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1.2正弦、余弦定理的应用举例修改版


1.2正弦、余弦定理的应用举例

距离

高度

角度

学习目标:
? 1、理解正余弦定理在解决实际问题 (求距离、角度等)中的应用的各类 实例; ? 2、学会使用正余弦定理解决生活中 有关计算的问题及进行三角形中的有 关证明计算问题。

一、定理内容:
1、正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R(其中R为外接圆的半径) sin A sin B sin C

2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2、余弦定理:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

二、应 用:
求三角形中的某些元素 解三角形

几个概念:
? 仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角; ? 俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角; ? 方位角:北方向线顺时针方向到目标方 向线的夹角。
N

方位角 60度
目标方向线

视 线

仰角
水平线

俯角
视 线

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得

AB AC ? sin C sin B
AC sin C 55 sin C AB ? ? sin B sin B ? ? 55 sin 75 55 sin 75 ? ? ? 65.7(m) ? ? ? ? sin( 180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答:A、B两点间的距离约为65.7米。

例2.(由课本P13的例2改动) 为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1米长的基 线CD,并测得∠ACD=90o,∠BCD=60o,∠BDC=75o, ∠ADC=30o,求A、B两点的距离.

A

B

C

D

A
∠ACD=90o,∠BCD=60o, ∠BDC=75o,∠ADC=30o,

B

C
联系的三角形有△ABC和△ABD,利用其一可求AB。
略解:Rt △ACD中,AD=1/cos30o △BCD中,1/sin45=BD/sin60,可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。
( AB ? 30 ? 0.913) 6

分析:如图,在四边形ABCD中欲求AB长,只能去解三角形,与AB

D

当堂训练:1、一艘船以32.2n mile / h的速 度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏 东20o的方向,30min后航行到B处,在B处 看灯塔在船的北偏东65o的方向,已知距离 此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区 域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解:在?ASB中,?SBA = 115?, ?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile ) sin 45? sin 45? 设点S到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile ) 答:此船可以继续沿正北方向航行

? h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行

2、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°, 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水 平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC 60? 20? 的长(精确到0.01m). 分析:(1)什么是最大仰角?
最大角度

(2)例题中涉及一个怎样的 三角形? 在△ABC中已知什么, 要求什么?
C A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’, AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). ? 60 20? 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC.

解:由余弦定理,得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ? 1.95 ? 1.40 ? cos 66? 20? ? 3.571

最大角度

? BC ? 1.89( m)
答:顶杆BC约长1.89m。
A

C

B

解应用题的基本思路

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型
推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角仪 器的高是h.那么,在⊿ACD中, 根据正弦定理可得

a sin ? AC ? sin( ? ? ? )
a sin ? sin ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? )

例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α=54°40′,在塔底 C处测得A处的俯角β=50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m, 求出山高CD(精确到1m)

分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长
解:在⊿ABC中, ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理,

BC AB ? ? sin(? ? ? ) sin(90 ? ? )

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? ) 27.3 cos 50?1' sin 54? 40' ? sin(54? 40' ? 50?1' ) ? 177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

分析:要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件,可以 计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

解:在⊿ABC中, ∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.

根据正弦定理,

BC AB ? sin A sin C

AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。

课堂总结:
? 1、听懂正余弦定理在解实际问题中 距离和高度的应用实例; ? 2、解法(1)转化为解三角形问题; ? (2)明确条件; ? (3)选择适当公式; ? (4)准确计算。

已知⊿ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)? -c? ,求tanC的值。

在⊿ABC中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。

作业:P22 A组第一题,P28 A组第二题。


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