1C1 P ≌ Rt△C1CE , ∴ C1 P = CE ,即 P 为 C1C 的中点.

图2

图3

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20.已知直角三角形 ABC 中, ∠C = 90° AC = 8,BC = 6 , P 是 △ ABC 内切圆上的动点, , 求分别以 PA,PB,PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 解:以直角顶点 C 为坐标原点,直角边所在的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如图所示. 则 △ ABC 各顶点的坐标依次为 A(8,,B (0,,C (0, , 0) 6) 0)
易得 AB = 10 . 设 △ ABC 的内切圆半径为 r ,由于 S△ ABC =
1 1 又 S△ ABC = ab = × 6 × 8 = 24 . 2 2 1 r (a + b + c) = 12r . 2

∴内切圆的方程为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 . 设 P 为内切圆上的任意一点,其坐标为 ( x,y ) ,以 PA,PB,PC 为直径的三个圆的面积之和
π ? PA ? ? PB ? ? PC ? 2 2 2 为 S ,则 S = π ? ? + π? ? + π? ? = ( PA + PB + PC ) 4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2

= [( x ? 8)2 + y 2 + x 2 + ( y ? 6) 2 + x 2 + y 2 ] 4 =
π (3x 2 + 3 y 2 ? 16 x ? 12 y + 100) 4

π = [3( x ? 2) 2 + 3( y ? 2)2 ? 4 x + 76] 4 ∵点 P ( x,y ) 在内切圆上,

∴ ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ,且 0 ≤ x ≤ 4 . 即S = ∴ S min
π (3 × 4 ? 4 x + 76) = π(? x + 22)(0 ≤ x ≤ 4) . 4 = 18π,Smax = 22π .

21.已知圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y ? 2)2 = 25 ,直线 l : (2m + 1) x + (m + 1) y ? 7m ? 4 = 0 .

(1)求证:无论 m 为何值,直线 l 恒过定点 (3, ; 1) (2)当 m 为何值时,直线被圆截得的弦最短,最短的弦长是多少? 解: 1)将点 (3, 的坐标代入直线方程的左边有 (2m + 1) × 3 + ( m + 1) × 1 ? 7m ? 4 = 0 , ( 1) 即点 (3, 的坐标轴令直线的方程恒成立. 1) 故点 (3, 是直线 l 上的一点,即直线 l 恒过定点 (3, . 1) 1) (2)容易知道点 D(3, 在圆内,当直线 l 垂直于 CD 时被截得的弦长最短, 1) 由圆的方程可得圆以 C 的坐标为 (1 2) , , 则直线 CD 的斜率 kCD =
1? 2 1 =? . 3 ?1 2 2m + 1 . m +1

所以当直线 l 被截得的弦长最短时直线 l 斜率为 2. 由直线 l 的方程可得 k1 = ?

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2m + 1 3 = 2 ,解得 m = ? . m +1 4 则直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 = 0 .

于是有 kl = ?

又 CD = (1 ? 3) 2 + (2 ? 1) 2 = 5 , 所以最短的弦长为 2 r 2 ? CD 2 = 4 5 .
3 故直线 l 被圆 C 截得的弦最短时 m 的值是 ? ,最短长度是 4 5 . 4

22.如图所示,正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直,且它们的边长都是 1,点 M 在 AC 上,点 N 在 BF 上,且 MN ⊥ BF ,若 CM = 2 BN = a (0 < a < 2) .

(1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时, MN 最短? (3)当 MN 最短时,求四面体 A ? BMN 的体积. 解: 1)过 M 作 MO ⊥ AB ,垂足为 O ,连结 MB . ( ∵平面 ABEF ⊥ 平面 ABCD , ∴ MO ⊥ 平面 ABEF . MO AM ∵ AM = 2 ? a ,∴ = . BC AC
∴ MO = 1 ?

2 a. 2 2 2 a ,∴ BO = 1 ? OA = a. 2 2
2 2 2 2

又 OA = MO = 1 ?

? 2 ? 1 2 在 Rt△MOB 中, MB = MO + BO = ?1 ? a ? + a = 1 ? 2a + a 2 . ? ? 2 ? 2 ?

3 3? 2 2? 1 在 Rt△MNB 中, MN = MB ? BN = 1 ? 2a + a 2 = ?a ? ? + . ? ? 4 4? 3 ? 3
2 2

2

3? 2 2? 1 (2)由(1)∵ MN = ?a ? ? + , ? ? 4? 3 ? 3 又0< a < 2 , ∴当 a = 2 2 3 时, MN 最短,此时 MN = . 3 3 2 2 2 1 , MO = 1 ? = . 3 3 3

2

(3)由(2) MN 最短时, a =

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2 S△ ABN BN 1 1 1 1 ∴ = = 3 = ,∴ S△ ABN = × = . A△ ABF BF 3 2 6 2 3

1 1 ∴V四面体A? BMN = V三棱锥M ? ABN = × MO × S△ ABN = . + 3 54

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