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人教版 高中数学必修2教案


讲义 1:

空 间 几 何 体

一、 教学要求: 通过实物模型, 观察大量的空间图形, 认识柱体、 锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征,并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结 构. 二、教学重点:让学生感受大量空间实物及模型,概括出柱体、 锥体、台体、球体的结构特征. 三、教学难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括. 四、教学过程: (一)、新课导入: 1. 导入:进入高中,在必修②的第一、二章中,将继续深入研 究一些空间几何图形,即学习立体几何,注意学习方法:直观感 知、操作确认、思维辩证、度量计算. (二)、讲授新课: 1. 教学棱柱、棱锥的结构特征: ①、讨论:给一个长方体模型,经过上、下两个底面用刀垂直切, 得到的几何体有哪些公共特征?把这些几何体用水平力 推斜后,仍然有哪些公共特征? ②、定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成 的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、 六角螺帽). 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对 角线. ③、分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四 棱柱、五棱柱等. 表示:棱柱 ABCDE-A’B’C’D’E’ ④、讨论:埃及金字塔具有什么几何特征? ⑤、定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点 的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论:棱 锥如何分类及表示? ⑥、讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?有什么共同 的性质? ★棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都

是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全 等的多边形 ★棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面 相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征: ① 讨论:圆柱、圆锥如何形成? ② 定义: 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 的曲面所围成的几何体叫圆柱; 以直角三角形的一条直角边为旋 转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. →结合图形认识:底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法 ③ 讨论:棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征? → 柱体、锥 体. ④ 观察书 P2 若干图形,找出相应几何体; 三、巩固练习: 1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为 12cm,求 圆锥的底面半径. 2.已知圆柱的底面半径为 3cm,,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母 线长. 3.正四棱锥的底面积为 46 cm 2 ,侧面等腰三角形面积为 6 cm 2 ,求正 四棱锥侧棱. (四)、 教学棱台与圆台的结构特征: ① 讨论:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何 体有何特征? ② 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面 之间的部分叫做棱台;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 截面和底面之间的部分叫做圆台. 结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线)、顶点、高. 讨论:棱台的分类及表示? 圆台的表示?圆台可如何旋转而 得? ③ 讨论:棱台、圆台分别具有一些什么几何性质? ★ 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行 的相似多边形;侧面是梯形;侧棱的延长线相交于一点. ★ 圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任

意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等. ④ 讨论:棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与 棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥有什么关系? (以 台体的上底面变化为线索) 2.教学球体的结构特征: ① 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形 成的几何体,叫球体.结合图形认识:球心、半径、直径 .→ 球 的表示. ② 讨论:球有一些什么几何性质? ③ 讨论:球与圆柱、圆锥、圆台有何关系?(旋转体)棱台与 棱柱、棱锥有什么共性?(多面体) 3. 教学简单组合体的结构特征: ① 讨论:矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成?灯管呢? ② 定义:由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简 单组合体. 4. 练习:圆锥底面半径为1cm,高为 2 cm,其中有一个内接 正方体,求这个内接正方体的棱长. (补充平行线分线段成比例 定理) (五)、巩固练习: 1. 已知长方体的长、宽、高之比为 4∶3∶12,对角线长为 26cm, 则长、宽、高分别为多少? 2. 棱台的上、下底面积分别是 25 和 81,高为 4,求截得这棱台 的原棱锥的高 3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体,求棱长为 a 的正四面体 的高. ★例题:用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥,截得的圆 台的上、下底面的半径的比是 1:4,截去的圆锥的母线长为 3 厘米,求此圆台的母线之长。 ●解: 考查其截面图, 利用平行线的成比例, 可得所求为 9 厘米。 ★ 例题 2:已知三棱台 ABC—A′B′C′ 的上、下两底均为正三角 形,边长分别为 3 和 6,平行于底面的截面将侧棱分为 1:2 两部分,求截面的面积。(4 3 ) ★ 圆台的上、下度面半径分别为 6 和 12,平行于底面的截面分

高为 2:1 两部分,求截面的面积。(100π ) ▲ 解决台体的平行于底面的截面问题, 还台为锥是行之有效的 一种方法。

讲义 2、空间几何体的三视图和直视图 一、教学要求:能画出简单几何体的三视图;能识别三视图所表 示的空间几何体. 掌握斜二测画法;能用斜二测 画法画空间几何体的直观图. 二、教学重点:画出三视图、识别三视图. 三、教学难点:识别三视图所表示的空间几何体. 四、教学过程: (一)、新课导入: 1. 讨论:能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作 工程设计图纸? 2. 引入:从不同角度看庐山,有古诗:“横看成岭侧成峰,远 近高低各不同。 不识庐山真面目, 只缘身在此山中。 ”对 于我们所学几何体,常用三视图和直观图来画在纸上. 三视图:观察者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何 体的图形;直观图:观察者站在某一点观察几何体,画出的空间 几何体的图形. 用途:工程建设、机械制造、日常生活. (二)、讲授新课: 1. 教学中心投影与平行投影: ① 投影法的提出:物体在光线的照射下,就会在地面或墙壁上 产生影子。人们将这种自然现象加以的抽象,总结其 中的规律,提出了投影的方法。 ② 中心投影:光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随 物体与投影中心间距离的变化而变化,所以其投影不 能反映物体的实形. ③ 平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、

斜投影. → 讨论:点、线、三角形在平行投影后的结果. 2. 教学柱、锥、台、球的三视图: ① 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影); 侧视图(从左向右)、俯视图 ② 讨论:三视图与平面图形的关系? → 画出长方体的三视图, 并讨论所反应的长、宽、高 ③ 结合球、圆柱、圆锥的模型,从正面(自前而后)、侧面(自 左而右)、上面(自上而下)三个角度,分别观察,画出观 察得出的各种结果. → 正视图、侧视图、俯视图.

③ 试画出:棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. ( ④ 讨论:三视图,分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前 后)?哪些数量(长、宽、高) 正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高 度和长度; 俯视图反映了物体左右、 前后的位置关系, 即反映了物体的长 度和宽度; 侧视图反映了物体上下、 前后的位置关系, 即反映了物体的高 度和宽度。 ⑤ 讨论:根据以上的三视图,如何逆向得到几何体的形状. (试变化以上的三视图,说出相应几何 体的摆放) 3. 教学简单组合体的三视图: ① 画出教材 P16 图(2)、(3)、(4)的 三视图. ② 从教材 P16 思考中三视图,说出几何体. 4. 练习: ① 画出正四棱锥的三视图. ④ 画出右图所示几何体的三视图. ③ 右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图, 试描述该物体的形状. (三)复习巩固、

1. 何为三视图?(正视图:自前而后;侧视图:自左而右;俯 视图:自上而下)2.定义直观图(表示空间图形的平面图). 观 察者站在某一点观察几何体,画出的图形.把空间图形画在平面 内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系 和度量关系的图形 (四)、讲授新课: 1. 教学水平放置的平面图形的斜二测画法: ① 讨论:水平放置的平面图形的直观感觉?以六边形为例讨论. ② 给出斜二测画法规则: 建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直 的 OX,OY,建立直角坐标系; 画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O’X’,O’Y’,使 ?X 'O'Y ' =450(或 1350),它们确定的平面表示水平 平面; 画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画 成平行于 X 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线 段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; 擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加 的辅助线(虚线)。 ③ 出示例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形. (师生共练,注意取点、变与不变 → 小结:画法步骤) ④ 练习: 用斜二测画法画水平放置的正五边形. ⑤讨论:水平放置的圆如何画?(正等测画法;椭圆模板) 2. 教学空间图形的斜二测画法: ① 讨论:如何用斜二测画法画空间图形? ② 出示例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体 的直观图. (师生共练,建系→取点→连线,注意变与不变; 小结:画 法步骤) ③ 出示例 3 (教材 P20)根据三视图,用斜二测画法画它的直 观图.
‘ ‘

讨论:几何体的结构特征? 基本数据如何反应? 师生共练:用斜二测画法画图,注意正确把握图形尺寸大小 的关系 ④ 讨论:如何由三视图得到直观图?又如何由直观图得到三视 图? 空间几何体的三视图与直观图有密切联系 . 三视图从细节上 刻画了空间几何体的结构, 根据三视图可以得到一个精确的空间 几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空 间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象. 3. 练习: 探究 P21 奖杯的三视图到直观图. (五)、巩固练习: 1. 练习:P21 1~5 题 2. 右图是一个几何体的三视图,请作出其直观图.
正视图 俯视图 左视图

3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸: 上、 下底面边长 2cm、 4cm; 高 3cm (六)高考题: ●★1.(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的 矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称 左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

■解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形 ,高为 4,顶点在底 面 的 射 影 是 矩 形 中 心 的 四 棱 锥
1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

V-ABCD

;(1)

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角

形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , ?2?
2

2

另两个侧面 VAB.
?6? h2 ? 42 ? ? ? ? 5 ; ?2?
2

VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 因此
1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

★(2007 年山东高考)(3)下列几何体各自的三视图中,有且仅 有两个视图相同的是( D )

①正方形

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

讲义 3:空间几何体的表面积和体积 一、教学要求:了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用柱锥 台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 二、教学重点:运用公式解决问题.

三、教学难点:理解计算公式的由来. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的 表面积计算公式? 2. 讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式? 圆锥的侧面积公式? (二)、1. 教学表面积计算公式的推导: ① 讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开 成平面图形,各面面积和) ② 练习: 求各面都是边长为 10 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形,边长为 4,侧棱与底面垂直, 侧棱长 10,求其表面积. ③ 讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→ 侧→表) 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱 的高(母线), S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面 半径, l 为母线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长 等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为 ? ? r ? 3600 ,
l

S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) , 其中为 r 圆锥底面半径,l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长, 外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为 R?r ?? ? 3600 ,S 圆台侧 = ? (r ? R )l ,S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) .
l

④ 练习:一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母 线与底面的夹角为 60°,求圆台的表面积. (变式:求切割之 前的圆锥的表面积) 2. 教学表面积公式的实际应用: ① 出示例:一圆台形花盆,盘口直径 20cm,盘底直径 15cm, 底部渗水圆孔直径 1.5cm,盘壁长 15cm.. 为美化外表而涂油漆, 若每平方米用 100 毫升油漆, 涂 200 个这样的花盘要多少油漆? 讨论:油漆位置?→ 如何求花盆外壁表面积? 列式 → 计

算 → 变式训练:内外涂 ② 练习:粉碎机的上料斗是正四棱台性,它的上、下底面边长 分别为 80mm、440mm,高是 200mm, 计算制造这样一个下料斗 所需铁板的面积. (三)、巩固练习: 1. 已知底面为正方形,侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱 锥 S-ABCD,求其表面积. 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、20, 平行于底面的截面把圆 台侧面分成的两部分面积之比为 1: 1, 求截面的半径. (变式: r、R;比为 p:q) 3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,求这个圆 锥的表面积. *4. 圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,求圆锥的内接圆柱的侧 面积的最大值. 5. 面积为 2 的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是 多少? (四)、1. 教学柱锥台的体积计算公式: ① 讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng, 祖冲之的儿子)原理,教材 P34) ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计 算公式? →给出柱体体积计算公式:V柱 ? Sh (S 为底面面积,h 为柱体 的高)→ V圆柱 ? Sh ? ? r 2h ③ 讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系? 等底等高 的圆锥、棱锥之间的体积关系? ④ 根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? → 给出锥体的体积计算公式: V锥 ? 1 Sh S 为底面面积,h 为高)
3

⑤ 讨论:台体的上底面积 S’,下底面积 S,高 h,由此如何计 算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? ⑥ 给出台体的体积公式:V台 ? 1 (S ' ? S ' S ? S )h (S,S ' 分别上、下
3

底面积,h 为高) → V圆台 ? 1 (S ' ? S ' S ? S )h ? 1 ? (r 2 ? rR ? R2 )h (r、R 分别为圆台上底、
3 3

下底半径)

⑦ 比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台 成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱。因此只要 分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应 公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 讨论:侧面积公式是否也正确? 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 和体积公式又可如何统一? (五)1. 教学体积公式计算的运用: ① 出示例:一堆铁制六角螺帽,共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm,内空直径 10mm,高 10mm,估算这堆螺帽多少个?(铁 的密度 7.8g/cm3) 讨论: 六角螺帽的几何结构特征? → 如何求其体积? → 利 用哪些数量关系求个数? ② 练习:将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中, 量得水面高度为 6cm; 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆 锥形容器中,求水面的高度. (六)、巩固练习:1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且 平行于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部分,求这三部分自 上而下的体积之比。 2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,它的轴截面的面积为 4, 求圆锥的体积. *3. 高为 12cm 的圆台,它的中截面面积为 225πcm2, 体积为 2800cm3,求它的侧面积。 4. 仓库一角有谷一堆,呈 1/4 圆锥形,量得底面弧长 2.8m,母 线长 2.2m,这堆谷多重?720kg/m3 (七)、1. 教学球的表面积及体积计算公式: ① 讨论:大小变化的球,其体积、表面积与谁有关? ② 给出公式: V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 =4 ? R2. (R 为球的半径)
3

→讨论:公式的特点;球面是否可展开为一个平面图形? (证明的基本思想是: “分割→求体积和→求极限→求得结果” , 以后的学习中再证明球的公式) ③ 出示例:圆柱的底面直径与高都等于球的直径 . 求球的体积 与圆柱体积之比;证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论:圆 柱与球的位置关系?(相切) → 几何量之间的关系(设球半径 R,则…)

→ 师生共练 → 小结:公式的运用. → 变式:球的内切圆柱 的体积 ④练习:一个气球的半径扩大 2 倍,那么它的表面积、体积分别 扩大多少倍? 2. 体积公式的实际应用: ① 出示例:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5.0cm,求它 的内径. (钢密度 7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积? ② 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器 内放入一个半径为 R 的球, 并注入水, 使水面与球正好相切, 然后将球取出,求此时容器中水的深度. ③ 探究阿基米德的科学发现: 图中所示的圆及其外切正方形 绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容 球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 2 ,球的
3

表面积也是圆柱全面积的 2 . 3

A

2

D

(八)、巩固练习: 4 1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 6cm, 求这个球表面积和体积。 B 2. 如果球的体积是 V 球, 它的外切圆柱的体积是 V 圆柱, 外切等边圆锥的体积是 V 圆锥,求这三个几何体体积之比. 3. 如图, 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面 积和体积。 *4.一个正方体的内切球的体积为 V,求正方体的棱长。若球与 正方体的各棱相切,则正方体的棱长是多少? 5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比. 6. 已知球的一个截面的面积为 9π ,且此截面到球心的距离为 4, 求此球的表面积和体积.

