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全国通用2018高考数学大一轮复习第四篇平面向量第3节平面向量的数量积及平面向量的应用习题理


第3节

平面向量的数量积及平面向量的应用

【选题明细表】 知识点、方法 平面向量的数量积 平面向量的夹角与垂直 平面向量的模 平面向量数量积的综合问题 平面向量与其他知识的交汇 题号 4 1,3,9,14 2,8 7,10,11 5,6,12,13,15

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016·哈尔滨六中期中)已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ 等于 ( B ) (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 解析:由题意得 m+n=(2λ +3,3),m-n=(-1,-1), 因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=0? (2λ +3,3)·(-1,-1)=0, 所以λ =-3.故选 B. 2.(2016·长春外国语学校检测)设向量 a=(λ ,1),b=(λ +2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ 的 值为( C ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 解析:因为向量 a=(λ ,1),b=(λ +2,1), 所以 a+b=(2λ +2,2),a-b=(-2,0),于是由 |a+b|=|a-b| 可得 =2,解得λ =-1,

故选 C. 3.(2016·衡水中学调研)已知 a,b 是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则 a,b 的夹角为 ( C ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:因为(a+b)⊥a, 2 所以 a +a·b=0, 所以 a·b=-1, 所以|a||b|cos<a,b>=-1, 所以 cos <a,b>=- , 所以<a,b>=120°,故选 C. 4.(2016·兰州一中期中)设向量 a=(-1,2),b=(m,1),如果向量 a+2b 与 2a-b 平行,则 a 与 b 的数量积等于( D ) (A)(B)(C) (D)

解析:由已知可得 a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3), 因为 a+2b 与 2a-b 平行,

1

所以(-1+2m)×3-(-2-m)×4=0,解得 m=- .

即 b=(- ,1).

所以 a·b=-1×(- )+2×1= .故选 D. 5.(2016·遵义校级期末 ) 在△ ABC 中 ,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边 , 设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若 m⊥n,则角 A 的大小为( B ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为 m⊥n, 所以 m·n=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0, 2 2 2 化为 b -bc+c -a =0, 2 2 2 即 b +c -a =bc. 所以 cos A= 因为 A∈(0,π ), 所以 A= . = = .

6.(2016·广东实验中学测试)在△ABC 中,已知向量



满足(

+



=0 且

·

= ,则△ABC 为(

D )

(A)三边均不相等的三角形 (B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)等边三角形 解析:设∠BAC 的角平分线为 AD,则 所以△ABC 为等腰三角形. 又由 · = 得 cos∠BAC= , + =λ .由已知得 AD⊥BC,

所以∠BAC=60°, 所以△ABC 为等边三角形,故选 D.

2

7.已知点 G 为△ABC 的重心,∠A=120°,

·

=-2,则|

|的最小值是(

C )

(A)

(B)

(C) (D)

解析:设 BC 的中点为 M,则 又 M 为 BC 中点, 所以 = ( + ),

=

.

所以

=

= (

+

),

所以|

|=

.

又因为

·

=-2,∠A=120°,

所以|

||

|=4.

所以|

|=



= ,

当且仅当|

|=|

|时取“=”,

所以|

|的最小值为 ,故选 C. .

8.(2016·江西临川一中期中)设 a=(x,3),b=(2,-1),若 a⊥b,则|2a+b|= 解析:因为 a⊥b, 所以 2x-3=0,解得 x= ,

3

所以|2a+b|=

=5

.

答案:5 9.(2016·牡丹江一中月考)已知 P,Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一 象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为 ,Q 点的横坐标为 ,则 cos∠POQ= .

解析:由题意可得点 P 的坐标为( , ),点 Q 的坐标为( ,- ),则

=( , ),

=( ,- ),由

向量的夹角公式得 cos∠POQ=

=- .

答案:10. 导学号 18702229 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解:(1)由 a⊥b 得 a·b=0, 2 故 2x+3-x =0,解得 x=-1 或 x=3. (2)a-b=(-2x-2,2x), 因为 a∥b,所以 x(2x+3)+x=0, 解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a-b=(-2,0),|a-b|= 当 x=-2 时,a-b=(2,-4), |a-b|= =2 . =2.

综上,|a-b|为 2 或 2

.

