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高中数学人教A版选修2-1练习课件:2-1-2 求曲线的方程_图文

第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程 课标要求 1. 了解解析几何的基本思 学法指导 理解求曲线方程的实 想,了解用坐标法研究几何问题 质,求曲线的方程的关键在 的方法. 于把曲线上任一点所满足的 2. 掌握求曲线方程的一般步骤, 几何条件(或其坐标满足的条 并按一般步骤求曲线的方程. 3. 掌握求曲线方程的常用方法 ——直接法、代入法等. 件)转化为任一点的坐标满足 的等量关系,要注意方程中 量x(或y)的取值范围. 01课前自主学习 求曲线方程的一般步骤 (x,y) 表示曲线上任 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对______ 意一点M的坐标; M|p(M)} ; (2)写出适合条件p的点M的集合P={ ________ f(x,y)=0 ; 坐标 表示条件p(M),列出方程__________ (3)用______ (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 说明:(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,要首 先建立适当的坐标系,坐标系建立得当,可使运算过程简单, 所得的方程也较简单. (2)第五步的说明可以省略不写,如有特殊情况,可以适当 说明,如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通 过限定方程中x(或y)的取值予以剔除. (3)求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别, 轨迹通常指的是图形、曲线,而轨迹方程则是一个方程. 1. 为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”. 提示:只有建立了坐标系,才有点的坐标,才能把曲线代 数化,才能用代数法研究几何问题. 2. 质? 能否用曲线的方程具有的性质来得出其相应曲线的性 提示:可以.因为由曲线的方程,方程的曲线的定义可 知,曲线上的点的坐标都是方程的解,同时以方程的解为坐标 的点都在曲线上,故方程的解的性质就可以刻画曲线上点的坐 标的性质从而得出曲线的性质. 3. 与y轴的距离等于4的点的轨迹方程是什么? 提示:设点M(x,y),则由题意得|x-0|=4,化简得x=± 4. 此即为符合题意的点M的轨迹方程. 4. 等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1),C(0,-3),则另 一顶点A的轨迹方程是什么? 提示:另一顶点在线段BC的垂直平分线上,其方程为x+2y +1=0(y≠1). 02课堂合作探究 求曲线方程常见的方法 (1)直接法 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的 坐标为(x,y)后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如 两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式 等)变换成表示动点坐标(x,y)间的关系式(等式)的数学语言,从 而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法 求轨迹经常要联系平面图形的性质. (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设 出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方 法称为定义法.利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特 征. . (3)代入法 若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上 的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可把点Q的坐标用点P的坐标 表示出来,然后代入已知曲线C的方程F(x,y)=0,化简即得所 求轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做代入法(又称相关点法). (4)参数法 如果所求轨迹的动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,也没 有相关信息可用时,可先考虑将x、y用一个或几个参数来表 示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变 角、变斜率等为参数. 注意:(1)参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. (2)化简方程前后要注意等价性 No.1 例1 求曲线的方程 设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,过原点作圆的弦OA, 求OA中点B的轨迹方程. [思路分析] 设出点B的坐标,根据题意列出方程并化简, 但应注意x的取值范围. [完美作答] 解法一:(直接法)设B点坐标为(x,y),由题 意,得|OB|2+|BC|2=|OC|2,即x2+y2+[(x-1)2+y2]=1,即OA 12 2 1 中点B的轨迹方程为(x-2) +y =4(x≠0). 解法二:(几何法)设B点坐标为(x,y),由题意知CB⊥OA, 1 1 1 OC的中点记为M( 2 ,0),如右图,则|MB|= 2 |OC|= 2 ,∴B点在 1 1 12 以M( 2 ,0)为圆心, 2 为半径的圆上,故B点的轨迹方程为(x- 2 ) 1 +y =4(x≠0). 2 解法三:(代入法)设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x,y), ? x1 ?x= 2 , 由题意得 ? ?y=y1, 2 ? 2 2 ? ?x1=2x, 即? ? ?y1=2y. 2 又因为(x1-1)2+y 1 =1,所以 12 2 1 (2x-1) +(2y) =1,即(x-2) +y =4(x≠0). 解法四:(交轨法)设直线OA的方程为y=kx,当k=0时,B 1 为(1,0);当k≠0时,直线BC的方程为y=- k (x-1),直线OA、 BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程:y2+x(x-1)=0,即 1 2 2 1 1 2 2 1 (x- 2 ) +y = 4 (x≠0,1).显然B(1,0)满足(x- 2 ) +y = 4 ,故(x- 12 2 1 2) +y =4(x≠0)为所求. 在解题过程中,最容易出错的环节是轨迹方程中自变量的范围. [针对训练1] 过P(1,3)作两互相垂直的直线l1和l2,l1交x轴 于点A,l2与y轴交于点B,求线段AB中点M的轨迹方程. [解] 解法一:直接法 由平面几何知识可得P,O,A,B四点共圆,且AB中点M为 圆心,设M(x,y)是轨迹上任一点, 则|OM|=|PM|,故

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