5

C

讲义 4:空间的点、线、面之间的位置关系

第一课时 2.1.1 平面 一、 教学要求:1、 理解平面的无限延展性;正确地用图形和 符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;2、初步掌握 文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 二、 教学重点:理解三条公理,能用三种语言分别表示. 三、教学难点:理解三条公理. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 讨论:长方体的 8 个顶点、12 条棱所在直线、6 个面之间有 和位置关系? (二)、讲授新课: 1. 教学平面的概念及表示: ① 平面的概念:平面是无限伸展的; 一个平面把空间分成两部分。 ② 平面的画法: 画法:通常画平行四边形来表示平面。———水平平面: 通常画成锐角成 45°,横边等于邻边的两倍。 非水平平面: 只要画成平行四边形。 直立的平面: 一组对边为铅垂线。 相交的平面:一定要画出交线;遮住部分的线段画虚线或不画。 C.练习: 画一个平面、相交平面 ③ 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通 常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如 平面 BC。 ④ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平 面 ? 内,记作 A ? ? . 2. 教学公理 1: ①揭示公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直
王新敞
奎屯 新疆

线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经 过直线) (2)、符号:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l; 直线 l 在平面α 内,记作 l ? α 。 ④用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? 3.教学公理 2: ①揭示公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平 面。 记写:平面 ABC。 4 .教学公理 3: ①揭示公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有 且只有一条过该点的公共直线 ③符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 ④ 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 三、巩固练习: 1. 练习:P48 1~4 2. 根据符号语言画出下列图形:① a∩α =A,B∈a,但 B ?α ; ② a∩b=A,b ? α ,a ? α 3. 过直线 l 上三点 A、 B、 C 分别作三条互相平行的直线 a、 b、 c, 讨论四条直线共面? 第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间

的位置关系 一、教学要求:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直 线的定义,掌握平行公理,掌握等角定理,掌握两条异面直线所 成角的定义及垂直 二、教学重点:掌握平行公理与等角定理. 三、教学难点:理解异面直线的定义与所成角 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问:同一平面上的两条直线位置关系有哪几种?三条公理 的内容?

2. 按符号画出图形:a ? α ,b∩α =A,A ?a 二、讲授新课: 1. 教学两条直线的位置关系: ① 实例探究 → 定义异面直线:不同在任何一个平面内的两条 直线. → 以长方体为例,寻找一些异面直线? →性质:既不平行, 又不相交。 →画法:以辅助平面衬托:(三种)

→讨论:分别在两个平面内的两条直线,是不是异面直线? ②讨论:空间两条直线的位置关系:(整理如下)
? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

2. 教学平行公理: ① 提出公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行? ② 出示例:空间四边形 ABCD,E、H 分别是边 AB、AD 的中点, F、G 分别是边 CB、CD 上的点,且 CF = CG = 1 ,求证:EFGH
CB CD 3

是梯形。 注意:什么是空间四边形? (四个顶点不在同一平面上的四 边形);以及:平面几何中的性质,如何在立体几何中使用? 3. 教学等角定理: ① 讨论:平面几何中,两角对边分别平行,且方向相同,则两 角有何关系?到立体几何中呢? ② 提出定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且 方向相同,那么这两角相等。 →试将题改写成数学符号语言题,并画出立体图形。 ③ 推广:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引 直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做 异面直线 a 和 b 所成的角。 → 图形表示 → 讨论:与点 O 的位置是否有关?为什么?最简单的取法如 何取? → 垂直

4. 小结:空间两直线的位置关系;公理 4;等角定理;异面直线 的定义、垂直、所成角. 三、巩固练习: 1. 教材 P53 1、2 题. 2. 已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异直线 AB 和 CD 所成的角的大小.

第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 & 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 一、教学要求:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平 面外的概念,了解平面与平面的两种位置关系. 二、教学重点:掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言. 三、教学难点:理解各种位置关系的概念. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问:公理 1~4 的内是什么?空间两条直线有哪几种位置关 系? 2. 探究:以长方体为例,探求一面对角线与各面的位置关系? 生活中直线与平面的位置关系? (二)、讲授新课: 1. 教学直线与平面的位置关系: ① 讨论:直线和平面有哪几种位置关系? ② 定义:直线和平面平行:直线和平面没有公共点。 →小结:三种位置关系:直线在平面内、相交、平行; →探究:公共点情况; →定义:直线在平面外:相交或平行的情况。 ③三种位置关系的图形画法:

④ 三种位置关系的符号表示: a?α a∩α =A a∥α (后两个统称为 a ? α )

2. 教学平面与平面的位置关系: ① 以长方体为例,探究相关平面之间的位置关系? ② 讨论得出:相交、平行。 →定义:平行:没有公共点;相交: 有一条公共直线。 →符号表示:α ∥β 、 α ∩β =b ③ 画法:相交:?? 平行:使两个平行四边形的对应边互相平行 ④ 练习: 画平行平面;画一条直线和两个平行平面相交;画 →举实例:?

一个平面和两个平行平面相交 ⑤ 探究: A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系? B. 三个平面两两相交,可以有交线多少条? C. 三个平面可以将空间分成多少部分? 3. 小结:线面位置关系;面面位置关系. 三、巩固练习: 1. 三个平面两两相交于三条直线,交线不平行,求证:三条交 线交于一点. 2. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、 CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于点 O, 求证:B、D、O 三点 共线. 3. 求证:空间四边形各边的中点共面. 4. 作业:P58 2、3 题.

讲义五:直线、平面平行的判定和性质

第一课时 2.2.1 直线与平面平行的判定 一、教学要求:通过学习掌握直线与平面平行的判定定理;掌握 转化的思想“线线平行 ? 线面平行”. 二、教学重点:掌握直线与平面平行的判定定理. 三、教学难点:理解直线与平面平行的判定定理. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1、直线与平面有哪几种位置关系? (1)直线与平面平行;(2)直线与平面相交;(3)直线 在平面内。 2、判断两条直线平行有几种方法?(结合图形) (1)三角形中位线定理; (2)平行四边形的两边; (3)平行公理; (4)成比例线段。 (二)、讲授新课: 1. 教学线面平行的判定定理: ① 探究:有平面 ? 和平面外一条直线 a,什么条件可以得到 a// ? ? 分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。 判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,则该 直线与此平面平行. 符号语言:
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

思 想: 线线平行 ?线面平行 ② 练习:Ⅰ、判断对错 直线 a 与平面 α 不平行, 即 a 与平面 α 相交. 直线 a∥b,直线 b 平面 α,则直线 a∥平面 α.

( (

) )

直线 a∥平面 α,直线 b 平面 α,则直线 a∥b. ( ) Ⅱ 在长方体 ABCD- A ’B ’C ’D ’中,判断直线与平面的位置关系(解 略) 2. 教学例题: ① 出示例 1 求证::空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过 另外两边所在的平面. →改写:已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的 中点,求证:EF//平面 BCD. → 分析思路 → 学生试板演 ② 出示例 2 在正方体 ABCD- A ’B ’C ’D ’中,E 为 DD’中点,试判断 BD’与面 AEC 的位置关系,并说明理由. → 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练:还可证哪些线面平行 ③ 练习:在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,分别是 AB,BC, CD 的中点,探索可以证得哪些线面平行. 3. 小结: 线面平行判定定理;转化思想 (三)、巩固练习: 1. 探索:如图,已知 P 为△ ABC 外一点,点 M、N 分别为 △ PAB、△ PBC 的重心.求证:MN∥平面 ABC 2.作业: 教材 P68-3 题。

第二课时 2.2.2 平面与平面平行的判定 一、教学要求:更进一步理解两个平面平行的概念,掌握两个平 面平行的判定定理与应用。 二、教学重点:掌握两个平面平行的判定定理与应用. 三、教学难点:理解面面平行的判定 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 讨论:两个平面有些什么位置关系? 一个三角板如何与桌面 平行? 2. 提问:直线和平面平行的判定定理?符合语言?图形语言? (二)、讲授新课: 1. 教学两个平面平行的判定定理: ① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线和另一个平面 有什么位置关系?一个平面内有两条直线平行于一个平面, 这两

个平面有什么位置关系? ② 将讨论的结论用符号语言表示:a ? β ,b ? β ,a∩b=P,a ∥α ,b∥α ,则β ∥α 。 ③ 以长方体模型为例,探究面面平行的情况. ④ 提出判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个 平面,那么这两个平面平行。 ☆ 图形语言、文字语言、符号语言
a ? ? , b ? ? , a ? b ? A? ? ? ? // ? ; a∥?,b∥? ?

☆ 思想:线面平行→面面平行. ⑤ 讨论:水准器判断水平平面的方法及其原理。 ⑥ 出示例:平行于同一个平面的两个平面互相平行。 分析结果→以后待证→结论好处 → 变问: 垂直于同一条直 线的两个平面呢? ⑦ 讨论: A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条相交直线,那么这两个平面是否平行? B. 平面α 上有不在同一直线上的三点到平面 β 的距离相等, 则α 与β 的位置关系是怎样的?试证明你的结论。 2. 教学例题: ① 出示例: 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 , 求证: 平面 AB1D1∥平面 C1BD. 分析:如何找线线平行→线面平行→面面平 行? 师生共练,强调证明格式 变式:还可找出一些什么面面平行的例子?并说证明思路. 小结:证明思想. ② 练习:已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 是 A A1、CC1 的中点。 求证:平面 BDF//平面 B1D1E 3. 小结:面面平行判定定理;证明思想;常见的研究 模型. (三)、巩固练习: 1. 练习:教材 P63 1、3 题. 2. 已知四棱维 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形 点 M、 N、 Q 分别在 PA、 BD、 PD 上, 且 PM: MA=BN: ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

3. 四点 P, A, B, C 不共面, A?, B?, C ? 分别是 ?PAB , ?PBC , ?PAC 的重 心,求证:平面 A?B?C ? ∥平面 ABC . 4. 作业:P63 2 题; P68 7、8 题. 第三课时 2.2.3 直线与平面平行的性质 一、教学要求:掌握直线和平面平行的性质定理,灵活运用线面 平行的判定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”平行的转 化. 二、教学重点:掌握线面平行的性质定理. 三、教学难点:掌握平行之间的转化. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1.提问:线面平行、面面平行判定定理的符号语言? 2. 讨论:① 直线与一个平面平行,那么这条直线和平面内的直 线有何位置关系? ② 直线 a 与一个平面平行,在平面内如何作一条直线与直线 a 平行? 二、讲授新课: ? 1. 教学线面平行的性质定理: ① 讨论:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 ? 的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线的位置关系 如何? ② 给出线面性质定理及符号语言: l // ? , l ? ? ,? ? ? ? m ? l // m . ③ 讨论性质定理的证明: ∵ l // ? ,∴ l 和 ? 没有公共点, 又∵ m ? ? ,∴ l 和 m 没有公共点; 即 l 和 m 都在 ? 内,且没有公共点,∴ l // m . β ④ 讨论: 如果过平面内一点的直线平行于与此平面平 a 行的一条直线, 那么这条直线是否在此平面内? 如果 两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条 c α 与平面有何位置关系? 2. 教学例题: ① 出示例 1:已知直线 a∥直线 b,直线 a∥平面α ,b ? α , 求证:b∥平面α 分析:如何作辅助平面? → 怎样进行平行的转化? b
l m

b

c a ? ?

d ? ?

