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山东省济南市2012届高三5月模拟考试数学(理)

www.ycy.com.cn 山东省济南市 2012 届高三年级 5 月模拟考试

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数学(理)试题
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后将答题 卡交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在 答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶 带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:
? 样本数据 x 1, x 2, , x n 的方差 s ?
2

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为样本的平
2 2 2

均数; 锥体体积公式: V ?
1 3 Sh ,其中 S 为锥体底面的面积, h 为锥体的高;

圆锥的侧面积公式: S ? ? rl ,其中 r 是圆锥的底面半径, l 是圆锥的母线长; 圆柱的侧面积公式: S ? 2 ? rl ,其中 r 是圆柱的底面半径, l 是圆柱的母线长.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、若全集 U ? R,集合 A ? { x 2 x ? 3 ? 5} , B ? { x | y ? lo g 3 ( x ? 2 ) } ,则 C ( A ? B ) ?
U

A. ?x x ? ? 4 或 x ? 1? C. ?x x ? ? 2 或 x ? 1?

B. ?x x ? ? 4 或 x ? 1? D. ?x x ? ? 2 或 x ? 1?
?
2

2.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 A. a ? b B. | a | ? | b | C. a ? b

,那么下列结论中一定成立的是 D. a ? b

3. S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,则“ S n 是关于 n 的二次函数”是“数列 { a n } 为等差数列”的
1

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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数: ① f ( x ) ? sin x co s x ; ③ f ( x ) ? sin x ?
3 co s x ;

② f ( x ) ? 2 s in ( x ? ④ f (x) ?

?
4

);

2 sin 2 x ? 1 .

其中“同簇函数”的是( ) A.①② B.①④ 5.若双曲线 A. (1, 2 )
x a
2 2

C.②③

D.③④

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

与直线 y ?

3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围

B. (1, 2 ]

C. (1, 5 ) )

D. (1, 5 ]

6.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积等于( A. 4 B. 6 C. 8

D. 1 2

2 2 正视图 2 2 侧视图

俯视图

7.已知实数 x ? [0, 8] ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 5 4 的概率为( A.
1 4



B.

1 2

C.

3 4

D.

4 5

8. 函数 f(x)=log 2 |x|,g(x)=-x2+2,则 f(x) ·g(x)的图象只可能是( )

9.已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x ) ?
? ? (1, 2 ) ,则
b?3 a?2

1 3

x ?
3

1 2

a x ? 2 b x ( a , b ? R ) 的两个极值点,且 ? ? ( 0 , 1 ),
2

的取值范围是 B. ( ,1)
5 2

A. ( ? ? , )
5

2

C. (1, ? ? )

D. ( ? ? , ) ? (1, ? ? )
5

2

2

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2

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10.过抛物线 y ? 2 p x 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 ? A B C 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.不确定 11. 将 1,2,3,?,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每 一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图 中的位置时,填写空格的方法数为 A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 12. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 ( x ? 1) f ( x ) ? 0 , y ? f x( ? 且 1 )
'

D.钝角三角形



偶函数,当 x1 ? 1 ? x 2 ? 1 时,有 A. f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) C. f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) B. f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) D. f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. i 是虚数单位,在 1,2,3? 2 0 1 2 中有 14.已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,若 ?
2

个正整数 n 能使得 (1 ? i )

2n

? ? 2 ? i 成立;
n

1 ?1

f ( x)dx ? 2 f (a )
3

( a ? 0 ) 成立,则 a =________.
2 1 2

解析:因为?1 f(x)dx=?1 (3x +2x+1)dx=(x +x +x)|-1=4,所以 2(3a +2a+1)

2

?-1

?-1

1 =4?a=-1 或 a= . 3 答案: 1 3

15. 在 ? ABC 中,角

A.

B.C 所对的边为 a , b , c ,若 a , b , c 成等差数列,

则角 B 的范围是_____________ 16. 下列正确命题的序号是____________ (1)” m ? ? 2 ”是直线 ( m ? 2 ) x ? m y ? 1 ? 0 与直线 ( m ? 2 ) x ? ( m ? 2 ) y ? 3 ? 0 相互垂直的必要不 充分条件 (2) ? a ? R ,使得函数 y ? | x ? 1 | ? | x ? a | 是偶函数
1 2

(3)不等式:

?1 ≥

1 1 ? , 1 2

1 ? 1? 1 ?1 1? ? ?1 ? ? ≥ ?? ? ? 3 ? 3? 2 ?2 4?



1 ? 1 1? ? ?1 ? ? ? ≥ 4 ? 3 5?

