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四川省巴中市四县中11-12学年高二上期期末联考(数学文)


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四川省巴中市四县中 2011-2012 年高二(上)期末测试

数学试题(文科)
(时间:120 分钟
一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1、某几何体的三视图如下图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

满分:150 分

命题人:何浪)

2、直线 l 过点 ?1 2) ( , 且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直,则 l 的方程是( A. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0



3、若 合 A ? ? | b2 ? b ? 6 ? 0, b ? Z ? ,则使得椭圆 集 b ( ) A.1 个
2

x2 y2 ? ? 1 的焦点恰在 x 轴上的b 值有 3 b
D.4 个

B.2 个

C.3 个

( 4、已知抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 和点 A ? 1,8) 为抛物线上一点,则 | PA | ? | PF | 的最 ,P
小值是( A.16
2

) B.6 C.12 D.9 )

5、直线 x ? a y ? 6 ? 0 和直线 (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 没有公共点,则 a 的值是( A.1 B.0 ) C.-1 D.0 或-1

6、方程 y ? ? 4 ? x2 对应的曲线是(

A

B

C

D

7、直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所

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成的角等于( A.30°

) B.45° C.60° D.90°

8、用 a、b、c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列命题: ①若 a // b, b // c, 则a // c; ③若 a // ? , b // ? , 则a // b; ②若 a ? b, b ? c, 则a ? c; ④若 a ? ? , b ? ? , 则a // b; D.③④

A.①② B.②③ C.①④ 9、如图,正方体 AC1 的棱长为 1,连接 AC1,交平面 A1BD 于 H,则 以下命题中,错误的命题是( ) A.AC1⊥平面 A1BD B.H 是△A1BD 的垂心 C.AH=

3 3

D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°

10、一个容器形如倒置的等边圆锥,如下图所示,当所盛水深是容器高的一半时,将容器倒 转,那么水深是容器高的( )

7 A. 1 ? 2 7 C. 1 ? 2
3

3

3

B.

7 3
3

D. 1 ?

7 3

D E A

F B

C

二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分) 11、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF//平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于______________。 D1 A1 B1 C1

12、已知三角形的三个顶点为 A(2,?1,4) , B(3,2,?6) , C (?5,0,2) ,则过 A 点的中线长为 _____。 13、如图,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆 的离心率为________。 14、设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA⊥ l ,A 为垂足,如果
2

直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么|PF|=_________________。 15、如图,二面角 a - l - ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? , B ? l ,AB 与 l 所成角为 30°,则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是________________。

16、若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°。
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其中正确答案的序号是_________。(写出所有正确答案的序号) 三、解答题。(共 76 分) 17、(12 分)如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AD= a ,AB=2 a ,E,F 分别为 C1D1, A1D1 的中点。 ⑴求证:DE/⊥平面 BCE; ⑵求证:AF//平面 BDE。

18、(12 分)已知直线 l1 经过点 A (m,1) ,B ( ?1, m) ,直线 l 2 经过点 P (1,2) ,Q (?5,0) 。 ⑴若 l1 // l 2 ,求 m 的值; ⑵若 l1 ⊥ l 2 ,求 m 的值。

19、(12 分)已知动点 P 到两定点 M (?1,0),N (1,0) 距离之比为 2 。 ⑴求动点 P 轨迹 C 的方程; ⑵若过点 N 的直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 6 ,求直线 l 的方程。

20、 (12 分)已知圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二
2 2

象限,半径为 2 。
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⑴求圆 C 的方程; ⑵已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且 l 在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方 程。

21、(14 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a ,E 为棱 CC1 上的动点. ⑴求证:A1E⊥BD; ⑵当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求二面角 A1—BD—E 的大小; ⑶在⑵的条件下,求 VA1 ? BDE 。

22、(14 分)如图,椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心 率e ?

1 , 2

⑴求椭圆 E 的方程; ⑵求∠F1AF2 的角平分线所在的直线 l 的方程; ⑶在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在, 请找出; 若不存在, 说明理由。

四川省巴中市四县中 2011-2012 学年上期期末联考
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高二数学(文科)答案
一、选择题。 1、B 2、A C 二、填空题。 11、 2 12、7 13、16 3、B 4、D 5、D 6、A 7、C 8、C 9、D 10、

14、8

15、

3 4

16、①⑤

三、解答题。 17、(12 分)⑴∵BC⊥侧面 CDD1C1,DE ? 侧面 CDD1C1.∴DE⊥BC ……………… 2 分 在△CDE 中,CD=2 a ,CE=DE= 2a ,则有 CD2=CE2+DE2. ∴∠DEC=90°,∴DE⊥EC. 分 又 BC ? EC=C,∴DE⊥平面 BCE. ………………………………………… 6 分 ⑵连结 EF,A1C1,连结 AC 交 BD 于 O, ∥ ∵EF = ……………… 4

1 ∥ 1 A1C1, A1C1,AO = 2 2

∴四边形 AOEF 是平行四边形, ………………………………………… 8 分 ∴AF//OE. 又∵OE ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, ………………………………………… 10 分 ∴AF//平面 BDE. ………………………………………… 12 分 18、 (12 分) l1 过 A (m,1) B (?1, m) ∵ 2分 ∴ k1 ?

m ?1 ……………………………………… ?1? m

l 2 过 P (1,2)

Q (?5,0)

∴ k2 ?