→ 师生共练 → 小结:作辅助平面; 转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行” ② 练习:一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这两个平 面的交线平行。(改写成数学符号语言→试证) 已知直线 a ∥平面 ? ,直线 a ∥平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? = b , 求证 a // b . ③ 出示例 2: 有一块木料如图, 已知棱 BC 平行于面 A′ C′.要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点 P 和 棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?所画的线和面 AC 有 什么关系? 讨论:存在怎样的线线平行或线面平行? 怎样画 线? 如何证明所画就是所求? 变式:如果 AD∥BC,BC∥面 A′C′,那么, AD 和面 BC′、面 BF、面 A′C′都有怎样的位 置关系.为什么? 3. 小结:线面平行的性质定理;转化思想. 三、巩固练习: 1. 如图,b∥c,求证:a∥b∥c (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演) *2. 设平面α 、β 、γ ,α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c, 且 a//b. 求证:a∥b∥c. 3. 作业:P68 5、6 题.

第四课时

2.2.4 平面与平面平行的性

质 一、教学要求:掌握平面和平面平行的性质定理,灵活运用面面 平行的判定定理和性质定理,掌握“线线、线面、面面”平行 的转化. 二、教学重点:掌握面面平行的性质定理. 三、教学难点:掌握平行之间的转化. 四教学过程: (一)、复习准备: 1.提问:线面平行、面面平行判定定理的符号语言?线面平行 性质定理的符号语言?

2. 讨论:两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面 内的直线有什么关系? (二)、讲授新课: 1. 教学面面平行性质定理: ① 讨论:两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面 有什么位置关系?两个平面内的直线有什么位置关系?当第三 个平面和两个平行平面都相交, 两条交线有什么关系?为什么? ② 提出性质定理:两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行。 ∥? ? ③ 用符号语言表示性质定理: ? D ? ? ? =a,? ? ? =b

?

?

A

④ 讨论性质定理的证明思路. C ? B ⑤ 出示例: 求证夹在两个平行平面间的两条平行 线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言: 已知: ? // ? , AB, CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 间的平行线段, 求证: AB ? CD . → 分析:利用什么定理?(面面平行性质定理) 关键是如何 得到第三个相交平面 2. 教学例题: a ① 出示例:如果一条直线与两个平行平面中的一个相 b ? 交,那么它与另一个平面也相交. a? 讨论: 如何将文字语言转化为图形语言和符号语言? b? ? → 如何作辅助平面? → 师生共同完成 a?? ? b?? ② 练习:若 ? // ? , ? // ? ,求证: ? // ? . (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演) 在平面 ? 内取两条相交直线 a, b , 分别过 a, b 作平面 ? , ? ,使它们分别与平面 ? 交于两相交直线 a?, b? , ∵ ? // ? ,∴ a // a?, b // b? , 又 ∵ ? // ? , 同 理 在 平 面 ? 内 存 在 两 相 交 直 线 a??, b?? , 使 得 a? // a??, b? // b?? , ∴ a // a??, b // b?? , ∴ ? // ? 3. 小结:面面平行的性质定理及其它性质( ? // ? , a ? ? ? a // ? ); 转化思想.

(三)、巩固练习: 1. 两条直线被三个平行平面所截, 得到四条线段. 求证: 这四条线段对应成比例. 2. 已知 l , m 是两条异面直线,l // 平面 ? ,l // 平面 ? ,m // 面 ? , m // 平面 ? ,求证: ? // ? . *3. 设 P, Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D 、面 A1 B1C1 D1的中 心, 如图:(1)证明: PQ // 平面 AA1B1B ; (2)求线段 PQ 的长。 4. 课堂作业:书 P69 B 组 2、3 题。

讲义六:直线、平面的垂直的判定 和性质

第一课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学要求:掌握直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂 直的判定定理, 并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关 系. 二、教学重点:直线与平面垂直的判定定理. 三、教学难点:判定定理的应用. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理. (二)、讲授新课: 1.教学直线与平面垂直的定义: ②定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直 线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l ? ? . l -平面 ? 的垂线, 它们的唯一公共点 P 叫 ? -直线 l 的垂面, 做垂足.(线线垂直 ?线面垂直)

2.教学直线与平面垂直的判定: ②判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则 这条直线与该平面垂直. 图形语言→符号语言:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ? →辨析(讨论正确性): A.若一条直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于 这个平面; B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线 垂直于这个平面; C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直 线必定垂直于这条直线; D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一直 线必垂直于这个平面. ③练习:如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 与平面 B ' C ' CB 垂直的直线有 ; 与直线 AA' 垂直的平面有 . ④出示例 1:如图,已知 a // b, a ? ? ,求证: b ? ? (分析:线面垂直 ?线线垂直 ?线面垂直) ⑤练习:P73 探究; P74 练习 1(线线垂直 ?线面垂直 ?线 线垂直) ⑥定义:直线与平面所成角;→ 讨论范围( 00 ? ? ? 900 );→ 辨 析(P74 练习 3). ⑦出示例 2: 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求直线 A' B 和平面 A ' B ' C ' D ' 所成的角. (讨论 ?老师引导 ?学生版书) 3. 小结: 直线与平面垂直的定义与判定. (三)、巩固练习: 1. 平行四边形 ABCD 所在平面?外有 一点 P,且 PA=PB=PC=PD,求证:点 P 与平行四边形对 角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD 2. 如图,已知 AP ? ? O 所在平面,AB 为 ? O 的直径,C 是 圆周上的任意, 过点 A 作 AE ? PC 于点 E. 求证: AE ? 平面 PBC. 3. 作业: 教材 P74 2、3
王新敞
奎屯 新疆

第二课时 2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、教学要求:掌握二面角和两个平面垂直的定义,理解平面与 平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关 系,会用所学知识求两平面所成的二面角. 二、教学重点:平面与平面垂直的判定定理. 三、教学难点:判定定理的应用及二面角的求法. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1.复习直线与平面垂直的判定(定理、图形、符号语言). 2.探究:已知三棱锥 P-ABC,作 PO⊥底面 ABC,垂足为 O,当 给定什么已知条件时,O 分别是三角形 ABC 的外心、 垂心? 3.实际需要引出二面角的定义: (二)、讲授新课: 1.教学二面角的定义: ①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角 (dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫 做二面角的面. 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) ②二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O, 以点 O 为垂足, 在半平面 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的射 线 OA 和 OB , 则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平 面角. 作用:衡量二面角的大小;范围: 00 ? ? ? 1800 . 2.教学平面与平面垂直的判定: ①定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就 说这两个平面互相垂直. 记作 ? ? ? . (能用定义来判定两个平面 是否垂直?) ②判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. (线面垂直 ?面面垂直) ③出示例 1: 如图,AB 是 ? O 的直径,PA 垂直于 ? O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点,求证:平面 PAC ? 平面PBC . (讨论 ?师生共析 ?学生试写证明步骤 ?归纳:线线垂直 ?线 面垂直 ?面面垂直)

④练习:教材 P77 页探究题 ⑤出示例 2:已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线都相等, 求平面 ACD 和平面 BCD 所在二面角的大小. (分析 ?学生自练) ⑥练习:如图,已知三棱锥 D ? ABC 的三个侧面与底面全等, 且 AB ? AC ? 3, BC ? 2 ,求以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面 的二面角的大小? 3. 小结:二面角的定义、二面角的平面角、二面角平面角 的求法、平面与平面垂直的判定. (三)、巩固练习: 1、 如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面ABCD , E是PC 的中点, PC // 平面BDE ; 平面PAC ? 平面BDE. 求证: (1) (2) 2、在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,二面角 D-A'C'-B 的 余弦值. 3、作业:教材 P81-82 页第 4、7 题. 第三课时 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面 与平面垂直的性质 一、教学要求:掌握两个定理及定理的应用. 二、教学重点:两个定理的应用. 三、教学难点:两个定理的应用. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1.直线、平面垂直的判定,二面角的定义、大小及求法. 2.练习: 对于直线 m, n 和平面 ? , ? , 能得出 ? ? ? 的一个条件是 ( ) ① m ? n, m // ? , n // ? ② m ? n,? ? ? ? m, n ? ? ③ m // n, n ? ? , m ? ? ④ m // n, m ? ? , n ? ? . (二)、讲授新课: 1. 教学直线与平面垂直的性质定理: ①定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线 面垂直 ?线线平行) ②练习:a, b, c 表示直线,M 表示平面,则 a // b 的充分条件是( ) A、 a ? c且b ? c B、 a // M 且b // M C、 a ? M 且b ? M D、 a, b与c 所在的角相等 ③出示例 1:设直线 a, b 分别在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中两个不同

的平面内,欲使 a // b , a, b 应满足什么条件? (判定两条直线平行的方法有很多:平行公理、同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等) 2.教学平面与平面垂直的性质定理: ①定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直.(面面垂直 ?线面垂直) 探究:两个平面垂直,过其中一个平面内一点作另一个平面的垂 线有且仅有一条. ②练习:两个平面互相垂直,下列命题正确的是( ) A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直 线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D、过一个平面内任意点作交线的垂线,则此垂线必垂直于 另一个平面. ③出示例 2、 如图, 已知平面 ? , ? ,? ? ? , 直线 a 满足 a ? ? , a ? ? , 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系. ④练习:如图,已知平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? a , 求证: a ? ? . 3. 小结:直线、平面垂直的性质定理及其应用. (三)、巩固练习: 1、下列命题中,正确的是( ) A、过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若 a, b 异面,过 a 一定可作一个平面与 b 垂直 D、 a, b 异面,过不在 a, b 上的点 M ,一定可以作一个 平面和 a, b 都垂直. 2、如图, P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面PAB, M 是PC 的中点, N 是AB 上的点, AN ? 3NB. 求证: MN ? AB. 3、教材 P81 页 2、3、5 题

讲义七:直线方程

第一课时 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 一、 教学要求: 会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率, 给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象. 二、教学重点:理解倾斜角, 斜率. 三、教学难点:倾斜角, 斜率的理解及计算. 四、教学过程: (一)、复习准备: (二)、、讲授新课: 1. 教学平面倾斜角与斜率的概念: ① 直线倾斜角的概念: x 轴正向与直线向上方向之间所成的角 叫直线的倾斜角 注意:当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.。 讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? ② 直线斜率的概念:直线倾斜角 ? 的正切值 叫直线的斜率. 常用 k 表示, k ? tan ? 讨论 : 当直线倾斜角为 90? 度时它的斜率不 存在吗 ?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何 关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? ? 取值范围是 ?0,? ? . ③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点 p1 ( x1 , y1 ) 与 p2 ( x2 , y2 ) , 则过这两点的直线的斜率 k ? y2 ? y1
x2 ? x1

思考 :(1)直线的倾斜角 ? 确定后, 斜率 k 的值与点 p , p 的顺序 是否有关? (2) 当直线平行表于 y 轴或与 y 轴重合时 , 上述公式 y2 ? y1 k? 还适用吗?
1 2

x2 ? x1

2. 教学例题: 例 1,求经过两点 A(2,3), B(4, 7) 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直 线的倾斜角是锐角还是钝角.

例 2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 直线 l , l , l .
1 2 3

?1, 2, ?3 的

(三). 巩固与提高练习: 1. 已知下列直线的直线倾斜角 ? ,求直线的斜率 k. 135 ⑴ a ? 30 ⑵ a ? 45 ⑶ a ? 120 ⑷ 2:已知直线 l 过点 A(1, 2) 、 B(m,3) ,求直线 l 的斜率和倾斜角 3,已知 a, b, c 是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.
0 0 0 0

(1)

A(a, b), B(b, c)

(2)

P(b, b ? c), Q(a, c ? a)

4.画出经过点 (0,3) 且斜率分别为 3 和-2 的直线. (四).小结: 倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. (五):作业, P 2 题.
95

第二课时

3.1.2 两条直线平行与垂直

的判定 一、教学要求:明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系 ,能 够通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行 与垂直关系. 二、教学重点:用斜率来判定两直线平行与垂直. 三、教学难点:用斜率来判定两直线平行与垂直. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问: 直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率? 2. 在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是 -3,3,1 的直线的 图象. 3. 探究:两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系? (二)、讲授新课: 1. 两条直线平行的判定: ① 由上述探 究 → 两条直线 平行: 两直线倾 斜角都 相等 . 即 : ? ?? , 提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗? l ? l ? k ? k ② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存 在. 它们的斜率相等.即: ? ? ? , l ? l ? k ? k 注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存 在.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2. 两条直线垂直的判定: 探究两直线 l , l 垂直时,它们的斜率 k , k 的关系. ① l , l 的倾斜角 ? ? 90 , ? ? 0 时, 斜率 k , k 不存在; ② 当斜率 k , k 都存在时 . 设 l1 , l2 的倾斜角分别为 ?1,?2 , 其中 ?1 > ? 2 ,则有 ?1 ? 900 ? ?2
1 2 1 2

0

0

1

2

1

2

1

2

1

2

k1 ? tan ?1 ? tan(900 ? ? 2 ) ? ?

