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北师大版数学必修五:《等比数列的应用》导学案(含答案)

第 8 课时 等比数列的应用 1.理解等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质. 2.能应用等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质解决相关的数列问题. 前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式等基本概念,理解了累 差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式 的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要. 问题 1:等比数列通项公式的性质 (1)对任意的 m,n∈N+,an=am· (2)若 m+n=p+q,则 ,q= . . ,特别地,若 m+n=2p,则 (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 . . (4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列,公比为 ②若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公比为 ③若{an}为等比数列,公比为 q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为 . . . ④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之 问题 2:等比数列的前 n 项和的简单性质 (1)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为 (q≠1). (2)当 q≠1 时,Sn=Aqn+B(其中 A+B= (3)Sn+m=Sm+qmSn(q 为公比). 问题 3:等比数列的判定方法 (1)定义法:若 (2)等比中项法:若 an≠0 且 (3)通项公式法:若 an=c· (4)前 n 项和公式法:若 Sn=k· qn+ 问题 4:等比数列的单调性 (1)当 a1>0,q>1 时,等比数列{an}是递 (2)当 a1<0,0<q<1 时,等比数列{an}是递 (3)当 a1>0,0<q<1 时,等比数列{an}是递 (4)当 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是递 (5)当 q<0 时,等比数列{an}是 ). =q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等比数列; = (n∈N+),则{an}是等比数列; (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N+),则{an}是等比数列; (k 为常数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. 数列; 数列; 数列; 数列; 数列;当 q=1 时,等比数列{an}是 数列. 1.数列 9,99,999,9999,…的前 n 项和等于( A.10n-1 B. ). D. (10n-1)+n ). -n C. (10n-1) 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比 q 等于( A.4 B.1 或 4 C.2 D.1 或 2 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=6,S4=30,则 S6= . 4.已知数列{an}的通项 an=2· 3n,求由其奇数项所组成的数列的前 n 项和 Sn. Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用 在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4. 等比数列的证明 数列{an}满足:a1=1,a2= ,an+2= an+1- an(n∈N+). (1)记 dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 数列单调性的判断 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14,且 a1,a3,a7 恰为等比数列{bn}的前三项. (1)分别求数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Kn,设 cn= ,求证:cn+1>cn(n∈N+). 在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n. 在{an}中,a1=1,an+1= ,试求数列{an}的通项 an. 已知函数 f(x)=-x2+7x,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数 y=f(x)的图像 上. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn 的最大值; (2)令 bn= ,其中 n∈N+,求{nbn}的前 n 项和 Tn. 1.在等比数列中,an>0 且 an+2=an+3an+1,则公比 q 等于( ). A. B. C.3 D.-3 ). 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 3.一个等比数列{an}共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1= . 4.一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公 比和项数. (2009 年· 辽宁卷)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 等于( ). A.2 B. C. D.3 考题变式(我来改编): 第 8 课时 知识体系梳理 问题 1:(1)qn-m 问题 2:(1)qm 问题 3:(1) 问题 4:(1)增 基础学习交流 1.B 由 (2)0 (2)an· an+2 (3)qn (4)-k (2)增 (3)减 (4)减 等比数列的应用 (2)am· an=ap· aq am · an= (3)qk (4)①q ②q2 ③q2 ④积 (5)摆动 常 题 意 得 an=10n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n= -n. 2.A 由 a2013=3S2012+2014 与 a2012=3S2011+2014 相减得,a2013-a2012=3a2012,即 q=4,故选 A. 3.126 在 等 比 数 列 {an} 中 ,S2 、 S4-

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