2 1 ? ? (?5) 3

………………………………………… 4 分 ⑴若 l1 // l 2 ,则

m ?1 1 ? ?1 ? m 3

∴ 6分

m?

1 2

………………………………

⑵若 l1 ⊥ l 2 ,则

m ?1 1 ? ? ?1 ?1 ? m 3

∴ 6分

m ? ?2

………………………………

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19 、 ( 12

分 ) ⑴ 由 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知 圆 心 ……………… 1 分

C

的 坐 标 为

? D E? ? ? ,? ? , ? 2 2 ? ?

∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,∴点 ? ? ? 即 D+E= —2, 且 ① ②

? D E? ,? ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, ? 2 2?

………………………… 3 分 ………………………… 4 分

D 2 ? E 2 ? 12 ?2 4

又∵圆心 C 在第二象限。∴D>0,E>0. 由①②解得 D=2,E= —4, ………………………… 5 分 ∴所求圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 分 ⑵∵切线 l 在两坐标轴上的截距相等且不为零,可设 l : x ? y ? ? , ∴圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,∴圆心 C (?1,2) 到切线的距离等于半径 2 , 即 ……………………………… 6

?1? 2 ? ? 2

∴ ? 2, ? = —1 或 ? =3.

………………………………

10 分 所求切线方程 x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 12 分 ………………………………

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,即 20、(12 分)⑴设所求动点 P ( x,y ) ,则 ?2, ( x ? 1) 2 ? y 2 PN
PM
化简得 ( x ? 3) ? y ? 8
2 2

………………………………………… 6 分 ⑵由题知直线 l 的斜率存在,不妨设直线方程为 y ? k ( x ? 1) ,











线







?l? d ? r ? ? ? (l为 长 ) 弦 ?2 ? ?
2

2





3k ? k 1? k 2

? 8 ? 6 ? 2 , 解 k ? ?1 得
…………………………………………

所以所求直线方程为 x ? y ? 1 ? 0和x ? y ? 1 ? 0

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12 分 21、(14 分)证明:⑴连 AC、A1C1, ∵正方体 AC1 中,AA1⊥平面 ABCD,∴AA1⊥BD. ∵正方体 ABCD,AC⊥BD 且 AC ? AA1=A, ∴BD⊥平面 ACC1,A1 且 E ? CC1, 所以 A1E ? 平面 ACC1A1,∴BD⊥A1E. ………………………………………… 5 分 ⑵设 AC ? BD=O,则 O 为 BD 的中点,连 A1O,EO. 由⑴得 BD⊥平面 AACC1, ∴BD⊥A1O,BD⊥EO,∴∠A1OE 即为二面角 A1—BD—E 的平面角. ∵AB= a ,E 为 CC1 中点,∴A1O=

6 3 3 a, A1 E ? a, EO ? a , 2 2 2

∴A1O2+OE2=A1E2,∴A1O⊥OE, ∴∠A1OE=90° ………………………………………… 5 分 ⑶由⑵得 A1O⊥平面 BDE, ∴ A1O=

6 6 2 a,S△BDE ? a 2 4





V=

1 1 Sh ? a 3 . 3 4

……………………………… 4 分

22 、 ( 14

分 ) ⑴ 设 椭 圆

E

的 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 由 a2 b2

e?

1 c 1 , 即 ? , a ? 2c, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 . 得 2 a 2

∴椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1. 4c 2 3c
1 3 ? 2 ? 1 ,解得 c =2, 2 c c
……………………………… 4分

3) 将 A (2, 代入上式,得

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆 E 的方程为 16 12
⑵ 法 一 : 由 ⑴ 知

F1 (?2,0) , F2 ( 2,0) , 所 以 直 线

AF1 的 方 程 为

y?

3 ( x ? 2), 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .直线 AF2 的方程为 x =2. 即 4

由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数.设 P ( x,y ) 为 l 上任一点,则

3x ? 4 y ? 6 5

? x?2 .

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若 3x ? 4 y ? 6 ? 5 x ? 10 , 得 x ? 2 y ? 8 ? 0 . ( 因 其 斜 率 为 负 , 舍 去 ) 于 是 , 由

3x ? 4 y ? 6 ? 5x ? 10 , 得 2 x ? y ? 1 ? 0 , 所 以 直 线 l 2x ? y ? 1 ? 0
…………………………………… 9 分

的 方 程 为

⑶假设存在 B ( x1,y1 ) ,C ( x2,y 2 ) 两点关于直线 l ,∴ k BC ? ? 设直线 BC 的方程为 y ? ?
2

1 . 2

1 x2 y2 x ? m ,将其代入椭圆方程 ? ? 1 ,得一元二次方程. 2 16 12
1与

? 1 ? 3x ? 4? — x ? m ? ? 48 ,即 x 2 ? mx ? m 2 ? 12 ? 0 ,则 ? 2 ? ?
2

x

x 2 是该方程的两个根.

由韦达定理,得 x 1+ x 2= m ,于是 y1 ? y 2 ? ? ∴BC 的中点坐标为 ? ?

1 3m ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? , 2 2

? m 3m ? , ?. ?2 4 ?

又线段 BC 的中点在直线 y ? 2 x ? 1 上, ∴

3 m ? m ? 1, 得m ? 4 ,即 BC 的中点坐标为 (2,3) ,与点 A 重合,矛盾. 4

所以 5:不存在满足题设条件的相异两点. …………………………………… 14 分

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