1 1 ?? tan ? 2 k2

,即: k1k2 ? ?1

两条直线垂直的判定:两直线的斜率都存在时, 两直线垂直,则它们的斜率 k , k 的乘积 k1k2 ? ?1。 即: l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 3. 教学例题: 例 1:已知四边形的四个顶点分别为 A(0,1), B(2,0), C (4,3), D(2, 4) ,试 证明四边形 ABCD 为平行四形。 例 2:已知 A(?5,1), B(4,5), P(1, 2), Q(7,5) ,试判断直线 AB 与 PQ 位置的 关系。 4. 练习与提高: 1, 试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直? (m, 4),(m ? 1,3) 与 (2,1)(3,0) ⑴ (3, 4), (?2, ?1) 与 (3,1), (2, 2) ⑵ 2, l1 经过点 A(m,1), B(?3, 4) ,l2 经过点 C(1, m), D(?1, m ? 1) , 当直线 l1 与 l2 平行或垂直时,求 m 的值。 (四).小结: 倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. (五):作业, P 6 .7 题.
1 2 94

第三课时 3.2.1 直线的点斜式方程 一、 教学要求: 明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定, 会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程, 会根据直线 的点斜式方程求直线的截距。 二、教学重点:直线点斜式方程的理解与求解,由点斜式方程求 直线的截距。 三、教学难点:直线点斜式方程的理解与求解。 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?

2. 提问:两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜率有何关系. 如何用直线的斜率判定两直线垂直? (二)、讲授新课: 直线点斜式方程的教学: ① 已知直线 l 上一点 p0 ( x0 , y0 ) 与这条直线的斜率 k , 设 p(x,y ) 为直 线上的任意一点,则有: y ? y0 k? ⑴ ? y ? y0 ? k ( x ? x0 )
x ? x0

探究: 两点可以确定一直线 ,那么知道直线上一点的坐标与直线 的斜率能不能确定一直线呢? 满足方程⑴的所有点是否都在直线 l 上? 点斜式方程 : 方程 ⑴: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 称为直线的点斜式 方程.简称点斜式. ② 讨论 : 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直 线?(引导学生从斜率的角度去考虑) 结论:不能表示垂直于 x 轴的直线. ③ 斜截式方程: 由点斜式方程可知 , 若直线过点 B(0, b) 且斜率为 k , 则直线的方 程为: y ? kx ? b 方程 y ? kx ? b 称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中 b 为直线在 y 轴上的截距. ④ 能否用斜截式表示平面内的所有直线 ? 斜截式与我们学过的 一次函数表达式比较你会得出什么结论 .( 截距 b 就是函数图 象与 y 轴交点的纵坐标) ⑤ 教学例题: ⒈直线 l 经过点 p0 (2, 5) ,且倾斜角为 ? ? 600 , 求直线 l 的点斜式方程 并画出直线图象. ⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为 3,在 y 轴上的截距为 1:⑵ 斜率为 ? 2 ,在 y 轴上的截距为 5; ⒊把直线 l 的方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成,求出直线 l 的斜率和在 y 轴上 的截距,并画图. (三).:练习与提高: 1. 已知直线经过点 (6, 4) ,斜率为 ? 4 ,求直线的点斜式和斜截式. 2. 方程 y ?1 ? ? 3?x ? 3 ? 表示过点 ______ 、斜率是 ______ 、倾斜角是 ______ 、在 y 轴上的截距是 ______ 的直线。
3

3. 已知直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? 1 , 求过点 (2,3) 且垂直于 l 的直线方
2

程. (四)小结: 点斜式. 斜截式. 截距 (五):作业, P 3. 5 题.
110

第四课时 3.2.2 直线的两点式方程 一、教学要求:会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜 截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性,只有直 线的一般式能表示所有的直线,清楚直线与二元一次方程 的对应关系.能由直线的一般式转化为所需要的其他直线 形式. 二、教学重点:直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互 化. 三、教学难点:直线两点式及一般式理解与求解 .及各种形式互 化. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在 y 轴上的

截距. ①经过点 A(-2,3),斜率是-1;②经过点 B(-3,0),斜率是 0;③经过 点 C??
2 ,2

? ,倾斜角是 60 ;
?

(二)、讲授新课: 1.直线两点式方程的教学: ① 探讨 : 已知直线 l 经过 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ( 其中 x1 ? x2, y1 ? y2 ) 两点 , 如何求直线的点斜式方程? 的直线方程为
y ? y1 ? y2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

两点式方程:由上述知, 经过 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 , y1 ? y2 )两点
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

⑴,

我们称⑴为直

线的两点式方程,简称两点式. 例 1:求过 A(2,1), B(3, ?3) 两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. ② 当直线 l 不经过原点时,其方程可以化为 x ? y ? 1 ⑵, 方程⑵称
a b

为直线的截距式方程,其中

直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的 截距分别为 a , b . ④ 中点:线段 AB 的两端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点
x ?x ? x? 2 1 ? ? 2 M ( x, y) ,其中 ? ? y ? y2 ? y1 ? 2 ?

例 2:已知直线经过 A(2,0), B(0,3) 两点,则 AB 中点坐标为 ______ ,此直线 截距式方程为 ______ 、与 x 轴 y 轴的截距分别为多少? 2. 巩固与提高: ① 已知 ? ABC 的三个顶点是 A(0,7) B(5,3) C(5,-3),求(1) 三边所在直线的方程; ( 2 )中 线 AD 所在直线的方程。 ② 一直线经过点(-3,4)且在两坐标轴上的截距之和为 12, 求直线的方程 ③ 经过点(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的 直线共有( A1条 ) B2条 C3条 D4条

④ 上题若把点坐标改为(1,0) (2,2)呢? 3. 小结:两点式.截距式.中点坐标. 4.:作业 P
110

4. 题.

第五课时 3.2.3 直线的一般式方程 一、教学要求:引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和 截距式表示直线有一定的局限性, 只有直线的一般式能表示所有 的直线,清楚直线与二元一次方程的对应关系.能由直线的一般 式转化为所需要的其他直线形式. 二、教学重点:直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜 截式、两点式和截距式互化. 三、教学难点:直线一般式理解与求解.及其它形式互化.

四、教学过程: (一)、复习准备: 1.写出下列直线的两点式方程. ① 经过点 A(-2,3)与 B(-3,0);②经过点 B(-3,0)与
C ? 2 ,2

?

?;

2. 探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标 轴的直线? (我们需要直线的一般表示法) (二)、讲授新课: 1 问:直线的方程都可以写成关于 x, y 的二元一次方程吗?反过 来,二元一次方程都表示直线 关于 x, y 的二元一次方程: Ax ? By ? C ? 0 (1) ,(叫直线的一般方程,简 称一般式. ① 当 B ? 0 , (1) 式可化为 y ? ? A x ? C ,这是直线的斜截式.
B B

② 当 B ? 0 , A ? 0 时, 定义一般式:

C .这也是直线方程. A 关于 x, y 的二元一次方程: Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不全为
(1) 式可化为 x ? ?

0)

叫直线的一般式方程,简称一般式. 2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应? (直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二 元一次方程是同解方程.) 出示例题:已知直线经过点 (6, 4) ,斜率为 ? 4 ,求直线的
3

点斜式和一般式方程. 3. 探讨直线 Ax ? By ? C ? 0 , 当 A, B, C 为何值时 , 直线①平 行于 x 轴;②平行于 y 轴③与 x 轴重合④与 y 轴重合. 4. 出示例题 : 把直线 l 的一般方程 3 y ? 2x ? 5 ? 0 化成斜 截式方程,并求出直线 l 与 x 轴、y 轴的截 距,画出图形. (三).练习与提高: 1.设直线 l 的方程为 (m ? 2) x ? 3 y ? m ,根据下列条件分别求的值. ① l 在 x 轴上的截距为 ?2 . ② 斜率为 ?1 2.若直线 Ax ? By ? C ? 0 通过第二、三、四象限,则系数 A、B、C 满足条件(



(A)A、B、C

(B)AC<0,BC>0

(C)C=0,AB<0

(D)A=0,BC<0

3.已知直线 l 经过点(-2,2)且与两坐标轴围成单位面积的三 角形,求该直线的方程. (四).小结:一般式.. (五).:作业 P
110

10. 题.

讲义八:两条直线的交点坐标

第一课时 3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教学要求:进一步掌握两条直线的位置关系,能够根据方程 判断两直线的位置关系,理解两直线的交点与方程的 解之间的关系,会求两条相交直线的交点坐标. 二、教学重点:理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 三、教学难点:理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 讨论:如何用代数方法求方程组的解? 2. 讨论:两直线交点与方程组的解之间有什么关系? (二)、讲授新课: 1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系: ① 讨论:直线上的点与其方程 AX+BY+C=0 的解有什么样的关 系? ② 练习:完成书上 P109 的填表. ③ 直线 L 上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上 的点的坐标是其方程的解。 反之直线 L 的方程的每一组解都表示 直线上的点的坐标。

2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线 的交点坐标 ① 讨论:点 A(-2,2)是否在直线 L1:3X+4Y-2=0 上? 点 A(-2,2)是否在直线 L2:2X+Y+2=0 上? ② A 在 L1 上,所以 A 点的坐标是方程 3X+4Y-2=0 的解,又因 为 A 在 L2 上,所以 A 点的坐标也是方程 2X+Y+2=0 的解。 即 A 的坐标(-2,2)是这两个方程的公共解,因此(-2,2)是 方程组 3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解. ③ 讨论:点 A 和直线 L1 与 L2 有什么关系?为什么? ④ 出示例 1:求下列两条直线的交点坐标 L1:3X+4Y-2=0 L2:2X+Y+2=0 3.教学如何利用方程判断两直线的位置关系? ① 如何利用方程判断两直线的位置关系? ② 两直线是否有公共点,要看它们的方程是否有公共解。因此, 只要将两条直线 L1 和 L2 的方程联立, 得方程组
A1X+B1Y+C1 =0 A 2 X+B2 Y+C2 =0

1.若方程组无解,则 L1//L2 2.若方程组有且只有一个解,则 L1 与 L2 相交 3.若方程组有无数解,则 L1 与 L2 重合 ③ 出示例 2:判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出 交点坐标。 (1)L1:x-y=0 L2: 3x+3y-10=0(2)L1:3x-y+4=0 L2: 6x-2y=0 (3)L1:3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0 4. 小结: 两条直线交点与它们方程组的解之间的关系. 求两条相 交直线的交点及利用方程组判断两直线的位置关系. (三)、巩固练习: ( 2, 3) 1、 求经过点 且经过以下两条直线的交点的直线的方 程: l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0,
l2 : 5x ? 2 y ? 6 ? 0

2、 k 为何值时直线 l1 : y ? kx ? 3k ? 2与直线l2 : x ? 4 y ? 4 ? 0 的交点在第 一象限 3、 作业:P120 1、2 第二课时 3.3.2 两点间的距离

一、 教学要求: 使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式, 使学生初步了解解析法证明,教学中渗透由特殊到一般, 再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想. 二、教学重点:猜测两点间的距离公式. 三、教学难点:理解公式证明分成两种情况. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问:我们学习了有向线段,现在有问题是:如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们坐标分别是 xA、xB、yC、 yD,那么|AB|、|CD|又怎样求?(|AB|=|xB-XA|,|CD|=|yC-yD|) 2. 讨论:如果 A、B 是坐标系上任意的两点,那么 A、B 的距离 应该怎样求呢? (二)、讲授新课: 1. 教学两点间的距离公式: ① 讨论:(1)求 B(3,4)到原点的距离是多少?根据是什么?( 通过 观察图形,发现一个 Rt△,应用勾股定理得到的) ② 讨论:(2)那么 B( x2, y2 )到 A( x1, y1 )又是怎样求呢?根据是什么? 根据(1)的方法猜想,(2)也构造成 Rt△ B x2 , y2) →给出两点间的距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标 系中的两个点,则
| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

③ 出示例 1:已知点 A(?1,2), B(2, 7), (1):求 | AB | 的值 (2):在 X 轴上求一点 P ,使 | PA |?| PB | ,并求 | PA | 的值 (讨论:点 P 应该怎么设?怎样利用两点间的距离公式?) ④ 练习:1.已知两点 A(2,5), B(3,7) ,求 | AB | 的值,并在 y 轴上求一点 p , 使 PA |?| PB | ⑤ 示例 2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平 方和. (分析:首先建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代 数运算,最后把代数运算”翻译”成几何关系) ⑥ 出示例 3:已知 点A(1,2),( B 3, 4),( C 5, 0),求证:?ABC是等腰三角形 (分析:通过利用两点的距离公式,找出两边相等,并有两边的斜 率关系说明 A、B、C、三点不共线,从而证明是等腰三角形) B -2,3),C (0,-1) ⑦ 练习:已知 ?ABC 的顶点坐标是 A(2,1),( ,求 ?ABC