11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角θ ; (2)求|a+b|; (3)若 =a, =b,求△ABC 的面积.

解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61, 2 2 所以 4|a| -4a·b-3|b| =61. 又|a|=4,|b|=3,

4

所以 64-4a·b-27=61, 所以 a·b=-6. 所以 cos θ = = =- .

又 0≤θ ≤π ,所以θ = . (2)|a+b| =(a+b) =|a| +2a·b+|b| 2 2 =4 +2×(-6)+3 =13, 所以|a+b|= .
2 2 2 2

(3)因为



的夹角θ = ,

所以∠ABC=π - = .

又|

|=|a|=4,|

|=|b|=3,

所以 S△ABC= |

||

|sin∠ABC

= ×4×3× =3

. 能力提升练(时间:15 分钟)

12.(2016·宁夏银川模拟)已知正三角形 ABC 的边长是 3,D 是 BC 上的点,BD=1,则 于( (A)B ) (B)(C)
2 2

·



(D)
2

解析:由余弦定理得 AD =3 +1 -2×3×1×cos 60°=7, 所以 AD= ,

所以 cos∠ADB=

=- ,

所以

·

=

×3×cos∠ADB=3

×(- )=- .故选 B.

5

13. 导学号 18702232 若 a,b,c 均为单位向量,a·b=- ,c=xa+yb(x, y∈R),则 x+y 的最大值是( D ) (A)1 (B) (C) (D)2

解析:因为 a·b=- ,c=xa+yb,

所以 c =(xa+yb) =(x +y )+2xy×(- )=x +y -xy=1, 所以(x+y) -3xy=1, 即(x+y) =3xy+1≤3×( 所以(x+y) ≤4, 所以|x+y|≤2,故选 D. 14.(2016·洛阳统考)已知 A(-1,cos θ ),B(sin θ ,1),若| + |
2 2 2

2

2

2

2

2

2

) +1,

2

=|

-

|(O 为坐标原点),则锐角θ =

.

解析:法一 利用几何意义求解:由已知可知

+

是以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OADB 的

对角线向量

,

-

则是对角线向量

,于是对角线相等的平行四边形为矩形.故 OA⊥OB.

因此

·

=0,所以锐角θ = .

法二

坐标法:

+

=(sin θ -1,cos θ +1),

-

=(-sin θ -1,

cos θ -1),由|

+

|=|

-

|可得(sin θ -1) +(cos

2

θ +1) =

2

(-sin θ -1) +(cos θ -1) ,整理得 sin θ =cos θ ,于是锐角θ = .

2

2

答案:

6

15. 导学号 18702234 在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(1,0)和点 B(-1,0),| |=1,且∠AOC=θ ,其中 O 为坐标原点.

(1)若θ = π ,设点 D 为线段 OA 上的动点,求|

+

|的最小值;

(2)若θ ∈[0, ],向量 m=

,n=(1-cos θ ,sin θ -2cos θ ),求 m·n 的最小值及对应的θ

值. 解:(1)设 D(t,0)(0≤t≤1), 由题意知 C(- , ),

所以

+

=(- +t, ),

所以|

+

|= -

2

t+t + =t -

2

2

t+1

=(t- ) + ,

2

所以当 t= 时,|

+

|最小,为 .

(2)由题意得 C(cos θ ,sin θ ),m=

=(cos θ +1,sin θ ),

则 m·n=1-cos θ +sin θ -2sin θ cos θ =1-cos 2θ -sin 2θ =1-

2

2

sin(2θ + ),

因为θ ∈[0, ],所以 ≤2θ + ≤ ,

所以当 2θ + = ,即θ = 时,

7

Sin(2θ + )取得最大值 1.

所以 m·n 的最小值为 1-

,此时θ = .

好题天天练 导学号 18702235 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且 m·n=- . (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 ,b=5,求角 B 的大小及向量 在 方向上的投影.

解:(1)由 m·n=- ,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- ,

所以 cos A=- ,因为 0<A<π ,

所以 sin A=

=

= .

(2)由正弦定理得

=

,

则 sin B=

=

= ,

因为 a>b,所以 A>B,则 B= ,由余弦定理得

(4

) =5 +c -2×5c×(- ),解得 c=1,

2

2

2

故向量



方向上的投影为

|

|cos B=ccos B=1× = .

8


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