1 ?1 1 1 ?? ? ? 3 ?2 4 6

? ? ,?, ?
3

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由此猜测第 n 个不等式为 (4)若二项式 ( x ?
2 x
2 2

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1 n ?1 (1 ? 1 3 ? 1 5 ? ?? 1 2n ? 1 )≥ 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ?? ) n 2 4 6 2n
?4

) 的展开式中所有项的系数之和为 2 4 3 ,则展开式中 x

的系数是 4 0

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的周期及单调增区间. 解: (1) ? 函数 f ( x ) ?
3 a sin x ? b cos( x ? 3 a sin x ? b cos( x ?

?
3

) 的图象经过点 (

?

,

1

), (

7? 6

, 0 ).

3 2

?
3

) 的图象经过点 (

?

,

1

), (

7? 6

, 0 ),

3 2

? 3 1 a?b ? ? 3? ? 2 2 ------3 分 ?? 3 3 ? ? a? ? 0 ? 2 2 ?

解得: a ? 1, b ? ? 1 ------6 分
?
3 3 2 1 2

(2)由(1)知: f ( 2 x ) ? 函数 f(x)的周期 T ? ?

3 sin 2 x ? cos( 2 x ?

)?

sin 2 x ?

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

)

(10 分)

π π π π 2π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤2x≤2kπ + 2 6 2 3 3 即函数的增区间 ? k ? ?
? ?

k∈Z.
(12 分)

?
6

,2 k ? ?

? ?
3? ?

k∈Z.

4

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18. (本题满分 12 分) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图) , 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 : 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为 1 2 . (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞 行员的同学中(人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公 斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

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18.解: (1)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p 1 , p 2 , p 3 ,则由条件可得:
p 2 ? 2 p1 ? ? p 3 ? 3 p1 解得 p 1 ? 0 . 125 , p 2 ? 0 . 25 , p 3 ? 0 . 375 ……4 分 ? ? p ? p ? p ? ( 0 . 037 ? 0 . 013 ) ? 5 ? 1 2 3 ? 1

又因为 p 2 ? 0 . 25 ?

12 n

,故 n ? 48

……………………………6 分
5 8

(2) 由 (1) 可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 p ? p 3 ? ( 0 . 037 ? 0 . 013 ) ? 5 ? 分 所以 x 服从二项分布, p ( x ? k ) ? C 3 ( ) ( )
k k

……8

5

3

3? k

8

8

?

随机变量 x 的分布列为:
x

0
27

1
135 512

2
225 512
125 512 15 8

3
125 512

p

512

则 Ex ? 0 ?

27 512

? 1? 5 8 ?

135 512

? 2?

225 512

? 3?

?

……………………12 分

(或: Ex ? 3 ?

15 8



5

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19、 (本题满分 12 分)

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在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中 , 侧 面 ACC 1 A1 ? 面 ABC
AA 1 ? 2 a , A1 C ? CA ? AB ? a , AB ? AC , D 为 AA 1中点 .



(1)求证: CD ? 面 ABB 1 A1 ; (2)在侧棱 BB 1 上确定一点 E ,使得二面角 E ? A1 C 1 ? A 的大 小为
?
3



19. (1)证:? 面 ACC 1 A1 ? 面 ABC , AB ? AC
? AB ? 面 ACC
1

A1 ,即有 AB ? CD ;

又 AC ? A1 C , D 为 AA 1 中点,则 CD ? AA 1
? CD ? 面 ABB 1 A1

……………………………4 分

CA CA (2) 如图所示以点 C 为坐标系原点, 为 x 轴, 1 为 z 轴,

建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则有

A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), A1 ( 0 , 0 , a ), B 1 ( 0 , a , a )

C 1 ( ? a , 0 , a ) ,设 E ( x , y , z ) ,且 BE ? ? BB 1 ,即有 ( x ? a , y ? a , z ) ? ? ( ? a , 0 , a ) ,

所以 E 点坐标为 (( 1 ? ? ) a , a , ? a ) .

……………………………7 分

由条件易得面 A1 C 1 A 地一个法向量为 n 1 ? ( 0 ,1, 0 ) …………….8 分 设平面 EA 1 C 1 地一个法向量为 n 2 ? ( x , y , z ) ,
? ? ? n 2 ? A1 C 1 ? ? ax ? 0 ? 由? 可得 ? ? n ? A1 E ? (1 ? ? ) ax ? ay ? ( ? ? 1) az ? 0 ?

令 y ? 1 ,则有 n 2 ? ( 0 ,1,

?

1 1? ?

),

…………………………………10 分

则 cos

?
3

?

n1 ? n 2 n1 n 2

? 1?

1 1 (1 ? ? )
2

?

1 2

,得 ? ? 1 ?

3 3

BE

所以,当
BB
1

?1?