三条中线的长度 2.小结:两点间的距离公式,两点间的距离公式的应用 (三)、巩固练习: 1、 求两点 A(0, ?4)与B(0, ?1)间 的距离 2、 已知点 A(a, ?5)与B(0,10)间的距离是17, 则a值为多少? 3、 已知点 P(a,2), Q(?2, ?3), M (1,1), 且 | PQ |?| PM | ,求 a 的值 4、 求在 x 轴上与点 A(5,12) 的距离为 13 的点的坐标 5、 已知 A(1,2),( 若 PA|= 10, B 5,2), | PB |? 2 ,求点 P 的坐标 6、 求函数 y ? x2 ? 8x ? 20 ? x2 ? 1 的最小值 7、 作业:教材 P120 7、8

第三课时 3.3.3 点 到 直 线 的 距 离 3.3.4 两条平行直线间的距离 一、教学要求:使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点, 并能运用这一公式, 学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过 程以及推导方法,教学中体现数形结合、转化的数学思想,培养 学生研究探索的能力. 二、教学重点:点到直线的距离公式的研究探索过程. 三、教学难点:点到直线的距离公式的推导. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1、 提问:两点间的距离公式 2、 讨论:什么是平面上点到直线的距离?怎样才能求出这一 段的距离? 3、 讨论:两条平行直线间的距离怎样求? (二)、讲授新课: 1. 教学点到直线的距离: ① 探讨:如何求平面上一点到一直线的距离? 已知点 P(-1,2) 和直线 l :2x+y-10=0,求 P 点到直线 l 的距离.(分析:先求 出过 P 点与 l 垂直的直线 l1 :x-2y+5=0,再求出 l 与 l1 的交点 ( 4, 3) p1 ,则 | pp1 | = 2 5 即为所求) ② 若已知点 P(m,n),直线 l:y=kx+b,求点 P 到 l 的距离 d.则 运算非常复杂. ③ 通过构造三角形,由三角形面积公式可得:点 p0 ( x0 , y0 ) 到直线

l : Ax ? By ? C ? 0 距离 | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

④ 出示例 1:求点 p0(0,5) 到直线 y ? 2 x 的距离 ⑤ 出示例 2:已知点 A(1,3),( ,求 ?ABC 的面积 B 3,1 ),C (-1,0) ⑥ 练习:已知 A(2,1), 直线 BC 的方程是 x ? y ? 1 ,求 ?ABC 的 BC 边上 的高 2.教学两条平行直线间的距离: ① 讨论:两条平行直线间的距离怎么求?(是指夹在两条平行 直线间公垂线段的长) ② 可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 ③ 出示例 1:已知直线 l1 : 2x ? 7 y ? 8 ? 0, l2 : 6x ? 21y ? 1 ? 0 , l1 与 l2 是否平 行?若平行,求 l1 与 l2 间的距离 ④ 练习 1:若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,则 a 的值 ⑤ 练习 2:求两条平行直线的距离, l1 : 2x ? 3 y ? 8 ? 0, l2 : 2x ? 3 y ? 18 ? 0 3.小结:点到直线的距离,两条平行直线间的距离 (三)、巩固练习: 1、求点 p(3, ?2) 到下列直线的距离: (1) y ? 3 x ? 1 ;(2) y ? 6 ;(3) x ? 4
4 4

2、求过点 M (?2,1) ,且与 A(?1, 2), B(3,0) 距离相等的直线方程 3、 B(3, 4) 做直线,使之与点 A(1,1) 的距离等于 2,求此直线方程 4、 求两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0, l2 : 5x ? 12 y ? 1 ? 0 的夹角平分线方程 5、 求与直线 l : 5x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程 6、作业 p120 9、10

讲义九:圆的方程

第一课时 4.1.1 圆的标准方程 一、教学要求:使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有

关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运 用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单 的实际问题,并会推导圆的标准方程 二、教学重点:圆的标准方程的推导步骤;根据具体条件正确写 出圆的标准方程. 三、教学难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 四、教学过程: (一)、复习准备: 1.提问:两点间的距离公式? 2.讨论:具有什么性质的点的轨迹称为圆?圆的定义? (二)、讲授新课: 1. 圆的标准方程: ①建系设点: A. C 是定点,可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上 任一点 M 坐标为(x,y). ②写点集:根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r} ③列方程:由两点间的距离公式得 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 =r ④化简方程: 将上式两边平方得 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r (建系设点 ?写点集 ?列方程 ?化简方程 ?圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程 是什么? ⑥师指出:只要 a,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定 了. 这就是说要确定圆的方程, 必须具备三个独立的条件. 注意, 确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点, 半径是 3; (2)经过点 P(5, 1), 圆心在点 C(8, -3); (指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方 程.) ②.已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程, 试判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是 在圆外? (从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数解 决) ③ ? ABC 的三个定点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的

外接圆的方程 ( 用待定系数法解) ④ .已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),却圆心 C 在直线 L: x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程。 3. 小结: ①.圆的方程的推导步骤:建系设点→写条件→列方 程→化简→说明 ②.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半 径; ③.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;确定 a,b,r; (2)轨迹法:求曲线方程的一般方法. (三)、巩固练习: 1. 练习:P131 1 ? 4 2. 求下列条件所决定的圆的方程: (1) 圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切; (2) 过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相 切. 3. 已知:一个圆的直径端点是 A(x1,y1)、B(x2,y2). 证明:圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 4. 作业 P134 习题 4 1、2 题.

第二课时 4.1.2 圆的一般方程 一、教学要求:使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般 方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半 径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 二、教学重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标 和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 三、教学难点:圆的一般方程的特点 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问:圆的标准方程? 2.对方程 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 配方,化为圆标准方程形式. 则圆心、 半径? (二)、讲授新课: 1.圆的一般方程的定义 (1)分析方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的轨迹

1)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程
D E? 表示以 ? ? ? , ? ? 为圆心, ? 2 2?
1 D2 ? E 2 ? 4F 2

为半径的圆。
D E ,y?? 2 2

2)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? 一个点 (?
D E ,? ) 2 2

。它表示

3)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图 形. (2)给出圆的一般方程的定义 当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 叫做圆的一般方程。 (3)思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 2.圆的一般方程的运用 1) 求过三点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程,并求这个圆的 半径长和圆心坐标。 (小结:1.用待定系数法求圆的方程的步骤:1.根据题意设所 求圆的方程为标准式或一般式;2.根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程;3.解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设方程,就得要求的方程.) 2) 求 圆 心 在 直 线 l : x ? y ? 0 上 , 且 过 两 圆 C1 ∶ x2+y2-2x+10y-24=0 和 C2: x2 ? y2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 的交点的圆的 方程. 3. 小结:一般方程;化标准方程;配方法;待定系数法. (三).巩固练习: 1. P134 练习 1 ? 3 2. 求下列各圆的一般方程: (1)过点 A(5,1),圆心在点 C(8,-3); (2)过三点 A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2). 2.已知一曲线是与两定点 O(0,0), A(3,0) 的距离的比为 的点的轨 迹,求这个曲线的方程,并画出曲线 3.作业: p134 习题 4.1 第 4 题
1 2

讲义十:直线与圆的位置关系

第一课时

4.2.1 直线与圆的位置关系

(1 课时) 一、教学要求:理解和掌握直线与圆的位置关系,利用直线与圆 的位置关系解决一些实际问题。 二、教学重点:直线与圆的位置关系 三、教学难点:直线与圆的位置关系的几何判定. 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系:(1)相交,有一 两个公共点;(2)相切,只有一个公共点;(3)相离,没 有公共点。 2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系?现在如何用 直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? (二)、讲授新课: 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ? x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 圆 心 到 直 线 的 距 离
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B2

1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定:比较圆心到直 线的距离 d 与圆的半径 r ① d ? r ? 直线与圆相交 ② d ? r ? 直线与圆相切 ③ d ? r ? 直线与圆相离 2.看直线与圆组成的方程组有无实数解 : 有解,直线与圆 有公共点.有一组则相切:有两组,则相交:b 无解,则相离 3.例题讲解: 例1 直线 y ? x 与圆 x2 ? ? y ?1?2 ? r 2 相切,求 r 的值 例2 如 图 1, 已 知 直 线 l : 3x? y? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 .判断直线 l 与圆的位置关系 ;如果相交,求出他 们交点的坐标. 例3 如图 2,已知直线 l 过点 M ?5,5? 且和圆 C : x2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦 长为 4 5 ,求 l 的方程 练习 . 已知超直线 l : 3x ? y ? 2 3 ? 0 , 圆 C : x2 ? y2 ? 4 求直线 l 被

圆 C 截得的弦长 4.小结: 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 a 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交 b 无解,则直线与圆相离 (2)圆心到直线的距离与半径的关系: d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B2

如果 d ? r 直线与圆相交; 如果 d ? r 直线与圆相切; 如果 d ? r 直线与圆相离. (三)、巩固练习: 1.圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点的坐标 2.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 3.若直线 4 x ? 3 y ? ?a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 100 (1)相交(2)相切(3)相离分别求 实数 a 的取值范围 (四).作业:p140 4 题

第二课时 4.2.2 圆与圆的位置关系 一、教学要求:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系; 二、教学重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系 三、教学难点:用坐标法判断两圆的位置关系 四、教学过程: (一)、复习准备 1. 两圆的位置关系有哪几种? 2. 设圆两圆的圆心距设为 d. 当 d ? R ? r 时,两圆 当 d ? R ? r 时,两圆 当 | R ? r |? d ? R ? r 时,两圆 当 d ?| R ? r | 时,两圆 当 d ? R ? r | 时,两圆 3.如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?(探讨) (二)、讲授新课: 1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断
C2 A O B C1 图1

例1. 已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断 圆 C1 与圆 C2 的关系? (配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系) 2. 两圆的位置关系利用圆的方程来判断 方法:通常是通过解方程或不等式和方法加以解决 例 2 圆 C1 的 方 程 是 : x2 ? y2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 5 ? 0 圆 C2 的 方 程 是 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 , m 为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4) 内含 思路:联立方程组→讨论方程的解的情况(消元法、判别式 法)→交点个数→位置关系) 练习:已知两圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 0 与 x2 ? y2 ? 4 y ? m ,问 m 取何值时,两 圆相切。 3.小结:判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定. (2) 依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值 的大小关系. (三)、巩固练习: 2 2 2 2 1.求经过点 M(2,-2),且与圆 x ? y ? 6x ? 0 与 x ? y ? 4 交点有圆的方程 2.已知圆 C 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,- 3) ,求圆 C 的方程. 2 2 2 x ? 3? ? y2 ? 4 x ? y ? 1 ? 3. 求两圆 和 的外公切线方程 4. 求过两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 和圆 C2 : x ? y2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点 , 且圆 心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程. (四)、作业:P141 练习题;p144 9题
2

第三课时

4 .2 .3直线与圆的方程的

应用 一、教学要求:利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 二、教学重点:直线的知识以及圆的知识 三、教学难点:用坐标法解决平面几何. 四、教学过程: (一)、复习准备: (1)直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?

(3)求圆的方程时 ,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方 程? (4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有 哪些呢? (二)、讲授新课: 出示例 1.图 1 所示是某圆拱形桥.这个圆拱跨 度 AB ? 20m ,拱高 OP ? 4m ,建造时每间隔 4m 需要 用 一 根 支 柱 支 撑 , 求 支 柱 A2 B2 的 高 度 ( 精 确 0.01m) 出示例 2. 已知内接于圆的四边形的对角线互 相垂直 ,求证圆心到一边距离等于这条边所对 这条边长的一半.(提示建立平面直角坐标系) 小结:用坐标法解题的步骤: 1 建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题; 2 利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题: 3 根据我们计算的结果,作出相应的几何判断. (三)、巩固练习: 1.赵州桥的跨度是 37.4m.圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱圆 的方程 2.用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点 3.求出以曲线 x2 ? y2 ? 25 与 y ? x2 ? 13 的交点为顶点的多边形的面积. 4.机械加工后的产品是否合格 ,要经过测量检验某车间的质量检 测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检 测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为 2 厘米,并测出三个 不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径. (四)、作业: P144 练习 4 题;

第四课时

直线、圆的方程练习课

一、复习准备: (1)直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?

