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上海市浦东新区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


浦东新区 2016 学年度第一学期教学质量检测 高一数学试卷
一、填空题:(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)

1. 函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象均过定点 2. 请写出“好货不便宜”的等价命题: .

.

3.若集合 A ? ?x | x ? 1?, B ? ?x | x ? a? 满足 A ? B ? ?1? ,则实数 a ? 4.不等式 2 x ?1 ?1 ? 0 的解集是 5.若 f ? x ?1? ? 2x ?1 ,则 f ?1? ? 6.不等式
x?3 ? 0 的解集为 x?2

.

. . . . .

7.若函数 f ? x ? ? ? x ? 1?? x ? a ? 为偶函数,则 a ? 8.设 f ? x ? ?

x2 , g ? x? ? x ?1

x ?1 ,则 f ? x ? ? g ? x ? ? x

9.设 ? : x ? ?5 或 x ? 1 , ? : 2m ? 3 ? x ? 2m ? 1 ,若 ? 是 ? 的必要条件,则实数 m 的 取值范围为 .
x2 ? 2

?1? 10.函数 y ? ? ? ?2?

的值域是

. .

1 1 11.已知 ab ? 0 ,且 a ? 4b ? 1 ,则 ? 的最大值为 a b

??1 ? 2a ? x , x ? 1 ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? a 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围 ? ? 4, x ? 1 ?x



.

二、选择题(本大题共 4 小题,每题 3 分,共 12 分,每题都给出代号为 A,B,C,D
-1-

的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得 3 分,否则一律得零 分) 13.函数 y ? x 3 的大致图象是(
4



14.已知 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,则 x ? 0 时, f ? x ? ? ( ) A. ? x ? 1 B. x ? 1 C.
?x ?1

D. x ? 1

15.证券公司提示:股市有风险,入市需谨慎。小强买股票 A 连续 4 个跌停(一 个跌停: 比前一天收市价下跌 10%) , 则至少需要几个涨停, 才能不亏损 (一个 涨 停:比前一天收市价上涨 10%). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ) 16.给定实数 x ,定义 ? x ? 为不大于 x 的最大整数,则下列结论中正确的是( A. x ? ? x? ? 0 B. x ? ? x? ? 1 C. 令 f ? x ? ? x ? ? x? ,对任意实数 x , f ? x ?1? ? f ? x ? 恒成立. D.令 f ? x ? ? x ? ? x? ,对任意实数 x , f ? ?x ? ? f ? x ? 恒成立.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.(本题满分 8 分) 已知 m2 ? m

?

? ? ? 3 ? m?

3 5

3 5

,求实数 m 的取值范围.

18.(本题满分 10 分) 如图,矩形草坪 AMPN 中,点 C 在对角线 MN 上, CD 垂直 AN 于点 D , CB 垂直
-2-

于 AM 于点 B , CD ? AB ? 3 米, AD ? BC ? 2 米,设 DN ? x 米, BM ? y 米, 求这块矩形草坪 AMPN 面积的最小值.

19.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 设 a 是实数,函数 f ? x ? ? a ?
2 ? x ? R?. 2 ?1
x

(1)若已知 ?1, 2 ? 为该函数图象上一点,求 a 的值; (2)证明:对任意 a , f ? x ? 在 R 上为增函数.

20.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? a . (1)若对任意的实数 x 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 x ???1,1? 时,求函数 f ? x ? 的最大值.

21.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 在区间 D 上,如果函数 f ? x ? 为减函数,而 xf ? x ? 为增函数,则称 f ? x ? 为 D 上的

-3-

弱减函数,若 f ? x ? ?

1 . 1? x

(1)判断 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 上是否是弱减函数; (2)当 x ??1,3? 时,不等式
a 1 a?4 恒成立,求实数 a 的取值范围; ? ? x 2x 1? x

(3)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? k x ?1 在 ?0,3? 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范 围.

浦东新区 2016 学年度第一学期期末质量测试 高一数学参考答案
一、填空题 1. (0,1)
(??,2) ? [3,??)

2. 便宜没好货

3. 1

1 3 4. ( , ) 2 2

5. ? 1

6.