3 3

时,二面角 E ? A1 C 1 ? A 的大小为

?
3

…………………12 分

6

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20. (本题满分 12 分)

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经市场调查, 某旅游城市在过去的一个月内 (以 30 天计)第 t 天 , (1≤t≤30, t∈N﹢) 的旅游人数 f ? t ? (万人)近似地满足 f ? t ? = 4 + ,而人均消费 g(t) (元)近似地满足 g(t)=120-|t-20|.
t 1

(1)求该城市的旅游日收益 w(t) (万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N﹢)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. (1)解: W ?t ? ? f ?t ? g ?t ? ? ? 4 ?
? ? 1? ? ?120 ? t ? 20 t?

? ???????????4 分

100 ? ?1 ? t ? 20 ? 401 ? 4 t ? ? ? t =? ?????????????6 分 140 ? 559 ? ? 4 t ? 20 ? t ? 30 ? ? t ?

(2)当 t ? ?1, 20 ? , 40 1 ? 4 t ?

100 t

? 401 ? 2
140 t

4t ?

100 t

? 441 (t=5 时取最小值)???9 分

30 当 t ? ? 20 ,, ? ,因为 W ?t ? ? 559 ?

? 4 t 递减,所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)

= 443

2 3

???11 分

所以 t ? ?1, 30 ? 时,W(t)的最小值为 441 万元???12 分

7

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21 . 已 知 直 线 l : y ? x ? 1 , 圆 O : x ? y
2 2

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? 3 2

, 直 线

l

被 圆 截 得 的 弦 长 与 椭 圆
3 2

C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的短轴长相等,椭圆的离心率 e ?

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M ( 0 , ?
1 3

)的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个

定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若存在,求出点 T 的坐标;若 不存在,请说明理由. 21.解: (Ⅰ)则由题设可知 b ? 1 , 2分 又e ?
3 2

a ?

2

3分

所以椭圆 C 的方程是

x

2

? y ? 1.
2

……4 分
1 3

2

(Ⅱ)解法一:假设存在点 T(u, v) 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y . 将它代入椭圆方程,并整理,得 (1 8 k 2
? 9 ) x ? 1 2 kx ? 1 6 ? 0
2

? kx ?





……5 分
12k ? , 2 ? x1 ? x 2 ? ? 18k ? 9 ? ?16 ?x x ? . 1 2 2 ? 18k ? 9 ?

设点

A.B 的坐标分别为 A ( x1 , y1 ),

B ( x2 , y2 )

,则

因为 T A

???

??? ? ( x1 ? u , y 1 ? v ), T B ? ( x 2 ? u , y 2 ? v )

及 y1

? k x1 ?

1 3

, y2 ? kx2 ?

1 3

,

所以 T A ?T B
2

??? ???

? ( x1 ? u )( x 2 ? u ) ? ( y 1 ? v )( y 2 ? v )
1 3 k ? k v )( x1 ? x 2 ) ? u ? v ?
2 2

? ( k ? 1) x1 x 2 ? ( u ?
2 2 2

2v 3

?

1 9

?

(6 u ? 6 v ? 6 ) k ? 4 k u ? (3 u ? 3 v ? 2 v ? 5 )
2 2

6k ? 2
2

……8 分 ……9 分

当且仅当 TA ? TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T,
? 6u ? 18v ? 18 ? 0, ? 所以 ? u ? 0 , 解得 u ? 0, v ? 1 . ? 2 2 ? 3u ? 3v ? 2 v ? 5 ? 0 .
2 2

此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1) .

……10 分
? y
2

当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x 2

? 1 也过点

T(0,1) .

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) ,满足条件. ……12 分

8

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解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆是 x 2
? x ? y ? 1, ?x ? 0 ? 由? 2 1 2 1 6 解得 ? . ?y ?1 ?x ? (y ? ) ? 3 9 ?
2 2

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? y
2

? 1.

? (y ?

1 3

) ?
2

16 9

.

……6 分

. ……7 分

由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1) . 事实上点 T(0,1)就是所求的点. 证明如下:

当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x 2 当直线 l 的斜率存在, 设直线方程为 y 分
? kx ? 1 3

? y

2

? 1 ,过点

T(0,1) ;

, 代入椭圆方程, 并整理, (1 8 k 2 得

? 9 ) x ? 1 2 kx ? 1 6 ? 0 .
2

8

设点

A.B 的坐标为

12k ? , 2 ? x1 ? x 2 ? ? 18k ? 9 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 ? ?16 ?x x ? . 1 2 2 ? 18k ? 9 ?

因为 T A

???

??? ? ( x1 , y 1 ? 1), T B ? ( x 2 , y 2 ? 1)



??? ??? 4 16 2 T A ?T A ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( y 1 ? y 2 ) ? 1 ? ( k ? 1) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9

18k ? 9 ??? ??? 所以 T A ? T B ,即以
2

?

?16k ? 16 ? 16k ? 32k ? 16
2 2 2

? 0.

AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1) . 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.

……11 分 ……12 分

9

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(22) (本小题满分 14 分)
2 k ? '

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设函数 f ( x ) ? x ? 2 ( ? 1) ln x ( k ? N ), f ( x ) 表示 f ( x ) 导函数。 (I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 k 为偶数时,数列{ a n }满足 a 1 ? 1, a n f ( a n ) ? a n ? 1 ? 3 .证明:数列{ a n }中
' 2 2

不存在成等差数列的三项; (Ⅲ)当 k 为奇数时, 设 b n ?
1

1 2

f ? ? n ? ? n ,数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,证明不等式

? 1 ? b n ? bn ? 1 ? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S 2 0 1 2 ? 1 与 ln 2 0 1 2 的大小.
解: (I)定义域为 ? x x ? 0 ? , f ( x ) ? 2 x ? 2 ( ? 1)
' k

1 x

当 k 为奇数时, f ( x ) ? 2 x ?
'

2 x

? 0 恒成立,

? f ( x )的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ? ? ). ? ? ? ? ? ? 2 分
2 x 2 ( x ? 1)
2

当 k 为偶数时, f ( x ) ? 2 x ?
'

?

?

2 ( x ? 1)( x ? 1) x

,

x

又 x ? (0, ? ? ) ,? x ? 0, x ? 1 ? 0 , 由 f (x) ? 0 , x ? 1 ,
'

? f ( x )的 单 调 递 增 区 间 为 (1, ? ? ). ? ? ? ? ? ? 4 分
2 x

(Ⅱ) 当 k 为偶数时, f ( x ) ? 2 x ?
'

, ? f (an ) ? 2an ?
'

2 an

' 2 由已知, a 1 ? 1, a n f ( a n ) ? a n ? 1 ? 3 ,? a n ( 2 a n ?

2 an
2

) ? a n ?1 ? 3
2

? 2 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 3 ,? 2 a n ? a n ? 1 ? 1 ,? 2 ( a n ? 1) ? a n ? 1 ? 1
2 2 2 2 2

? ? a n ? 1? 是以 2 为公比的等比数列.
2

? an ? 1 ? 2 ? 2
2 2

n ?1

,? a n ? 2 ? 1 . ? ? ? ? ? ? 6 分
2 n 2 2 2

数列{ a n }中假设存在三项 a m , a k , a n 成等差数列,不妨设 m ? k ? n , 则 2ak ? am ? an ,
2 2 2

又 am ? 2 ? 1 , ak ? 2 ? 1 , an ? 2 ? 1 ,
2 m 2 k 2 n

10

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? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ? 1 ? 2
k n m

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?1
? 2
n?m

?2

k ?1

? 2 ? 2 ,? 2
n m

k ?1? m

?1,

等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
? 假设不成立,数列{ a n }中不存在成等差数列的三项 ? ? ? ? ? ? 9 分
2

(Ⅲ) 当 k 为奇数时, f ( x ) ? 2 x ?
'

2 x 1 n

? bn ?

1 2

f (n) ? n ?
'

1 n

, Sn ? 1 ? 1 n

1 2 )

?
n ?1

1 3

?? ?

要证 ? 1 ? b n ? b 即证 ln (1 ? 设1 ?
1 n ? ln t ? 1 ? 1 t 1 n

1
n ?1

? e ,即证 (1 ?
1 n ?1

? e ,两边取对数,

)?

? ? ? ? ? ? 10 分
1 ( t ? 1) , 1 t ? 1( t ? 1) ,

? t ,则 n ?

t ?1

( t ? 1) ,构造函数 g ( t ) ? ln t ?
'

? x ? 1 ,? g ( t ) ?

1 t

?

1 t
2

? 0,

? g ( t ) 在 ( 1 , ? ) 上 单 调 递 增 ,g ( t ) ? g (1) ? 0 , +

即 ln t ? 1 ? ,? ln (1 ?
t S 2 0 1 2 ? 1 ? (1 ? ? ln (1 ? 1 n ? ln 2 ? ln ? ln ( 2 ? 3 2 ? 1 2 3 2 ? 4 3 ? 1 3 )? 1 2 1 n ?1 ? ln 4 3 ?? ? ? 1 3

1

1 n

)?

1 n ?1 1

,即 ? 1 ? b n ? b
1 2 1 2012 ? 1 3

1
n ?1

? e . ? ? ? ? ? ? 12 分
1 2012 1 2 ) ? ln (1 ? 1 3 ) ? ? ln (1 ? 1 2011 )

?? ? 1 2 ? 1 3

) ?1 ?

?? ?

2012 ?? ? 2012 2011 2012 2011 ) ? ln 2 0 1 2

,?

? ln 2 ? ln (1 ?

? ? ? ln

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1 2012

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