(3)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? (4)如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课 1 推导标准方程 例1. 推导以点 A(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程 ★ 练习:一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1)圆心在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上, 求此圆的方程 例2. 求圆 ? x ? 2? ? ? y ? 3?
2 2

?4

上的点到 x ? y ? 2 ? 0 的最远、最近的距离

2.轨迹问题 充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直 线的距离公式。 例 3.求过点 A(4,0)作直线 l 交圆 O : x 的中点 P 的轨迹方程
2

? y2 ? 4 于

B,C 两点,求线段 BC

★练习: 由圆外一点引圆的割线交圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中 点的轨迹. 3.弦问题 主要是求弦心距(圆心到直线的距离),弦长,圆心角等问题。 一般是构成直角三角形来计算 例 4.直线 l 经过点 ? 5,5? , 且和圆 x2 ? y 2 ? 25 相交, 截得的弦长为 4 5 , 求 l 的方程。 4.对称问题 圆关于点对称,圆关于圆对称 例 5.求圆 ? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 4 关于点 ? 2, 2? 对称的圆的方程 ★练习:求圆 ? x ? 1? 的方程 三、巩固练习
2

? ? y ? 1? ? 4
2

关于直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的圆

1. 从圆外一点 P(1,1)向圆 x2+y2=1 引割线,交该圆于 A,B 两点,求 弦 AB 的中点的轨迹方程 2. 等腰三角形的顶点是 A(4.2)底边一个端点是 B(3,5)求另一个 端点的轨迹是什么? 3.已知圆的半径为 10 , 圆心在直线 y ? 2 x 上, 圆被直线 x ? y ? 0 截 得的弦长为 4 2 ,求圆的方程 四、典型题摘抄: ★例 1、已知圆 C 的圆心坐标是(-1,3),且圆 C 与直线 x+y-3=0 相 交于 P,Q 两点,又 OP⊥OQ,O 是坐标原点,求圆 C 的方程. 解: (1) 设而不求思想的应用, (2 ) OP⊥OQ 转化为 x1x2+y1y2=0, 2 从而可求得 r =13 (3)、所求的圆的方程为 ? x ? 1?2 ? ? y ? 3?2 ? 13 ★例 2、已知⊙C 满足:(1)、截 y 轴所得的弦长为 2;(2) 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3:1;(3)、圆心到直线 5 L:x-2y=0 的距离为 5 ,求此圆的方程。 解: ? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2 或 ? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2

讲义十一:空间直角坐标系

第一课时 教

4.3.1 空间直角坐标系

一、 教学要求: 使学生能通过用类比的数学思想方法得出 空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空 间的点的坐标确定方法。 二、教学重点:在空间直角坐标系中,确定点的坐标 三、教学难点:通过建立适当的直角坐标系,确定空间点的坐标 教学过程:

(一).复习准备: 1.提问:平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表 示方法? 2.讨论:一个点在平面怎么表示?在空间呢? (二)、讲授新课: 1.空间直角坐标系: 如图,OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为 原点,分别 以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向, 建立三条 数轴 x轴.y轴.z轴 。这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每 两个坐标轴的平面叫做坐标面。 2. 右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能 形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向, 中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。3.有 序实数组 1).间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,有序实数 ) x 组 ( x, y, z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M ( x, y, z( 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐 标 思考:原点 O 的坐标是什么? 讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。 3).例题 1:在长方体 OBCD ? D, A, B, C, 中, OA ? 3, oC ? 4, OD, ? 2.写出
D, , C , A, , B, 四点坐标 . (建立空间坐标系 ? 写出原点坐标 ? 各点坐

标) 讨论:若以 C 点为原点,以射线 BC、CD、CC1 方向分别为 ox、 oy、oz 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,那么,各顶点的坐 标又是怎样的呢?(得出结论:不同的坐标系的建立方法,所得 的同一点的坐标也不同。) 4.练习: V-ABCD 为正四棱锥, O 为底面中心, 若 AB=2, VO=3, 试建立空间直角坐标系,并确定各顶点的坐标。 (三)、巩固练习: 1.练习:P148 1, 2 2. 已知 M (2, -3, 4),画出它在空间的位置。 3.思考题:建立适当的直角坐标系,确定棱长为 3 的正四面体 各顶点的坐标。 (四).小结:

1.空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 2.有序实数组; 五.作业 1.课本 P148 3

第二课时

4.3.2 空间两点的距离公

式 一、教学要求:使学生掌握空间两点的距离公式由来,及应用。 二、教学重点:空间两点的距离公式的推导。 三、教学难点:空间两点的距离公式的熟练应用。 四、教学过程: (一)、复习准备: 1. 提问:平面两点的距离公式? 2. 建立空间直角坐标系时,为方便求点的坐标通常怎样选择坐 标轴和坐标原点? (二)、讲授新课: 1. 空间两点的距离公式 (1)已知两点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),求此两点间的距 离 d。 如图 7-5 所示, ΔM1PQ 和 ΔMQM2 都是直角三角形, 根据勾股定 理,
d ? M 1 M 2 ? ( M 1Q ) 2 ? (QM 2 ) 2

和 ( M1Q) 2 ? ( M1 P ) 2 ? ( PQ) 2

。 又因 M1 P ? y2 ? y1 , PQ ? x2 ? x1 , QM2 ? z2 ? z1 , 从而得两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2 。 思考:1)点 M(x,y,z)于坐标原点 O(0,0,0)的距离?
把 ( M1Q) 2 代入d , 得 d ? ( M 1 P ) 2 ? ( PQ ) 2 ? (QM 2 ) 2

2) M1,M2 两点之间的距离等于 0 ? M1=M2,两点重合, 也即 x1=x2,y1=y2,z1=z2。 讨论:如果 OP 是定长 r,那么 x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? (2)例题 1:求点 P1(1, 0, -1)与 P2(4, 3, -1)之间的距离。 练习:求点 A(0,0,0)到B(5,2, ?2) 之间的距离

(3)思考:1.在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离 的点。 2. 试在 xoy 平面上求一点, 使它到 A(1,-1,5)、 B(3,4,4) 和 C(4,6,1)各点的距离相等。 (三).巩固练习: 1. P150 练习 1 ? 3 2.已知三角形的顶点为 A(1,2,3),B(7,10,3)和 C(-1, 3,1)。试证明 A 角为钝角。 2. 在 z 轴上,求与 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)两点等距离的点。 (四).小结 1. 空间两点的距离公式的推导。 2. 公式的应用 (五).作业 1.课本 p150 练习 第 4 题

讲义十二

向量法处理立体几何

(一)、复习空间直角坐标系: → → → 1、 空间向量的坐标运算: 设 a =(x1,y1,z1), b =(x2,y2,z2),则① a → + b =(x1+x2,y1+y2,z1+z2); →→ →→ →→ ② a - b =(x1-x2,y1-y2,z1-z2);③向量 a , b 的数量积为 a ·b →→ → =x1x2+y1y2+z1z2, ④向量 a , b 的模 | a |= x12+y12+z12 ; ⑤两向 → → 量垂直 a ⊥ b ?x1x2+y1y2+z1z2=0; ⑥两向量的夹角 →→ cos< a , b >= x1x2+y1y2+z1z2 x1 +y12+z12 · x22+y22+z22
2

→→ → 2、平面的法向量:平面?内的两条相交直线 a , b ,如果直线 m 满

→→ →→ → 足 m ·a =0,且 m ·b =0,则直线 m 称为平面的法向量 (二)、典例剖析: → → → → → → ★例 1、已知向量 a =(4,-2,-4), b =(6,-3,2),求(2 a +3 b )· ( a -2 b ) 之值。(答案:-244) ★ 例 2、若 A、B 两点的坐标分别为 A → (3cos?,3sin?,1),B(2cos?,2sin?,1),求出|AB|的取值范 围.(答案:1≤|AB|≤5)
E H G F

★ 例 3、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 D′D、BD 的中点,G 点在棱 CD 上,且 CG= CD,①建立适 当的空间直角坐标系,然后写出点 A、B、C、D、A′、B′、C′、 D′、E、F、G、H 的坐标;②证明:EF⊥B′C;③求异面直线 EF 与 C′G 所成的角的余弦值;④设 H 为 C′G 的中点,求出 FH 的长;⑤求出平面 EFH 的法向量。 ★例 4、 已知直三棱柱 ABC-A′B′C′的侧棱 AA′=4, 底面△ABC 中,AC=BC=2,∠BCA=90°,E 为 AB 的中点,①求证;CE⊥AB′;②求二面角 10 A′-AB′-C 的余弦值。(答案:cos?= 5 ) ★例 5、 在长方体 ABCD-A′B′C′D′中, 已知 AB=4, AD=6, AA′=4, M 是 A′C′的中点,点 P 在线段 BC 上,且|CP|=2,点 Q 是 DD 的中点,求:①异面直线 AM 与 PQ 所成的角的大小;②点 M 到平面 ABP 的距离。
1 4

174 解、①cos?= 58 ;



5 3 3

★ 例 6、在四棱锥 S-ABCD 中,∠DAB=∠ ABC=90°,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD=2, ① 求证:平面 SAC⊥平面 SCD; ②求二面角 A-SD-C 的大小; ③求异面直线 SD 与 AC 所成的角的大小; ④设 E 为 BD 的中点,求 SE 与平面 SAC 所成的角的大小。 6 解、②cos?= 6 ; 10 ③cos?= 5 ; 2 ④sin?= 6

★例 7、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F, ①证明:PA∥平面 EDB; ② 证明:PB⊥平面 EFD; ③ 二面角 C-PB-D 的大小。(答案:③ ) ★ 例 8、在正三棱柱 ABC-ABC 中,底面边长 为 1,侧棱长为 2 , ① 建立适当的空间直角坐标系,并写出点 A、B、A、C 的坐标 ② 求出 AC 与侧面 ABBA 所成的角的大小。(答案:② ) ★例 9、已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6, 高为 3 的等腰梯形, 将它沿对称轴
? 6
? 3

OO′折成直二面角,①证明:AC⊥BO′;②求二面角 O-AC-O′的 大小。 解:②cos?= 4

3

(三)、巩固练习: ●★1.(2007 北京·文) 如图,在 Rt△ AOB 中,?OAB ? , 斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋 转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角.D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.
π 6

●★19. (2007 福建· 文) 如图, 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小.

●★20. (2007 安徽· 文) 如图, 在三棱锥 V ? ABC 中,
VC ⊥底面ABC
A C? B C ?



AC ⊥ BC



D



AB

的中点,且

π? ? a , (I) 求证: 平面 VAB ⊥ ∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . ? 2?

平面 VCD ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 .
π 6

●★25. (2007 全国Ⅱ· 文) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD, E, F 分别为
AB, SC 的中点.

(1)证明 EF ∥平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小.

●★ 26 . (2007 安徽·文 ) 如图 , 在底面为直角梯形的四棱锥
P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?, PA ? 平面 v

PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.( Ⅰ ) 求证 :BD BD ? 平面PAC; ( Ⅱ )

求二面角 P ? BD ? A 的大小.

●★ 27 . (2007 四川·文 ) 如图,平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90° ,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的 角为 60° ,又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ) 求

证:AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小;(Ⅲ)求 多面体 PMABC 的体积.

讲义十三、二面角和距离的求解

(一)、定义法求二面角的平面角:

★例题 1、在正四面体 ABCD 中;(1)求 AD 与平面 BCD 所成 的角;(2)、求相邻两个面所成的二面角的平面角的 大小。 ●解;(1)、arccos 3 /3;(2)、arccos1/3

▲基础训练:P30:题 11;学法大视野:P46:题 11;

(二)、三垂线法求二面角的平面角: ★例题 2、如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,M、N、P 分别为 相应的棱 之中点, (1) 、 求证: 面 PAB⊥面 MNB′; (2) 、

求二面角 M-B′N-B 的正切值 解:(1)、由三垂线定理有 PB⊥MN,PB⊥B′N?? (2)、由 MB⊥面 B′NB,则用三垂线法有 tan∠MQB= 5 2

▲ 学法大视野:P46:10 题,基础训练:P30:题 13\14;P34: 题 11; 题 13

★ 例 3、 在四棱锥 S-ABCD 中, ∠DAB=∠ABC=90°, 侧棱 SA ⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD=2, ①、求证:平面 SAC⊥平面 SCD;②、求二面角

A-SD-C 的大小; ③、求异面直线 SD 与 AC 所成的角的大小;④、设 E 为 BD 的中点,求 SE 与平面 SAC 所成的角的大小。 6 解、②cos?= 6 ; 10 ③cos?= 5 ; 2 ④sin?= 6

★例题 4、在直三棱柱 ABC-A′B′C′中,底面三角形 ABC 中 AC=BC=1,∠ACB=90°,棱 A′A= 2 ,求二面角 A-A′B-C 的 大小。

★ 例题 5、 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PB⊥底面 ABCD, CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥ BC,AB=AD=PB=3,点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA, (1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小;(2)、求证; PC∥面 EBD,(3)、求二面角 A-BE-D 的大小。 解:(1)、60°, (2)、设 BD 与 AC 相交于点 G,则 EG∥PC; (3)、arccos 6 /6;或 arctan 5 .