7. ?1 11. 9 12. [?1,0)

8. x,x ? (?1, 0) ? (0 , ? ?)

9. m ? ?3 或 m ? 2

10. (0, 4]

二、选择题 13. A 14. B 15. C 16. D

三、解答题 17.(本题满分 8 分) 解:(1)设函数 y ? x ,函数为 R 上的单调递增函数 得, m 2 ? m ? ?m ? 3 即, m 2 ? 2m - 3 ? 0
(m ? 1)(m ? 3) ? 0 得,
-43 5

………………2 分

………………2 分 ………………2 分

所以,m 的取值范围为: m ? [?3 ,1]

………………2 分

18.(本题满分 10 分) 解: ?NCD ? ?CMB ?

x 2 ? ? xy ? 6 ………………….2 分 3 y

S AMPN ? ( x ? 2)( y ? 3)
? xy ? 3x ? 2y ? 6 ? 12 ?3 x ?2 y
………………….3 分

? 12 ?2 3 x 2 ? y? 24 ………………….2 分
当且仅当 3x ? 2 y ,即 x ? 2, y ? 3 时取得等号。………………….2 分 面积的最小值为 24 平方米。 ………………….1 分

19. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 解:1) 2 ? a ?
2 8 ?a? 3 3

………………….4 分

2)证明:设任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,………………….1 分 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?
?
?
2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 x1 ? 1 2 ?1

2 2 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

2(2 x1 ? 2 x2 ) , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

………………….3 分

由于指数函数 y ? 2x 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2 x1 ? 2 x2 即
2x1 ? 2 x2 ? 0 ,

又由 2 x ? 0 ,得 2 x1 ?1 ? 0 , 2 x2 ?1 ? 0 ,………………….1 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,对于任意 a, f ( x) 在 R 上为增函数.…………………1 分 20.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第,3 小题 5 分)

-5-

解:(1)由题意知函数 f ( x) ? x 2 - 2ax ? 1 的对称轴为 1,即 a ? 1 ………………3 分 (2)函数 f ( x) ? x 2 - 2ax ? 1 的图像的对称轴为直线 x ? a
y ? f ( x) 在区间[1,+∞)上为单调递增函数,

得, a ? 1 (3)函数图像开口向上,对称轴 x ? a , 当 a ? 0 时, x ? 1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 ? 2a 分

………………4 分

………………2

当 a ? 0 时, x ? -1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 ? 2a 分 当 a ? 0 时, x ? 1或 - 1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 分

………………2

………………1

21. (本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 解:(1)由初等函数性质知 f ( x) ?
x 1? x 1 1? x ( x ? 1) ? 1 1? x 1 1? x

在 [0,??) 上单调递减,………………1 分
1 1? x

而 xf ( x) ?

?

? 1? x ?

在 [0,??) 上单调递增,

所以 f ( x) ?

是 [0,??) 上的弱减函数………………2 分

(2)不等式化为 a ?

x a?4 在 x ? [1,3] 上恒成立 ? 2 1? x

………………1 分

? ? x ? ?a ? ? ? ? 1 ? x ? min ? 则? ,………………1 分 ?a ? 4 ? ? x ? ? ? ? 2 ? 1 ? x ? max ?

而y?

x 1? x

在 [1,3] 单调递增,所以 a ? [?1,
1 1? x

2 ] 2

………………2 分

(3)由题意知方程 1 ?

? k | x | 在 [0,3] 上有两个不同根

① 当 x ? 0 时,上式恒成立;………………2 分
-6-

② 当 x ? (0,3] 时,方程 1 ?

1 1? x

? k | x | 只有一解 ………………1 分

k?

1 1 1 1? x ?1 1 x 1 (1 ? )? ? ? ? ? 2 x x x 1 ? x ? ( 1 ? x ? 1) ( 1 ? x ) ? 1 ? x 1? x 1? x
令 t ? 1 ? x ,则 t ? (1,2] 方程化为 k ?
2

………………1 分 ……1

1 1 1 在 t ? (1,2] 上只有一解,所以 k ? [ , ) 6 2 t ?t



-7-


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