★ 【※题 6】已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直,

∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 ,且 AA1⊥A1C,AA1=A1C, ①求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成的角的大小; ②求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成的二面角的大小; ③求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离. ② 60°; ③ (解: ①45°;

3)

★【题 7】如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯 形,AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O,且顶点 P 在底面 上的射影恰为 O 点,又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 P-AB-C 的大小;(Ⅲ)设点 M 在棱 PC 上,且
PM ? ? ,问? 为何值时,PC⊥平面 MC

BMD.
2 15 15

解:①异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为

?PEO 为二面角 P ? AB ? C (Ⅱ) 连结 OE , 由 (Ⅰ) 及三垂线定理知,

? sin ?PEO ? 的平面角;

PO 2 ??PEO ? 450 ; ? , ? 二面角 P ? AB ? C 的 PE 2

大小为 450 (Ⅲ)连结
? PC ? OM

MD, MB, MO
R? t

, ? PC ? 平 面
P O C 中

BMD , OM ?

平面
O ?1 C,

B M D,

; 又 在

, P C ?

P? D3 ,

? P, O2

? PM ?

PM 2 3 3 ? 2 故 ? ? 2 时, PC ? 平面 BMD , MC ? ,? MC 3 3

(三)、巩固练习题: ★【题 1】、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 1200 ,
PA ? 底面ABCD , AB ? 1, PA ? 3, E为PC 的中点.

(1) 求 直 线

DE

与平面

PAC

所成角的大小;

(2) 求 二 面 角

E ? AD ? C 的平面角的正切值 ;
M

(3) 在线段 PC 上是否存在一点

,使 PC ? 平面MBD 成立?如果存在,求出 MC 的长;如果不存在,请说

明理由. 解:(1) 30°;② 2 ;(3)
MC ? 6 4

★【题 2】、如图:在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形,PD⊥底面 ABCD, 且 PD=AD=1,则 (1)直线 BC 到平 面 PAD 的距离为___________(找 )1 . (2)点 D 到平面 PAC 的距离为__________(做) 3 3

(3 ) 点 C 到平面 PAB 的距离为__________ (先转化→再做) 2 2 题 3:填空:(1)平面α ∥平面β , 平面β ⊥平面γ ,则平面 α 与平面γ 的位置关系为_____?⊥γ (2) 平面α ⊥平面β , 平面β ⊥平面γ ,则平面α 与平面γ 的位 置关系为_________.?∥γ 或?与γ 相交(注意:不一定是垂 直) (3)直线 a⊥平面α , 直线 a⊥平面β ,则平面α 与平面β 的位置 关系为_________.?∥?

(4)直线 a⊥平面α , 直线 b⊥平面β ,直线 a⊥直线 b,则平面 α 与平面β 的位置关系___.?⊥?

题 4:已知 m、n、l 为不同的直线,α 、β 、γ 为不同的平面, 则真命题序号有_________①②④ ①α ⊥γ β ∥γ 则α ⊥β ②l∥ α l ⊥β 则 α ⊥β ③m

⊥α n ? β m⊥n 则α ⊥β ;④α ∥β ;m⊥α n ⑤α ⊥β α ∩β =m n⊥m 则 n⊥β

n∥β 则 m⊥

⑥β ∩γ =l l∥α

m ? α m⊥γ 则 l⊥m m∥β

题 5: 三角形 ABC 中

AB=BC=1,∠ABC=120o, 将三角形 ABC

所在平面沿 BC 边所在的直线旋转 90 o 之后, 得 到平面 A′BC ,(1)求 AA′与平面 A′BC 所成角的大小?(2)求二面角 A-BA′-C 的平 面角的大小?(3)求点 B 到平面 AA′C 的距 离?

题 6 、 斜 三 棱 柱 ABC-A ′ B ′ C ′ 中 ∠ BAC=90 o, 且 B C′⊥AC,过 C′做 C′H 平面 ABC,垂足为 H,则(B) A、点 H 落于直线 AC 上 B、点 H 落于直线 AB 上 ⊥

C、点 H 落于直线 BC 上 内

D、点 H 落于三角形 ABC 之

解:∵∠BAC=90 o, 且 B C′⊥AC,则 AC⊥面 BAC′?面 BAC ⊥面 BAC′,交线为 AB?点 H 落于直线 AB 上

题 7:(湖南 05 年文科 4 题)正方体 ABCD-A′B′C′D′中 棱长为 1,E 为 A′B′中点,则 E 到平面 ABC′D′ 的距离为 ( B ) A 3 2 B 2 2 1 C 2 D 3 3

题 8: (湖南 05 年文科 15 题)平面α 、β 和直线 m, 给出条件①m∥α ②m⊥α ③ m ? α ④α ⊥β (1)当满足条件_________时有 m∥β (2)当满足条件_________时有 m⊥β ⑤α ∥β 则 ③⑤ ②⑤

题 9:(06 年全国文 7 题)平面α ⊥平面β ,A∈α ,B∈β , AB 与两平面α 、β 所成的角为 45 o,30 o,过 A、B 分别做两平面 交线的垂线, 垂足为 A′、 B′, 设 AB=12, 则 A′B′= ( A、4 B、6 C、8 D、9 B )

讲义十四:柱、锥、台体的表面

积和体积

一、 柱、锥、台体的表面积、全面积和体积公式及其应用: ★例 1、圆台的上、下底面的半径分别是 10 和 20,它的
C

侧面展开图(圆环)的圆心角是 180 度,求此圆台的表面 积(高效读教材 P47 例 5)
A1

A B

P C1 B1

二、几何体表面两点的最短距离和其侧面展开图的问题: ★例 2、(江西卷)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 为直角三角形,?ACB=90?,AC=6,BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是__________ 解:连 A1B,沿 BC1 将△CBC1 展开与△A1BC1 在同一个平 面内,如图所示,连 A1C,则 A1C 的长度就是所求的最小值。通 过计算可得 ?A1C1C=90?又 ?BC1C=45?,??A1C1C=135? 由 余弦定理可求得 A1C= 5 2

★例 3.(江西卷)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 1,高为 8,一质点自 A 点出发,沿着 三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的 .. 最短路线的长为 .10

解:将正三棱柱 ABC ? A1B1C1 沿侧棱 CC1 展开,其侧面展开图

如图所示,由图中路线可得结论。

★例 4、在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=a,BC=b,BB′=c, 并且 a>b>c,求沿着长方体的表面自 A 到 C′的最短路线的长度。 (教材全解:P44:例 1)

★例 5、有两个相同的直三棱柱,高为 ,底 面三角形的三边长分别为 3a,4a,5a(a ? 0) 。用它 们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积 最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是__________。 ▲解答:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱 柱,有三种情况 四棱柱有一种,就是边长为 5a 的边重合在一起,表面积为 24 a 2 +28 三 棱 柱 有 两 种 , 边 长 为 4a 的 边 重 合 在 一 起 , 表 面 积 为 24 a 2 +32,边长为 3a 的边重合在一起,表面积为 24 a 2 +36 ; 两个相同的直三棱柱竖直放在一起,有一种情况表面积为 12
a2

2 a

+48 ; 最 小 的 是 一 个 四 棱 柱 , 这 说 明
15 3

24a 2 ? 28 ? 12a 2 ? 48 ? 12a 2 ? 20 ? 0 ? a ?

★例 6、在直三棱柱 ABC ? ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;
? (2) 若 AC 求三棱锥 A1 ? ABC 1 与平面 ABC S 所成角为 45 ,

的体积。 ▲解:(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角 (或它的补角) ∵∠ABC=90° , AB=BC=1, ∴∠ACB=45° , ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° . (2) ∵AA1⊥平面 ABC,∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的 角, ∠ACA =45° . ∵∠ABC=90° , AB=BC=1, AC= 2 ,∴AA1= 2 .∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC× AA1=
1 3

6 2

.

★ 例题 7 、已知三棱台 ABC-A′B′C′ 中, AB : A′B′=1 : 2 ,则三棱锥 A′-ABC 、 B-A′B′C 、 C-A′B′C′的体积之比为__________ (高效读教材 P52:例题 3) 1:2:4

★ 例题 8、用上口直径为 34 厘米,底面直径为 24 厘米,深 35 厘米的水桶盛得雨水正好为桶深的 1/5,问此次的降雨 量为多少(精确到 0。1 毫米,且降雨量是指单位面积的水

平地面上降下雨水的深度)(高效读教材 P54:例题 5)

三、球的表面积和体积问题: ★题 1.(福建卷)已知正方体外接球的体积是 32 ? ,那么正方
3

体的棱长等于 A.2 2 D. 4
3 3
3

B.

2 3 3

C.

4 2 3

解:正方体外接球的体积是 32 ? ,则外接球的半径 R=2,正 方体的对角线的长为 4,棱长等于 4
3 3



★题 2.(湖南卷)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的 截面, 若 OA 与该截面所成的角是 60°则该截面的面积是 B. 2π C. 3π D.
2 3?

A. π

解:过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,
A

若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则截面圆的半径是
O

1 2

D F

R=1,该截面的面积是 π,选 A.
B E

C

★题 3.(江西卷)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过 四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设 四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则

必有(

) B. S1?S2 C. S1=S2 D. S1,S2 的大

A.S1?S2 小关系不能确定

解:连 OA、OB、OC、OD,则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO
-BEFD,

VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC 而每

个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+ SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C

★题 4.(全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
16? 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是 A. 20? B.

C. 24?

D. 32?

【解析】正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长 为 2,正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 6 ,∴ 球的半径为
6 ,球的表面积是 24?

,选 C.

★题 5.(全国 II)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平 3 面 , 则 所 得 截 面 的 面 积 与 球 的 表 面 积 的 比 为 ( A ) 16 9 (B)16 3 (C)8 9 (D)32

【解析】设球的半径为 R, 过球的一条半径的中点,作垂直于该 半径的平面,由勾股定理可得一个半径为
3 R 2

的圆,所以

S1 ? S2

?(

3 2 R) 3 2 ? ,故选 2 4? R 16

A

★题 6.(山东卷)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2, ∠DAB=60° ,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的 体积为 (A) 4 3?
27

(B)

6? 2

(C)

6? 8

(D)

6? 24

解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1,故外接球半 径为
6 ,外接球的体积为 4 ? ( 6 )3 ? 6 ? 4 3 4 8

,选 C

★题 7.(山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A)1 ∶ 3 (D)1∶9 解:设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为 接球的半径为
3 a ,故所求的比为 2
1 a ,它的外 2

(B)1 ∶ 3

(C)1 ∶ 3 3

1∶3 3 ,选 C

★题 8.(四川卷)如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个 顶点 A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上, 如果 VP ? ABCD ? (A) 4?
16?
16 ,则球 O 的表面积是 3

(B)8?

(C)12?

(D)

解析: 如图, 正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C, D 在球 O 的 同一个大圆上,点 P 在球面上, PO ⊥底面 ABCD , PO=R ,

S ABCD ? 2R2 , VP ? ABCD ?
16?

16 ,所以 1 ? 2 R 2 ? R ? 16 ,R=2,球 O 的表面积是 3 3 3

,选 D.

★题 9.(辽宁卷)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥
P ? ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是________.

解:显然正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆, 于是可求得底面边长为 2,又正六棱锥 P ? ABCDEF 的高依题意可 得为 2,依此可求得 6 7 ★题 10.(全国卷 I)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的 长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于_____________ 【解析】正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,底面边 长为 2 3 ,底面积为 12,所以正四棱锥的高为 3,则侧面与底面 所成的二面角的正切 tanα= 3 , ∴ 二面角等于 ? 。
3

★题 11.(陕西卷)水平桌面α 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻 的球都相切(球心的连线构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半 径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平 桌面α 的距离是 解: 水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球, 且相邻的球都相 切(球心的连线构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,5 个球心组成一个正四棱 锥,这个正四棱锥的底面边长为 4R,侧棱长为 3R,求得它的高 为 R,所以小球的球心到水平桌面 α 的距离是 3R. 13.(2007 天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,

且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 , 2 , 3 ,则此球的表面积 为 .

★题 12.(2007 全国Ⅰ·文)正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧 棱长都为 2 ,点 S,A,B,C,D 都在同一个球面上,则该球的 体积为_________ . ★题 13.(2007 全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在 一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 1cm,那么该棱柱的表面积为 cm 2 .

四、综合应用: ★题 1.(2007 北京·文) 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? ,斜边
AB ? 4 .Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二

π 6

面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.
CO ? AO ,BO ? AO , ??BOC 是二面角 B ? AO ? C 解 (I) 由题意,

是直二面角,? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD .? 平面 COD ? 平面 AOB .
E (II) 作D ? O B ??CDE , 垂足为 E , 连结 CE(如图) , 则 DE ∥ AO , B O? 2

是 异 面 直 线 AO 与 CD 所 成 的 角 . 在 Rt△COE 中 , C O ?



OE ?

1 1 BO ? 1 , E ? A O 又D ?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 . 2 2

? 3. ? 在 Rt△CDE

中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
DE 3 3

★ 题 2 . (2007 安徽·文 ) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,
VC ⊥底面 ABC, AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且 AC ? BC ? a ,

π? ? ∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?

(I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 解:(Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ ACB 是等腰三角形,又 D 是 AB 的中
∴ CD ? AB , ∴VC ? AB . 点, 又 VC ? 底面 ABC . 于是 AB ? 平面 VCD . 又
AB ? 平面 VAB ,∴ 平面 VAB ? 平面 VCD .

π 6

(Ⅱ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH ? VD 于 H ,则由(Ⅰ)知 CD ? 平 面 VAB . 连接 BH , 于是 ?CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. 依 题意 ?CBH ? ,所以在 Rt△CHD 中, CH ? 在 Rt△BHC 中,CH ? a sin
π 4
π a 2 ? ,∴sin ? ? 6 2 2 π 6

2 a sin ? 2


π 2 π 4

.∵ 0 ? ? ? ,∴? ? .故
π 6

当 ? ? 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 .

★ 题 3 . (2007 湖南·文 ) 如图 3 ,已知直二面角
? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ? ? ,C ? ? ,CA ? CB ,?BAP ? 45? ,直线 CA 和

平面 ? 所成的角为 30? . (I) 证明 BC ⊥ PQ ; (II) 求二面角 B ? AC ? P 的大小. 解: (I) 在平面 ? 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O , 连结 OB . 因为 ? ⊥ ? ,
? ? ? ? PQ ,所以 CO ⊥ ? ,

又因为 C A ?

C B,所以 OA ? OB .而 ?BAO ? 45? ,所以 ?ABO ? 45? ,

?AOB ? 90? ,从而 BO ⊥ PQ ,又 CO ⊥PQ
BC ? 平面 OBC ,故 PQ ⊥ BC .

,所以 PQ ⊥平面 OBC .因为

(II):由(I)知, BO ⊥ PQ ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ , BO ? ? ,所 以 BO ⊥ ? .过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,
BH ⊥ AC .故 ?BHO 是二面角 B ? AC ? P 的平面角.

由( I )知, CO ⊥ ? ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则
?CAO ? 30?

,不妨设 AC ? 2 ,则 AO ? 3 , OH ? AO sin 30? ?

3 2

.在

Rt△OAB 中, ?ABO ? ?BAO ? 45? ,所以 BO ? AO ? 3 ,

于是在 Rt△BOH 中, tan ?BHO ?

BO ? OH

3 ? 2 .故二面角 B ? AC ? P 的 3 2

大小为 arctan 2 .

★题 4.(2007 江西·文) 如图是一个直三棱柱(以
A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为
ABC .已知 A1B1 ? B1C1 ? 1 ,?A1B1C1 ? 90? ,AA1 ? 4 ,BB1 ? 2 ,

CC1 ? 3 .(1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC ∥ 平面

A1B1C1 ;

(2)求 AB 与平面 AAC (3)求此几何 1 1C 所成的角的大小; 体的体积. (1) 证明: 作 OD ∥ AA1 交 A1B1 于 D , 连 C1D . 则 OD ∥ BB1 ∥CC1 , 因为 O 是 AB 的中点, 所以 OD ?
1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 则O D C C 2
1

是平行四边形, 因此有 OC ∥C1D ,C1D ? 平面 C1B1 A1 , 且 OC ? 平面 C1B1 A1 则 OC ∥面 A1B1C1 . (2) 解: 如图, 过 B 作截面 BA2C2 ∥ 面 A1B1C1 ,分别交 AA1 , CC1 于 A2 , C2 ,作 BH ⊥ A2C2 于 H ,因为平面
BH ⊥ 面 AAC AH A2 BC2 ⊥ 平面 AAC 1 1C ,则 1 1C .连结

,则∠BAH 就是 AB

与 面 AAC 1 1C 所 成 的 角 . 因 为
sin ∠BAH ?

BH ?

2 2

, AB ? 5 , 所 以

BH 10 10 . AB 与面 AAC . ? 1 1C 所成的角为 ∠BAH ? arcsin AB 10 10 2 2

(3)因为 BH ?

,所以 VB ? AA C C ?
2 2

1 1 1 2 1 S AA2C2C ?BH .? ? (1 ? 2) 2 ? ? . 3 3 2 2 2

1 VA1B1C1 ? A2 BC2 ? S△ A1B1C1 ?BB1 ? ?2 ? 1 2 3 V ? BV ? V ? . ? 2A A C C ? A 2 1 1 1 B 2C 2

. 所 求 几 何 体 的 体 积 为
2A

B

C

★题 5.(2007 四川·文) 如图,平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90° ,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的 角为 60° ,又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证:AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小;(Ⅲ)求多 面体 PMABC 的体积.

解:(Ⅰ)∵平面 PCBM ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? 平面 ABC . ∴ AC ? 平面 PCBM 又∵ BM
? 平面 PCBM

∴ AC ? BM

(Ⅱ)取 BC 的中点 N ,则 CN ? 1 .连接 AN 、 MN .∵平面 PCBM ? 平面 ABC ,平面 PCBM? 平面 A B C ?
? ?

B C, PC ? BC

.∴ PC ? 平面

ABC .∵ PM // CN ,∴ MN // PC ,从而 MN ? 平面 ABC .

作 NH ? AB 于 H ,连结 MH ,则由三垂线定理知
AB ? MH .从而 ?MHN

为二面角 M ? AB ? C 的平面角.∵直

线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,∴ ?AMN ? 60? .在
?ACN

中 , 由 勾 股 定 理 得 AN ? 2 . 在
3 6 ? 3 3

Rt ? AMN 中,
R? t B 中 N

MN ? AN ? cot ?AMN ? 2 ?



在 . 在

,H

NH ? BN ? sin ?ABC ? BN ?

AC 1 5 ? 1? ? AB 5 5

R?t

M

N , H 中

6 MN 30 30 tan ?MHN ? ? 3 ? 故二面角 M ? AB ? C 的大小为 arc tan NH 3 3 5 5

★题 6.(陕西卷)如图,α ⊥β ,α ∩β =l , A∈α , B∈β ,点 A 在直 线l 上 的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (Ⅰ) 直线 AB 分别与平面α ,β 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A1 -AB-B1 的大小. 解: (Ⅰ)如图, 连接 A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1

⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1 分别是 AB 与 α 和 β 所成的角.Rt△BB1A 中, BB1= 2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 BB1 2 = AB = 2 . ∴∠BAB1=45° .Rt△AA1B 中, AA1=1,AB=2, AA1 1 sin∠ABA1= AB = 2 , ∴∠ABA1= 30° .故 AB 与平面 α,β 所 成的角分别是 45° ,30° .(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面 ABB1⊥α.在 平面 α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E,则 A1E⊥平面 AB1B.过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1F⊥ AB, ∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角.在 Rt△ABB1 中,∠ BAB1=45° , ∴AB1=B1B= 2. ∴Rt△AA1B 中, A1B= AB2-AA12 = 4-1 = 3. 由 AA1· A1B=A1F· AB 得 A1F= AA1· A1B 1× 3 = AB 2

3 A1E 6 = 2 ,∴在 Rt△A1EF 中,sin∠A1FE = A F = 3 , ∴二面角 1 6 A1-AB-B1 的大小为 arcsin 3 .

★题 7.(上海卷)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱 形,∠DAB=60 ? ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ? .(1)求四棱锥 P- ABCD 的体积; (2) 若 E 是 PB 的中点, 求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小 (结 果用反三角函数值表示). [解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60° . 在 Rt △ AOB 中 BO=ABsin30° =1, 由 PO ⊥ BO, 于

是,PO=BOtg60° = 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 1 × 2 3 × 3 =2.(2):取 AB 的中
3

点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA,∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角),在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30° = 3 =OP, 66 1 于是, 在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF= .在正△ABD 和 EF 24 2 ? 正△PBD 中,DE=DF= 3 , cos∠FED= = 2 ∴异面直 DE 4 3 线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 2 .
4

题 8.(上海卷)在直三棱柱 ABC ? ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;
ABC S 所成角为 45? , (2) 若 AC 求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 1 与平面

解: (1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或 它的补角) ∵ ∠ ABC=90° , AB=BC=1, ∴ ∠ ACB=45° ,

∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° . (2) ∵AA1⊥平面 ABC,∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的 角, ∠ACA =45° .∵∠ABC=90° , AB=BC=1, AC= 2 ,∴AA1= 2 . ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC× AA1=
1 3

6 2

.

题 9、(四川卷)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, P 分别是 (Ⅰ) M , N 分别是 AE, CD1 的中点, AD ? AA1 ? a, AB ? 2a BC, A1D1 的中点, 求证: MN // 面 ADD1 A1 ; (Ⅱ) 求二面角 P ? AE ? D 的大小; (Ⅲ) 求三棱锥 P ? DEN 的体积。

解:(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK 分别为 AK , CD1, CD 的中点
MK //

∵ M , N, K ∴ ∴ ∴

∵ MK // AD, NK // DD1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1

面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1

MN // 面 ADD1 A1 (Ⅱ)设 F

为 AD 的中点 ∵ P 为 A1D1 的中点

PF // D1D

∴ PF ? 面 ABCD 作 FH ? AE ,交 AE 于 H ,连结 PH ,则

由三垂线定理得 AE ? PH ,从而 ?PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面 角。 在 Rt ?AEF 中,AF ? a , EF ? 2a, AE ?
2 17 从而 FH ? AF ? EF ? 2 ? 2a ? 2a a, 2 AE 17 17
2 a a

在 Rt ?PFH 中, tan ?PFH ? PF 为 arctan
17 2

FH

?

DD1 17 ? FH 2

故:二面角 P ? AE ? D 的大小

(Ⅲ) S?NEP ? 1 S矩形ECD P ? 1 BC ? CD1 ? 1 ? a ?
2
1

4

4

a 2 ? 4a 2 ?

5 2 a ;作 DQ ?CD 1 , 4

交 CD1 于 Q , 由 A1D1 ? 面 CDD1C1 得 AC 1 1 ? DQ ∴ DQ ? 面 BCD 1A 1 ∴在
Rt? CDD 1


1 V E? 3 ?N



DQ ?

CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a CD1 5a 5





VP ?

?

D

1 1 5 2 ? S ? D ?a 2 ? E D a ? Na 3Q 6 3 4 5

P

N

E

P

讲义十五、 立体几何提高 练习

题 1、 斜三棱柱 ABC-A′B′C′中∠BAC=90 o,且 B C′⊥AC, 过 C′做 C′H⊥平面 ABC,垂足为 H,则( )

A、点 H 落于直线 AC 上 C、点 H 落于直线 BC 上 内

B、点 H 落于直线 AB 上 D、点 H 落于三角形 ABC 之

★ 题 2 、 如 图 , 四 棱 锥 P ? A B C D的 底 面 为 菱 形 , 且
?ABC ? 1200

,

PA ? 底面ABCD

, AB ? 1, PA ? 3, E为PC 的 中

点 .(1) 求 直 线 DE 与 平 面 PAC 所 成 角 的 大 小 ; (2) 求 二 面 角
E ? AD ? C

的平面角的正切值;

(3)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PC ? 平面MBD 成立?如果 存在,求出 MC 的长;如果不存在,请说明理由.

★题 3、如图:在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD⊥底面 ABCD, 且 PD=AD=1,则 (1)直线 BC 到平面 PAD 的距离为___________(找 ) . (2)点 D 到平面 PAC 的距离为__________(做) (3 ) 点 C 到平面 PAB 的距离为__________ (先转化→再做) 题 4: (湖南 05 年文科 4 题) 正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中棱长为 1,E 为 A′B′中点,则 E 到平面 ABC′D′ 的 距离为( 3 2 ) B 2 2 C 1 2 D 3 3
π 6

★题 5.(2007 北京·文) 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? ,斜边
AB ? 4 .Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二

面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点.

(I) 求证: 平面 COD ? 平面 AOB ; (II) 求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

★ 题 6 . (2007 安徽·文 ) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,
VC ⊥底面 ABC , AC ⊥ BC



D



AB

的中点,且

AC ? BC ? a



π? ? ∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?

(I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 .
π 6

★题 7. (2007 四川· 文) 如图, 平面 PCBM⊥ 平面 ABC,∠PCB=90° ,PM∥BC,直线 AM 与直 线 PC 所成的角为 60° ,又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ) 求 证 : AC⊥BM;(Ⅱ) 求 二 面 角 M-AB-C 的大小;(Ⅲ)求多面体 PMABC 的体积.

★题 8. (陕西卷)如图,α ⊥β ,α ∩β =L , A∈α , B∈β ,点 A 在直 线 L 上的射影为 A1, 点 B 在 L 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (Ⅰ) 直线 AB 分别与平面α ,β 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A1-AB-B1 的大小.


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