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人教A版必修5高三年级复习“数列的实际应用”教学设计


人教 A 版必修 5 高三年级复习“数列的实际应用”教学设计
三溪中学数学组 一、内容和内容解析 必修 5 第二章《数列》这章中通过资产折旧、购房贷款、出租车计费、校校 通等问题注重了数列知识在解决实际问题中的应用,体现了数列的应用性。高三 第一轮复习时, 本节的教学内容是继续深化应用数列知识建立数学模型解决实际 生活中的问题。 以往数列的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形。本模 块中, 对数列内容的处理突出了函数思想、 数学模型思想以及离散与连续的关系。 数列是一种离散函数,它是一种重要数学模型。日常生活中遇到的许多问题,如 贷款、利率、折扣、人口的增长、放射性物质的衰变等都可以用等差数列和等比 数列来刻画。 普通高中《数学课程标准》要求在数列的教学中,应保证基本技能的训练, 引导学生通过必要的练习, 掌握数列中各量之间的基本关系,但训练要控制难度 和复杂程度。这体现了新《课标》在内容处理上的一个原则:删减烦琐的计算、 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。基于这样的原则,数列教学中要 改变传统的纸上演化题型,花样翻新地搞偏题、怪题的做法,注重应用,关注学 生对数列模型的本质的理解,以及运用数列模型解决实际问题的能力。 二、目标和目标解析 1、通过学生熟悉的数学实例和生活实例,进一步理解数列的有关定义、公 式,掌握建立数学模型(数列模型)解决数列实际应用问题的一般步骤与方法。 2、经历大量实例的解决,培养学生的归纳、猜想和推理能力以及应用函数 与方程、化归和转化等数学思想解决实际问题的能力。 3、 在展示数学实际问题和解决具体问题的过程中,体会数列在解决实际生活 问题中的作用,培养学生的创新意识,提高学生学习数学的兴趣,激发学生热爱 生活,并能用数学的观点和方法看待生活中存在的问题,能解决问题。 三、教学问题诊断分析 1、本节教学中涉及到的都是实际生活中的问题,实际问题的特点是语句冗 长、数据多、变量多数量关系隐蔽,问题提供的信息大都是“生活化”而非“数 学化”的。因此,学生对信息的感悟能力较差,对已知与所求之间的关系认识不 林爱武

明确。这里需要引导学生仔细阅读,认真审题,找到现实问题与数学知识点之间 的联系,找出量与量之间的关系,进行合理的转化与化归。另外,部分学生可能 会对题中的一些专用名词不理解,如“复利” “单利”等,教师要适时地给予解 释。 2、部分学生可能对前面等差数列、等比数列的有关知识点理解的不够准确 或掌握的不好, 那么在解决本节问题时会遇到障碍,对建立哪种数列模型时会存 在一些疑惑, 教师要适时地让学生复习与回顾,使学生对前面的知识点有更深的 认识。 3、解决实际问题时,需要建立数学模型(数列模型),学生可能对建立数 学模型的一般步骤认识得不明确。因此,要引导学生做到(1)审题:认真审题, 准确理解题意;(2)建模:把实际问题转化为数学语言,列出题意中的数量关 系;(3)求模:利用恰当的数学方法解决问题;(4)还原评价:对解出的结果 代入原问题中进行检验、评判。 因此, 如何引导学生将生活问题转化为数学问题,建立数列模型去解决是本 节课教学的难点。 四、教学支持条件分析 本节的教学应在复习了等差、等比数列,数列的求和及应用之后进行的。 本节教学过程涉及到大量的实际问题,有些问题的篇幅较长。为了有效地利 用课堂教学时间,给学生充分的思考时间,提高高三复习效率。课前就先将这些 问题打印成一张练习纸(如附件一),提前分发给每一位学生,以便学生利用课 余时间完成其中的“课前热身”练习。此外,理想的教学应该是在现代信息技术 的支持下完成的。教学之前,将这些实际问题、建模的一般步骤及涉及到的数列 的知识点做成幻灯片。 为了规范学生的解题过程,可将部分问题解题过程做成幻 灯片,辅助教学。 五、 教学过程设计

(一)复习引入,构建知识点 教师:现实生活中银行利率、资产折旧、购房贷款、出租车计费、产品利 润、人口增长等实际问题,通常用数列知识加以解决. 设计意图:点题,并指出数列在解决某些生活问题中的应用。 用计算机的幻灯片给出如下问题,并让学生填空完成。

1、常见数列模型: (1).复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,存 期为 n,则本利和为 (2)产值模型: 原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,对于时间 n 的总产值为 (3).单利公式: 利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利和为 2、 建立数学模型的一般方法步骤: (1) (2) (3) 。 y=a(1+nr) (4) . ; y=N(1+p) n ;y=a(1+r)n

(1)审题 (2)建模 (3)求模 (4)还原评价 3、课前热身练习 (见附件一) 评讲 教师对其中学生有疑惑的问题给予指导。 设计意图: 复习旧知引起新知, 使学生从知识点上与解题方法上对本节课有了整 体上的了解,为接下来利用数列模型解决问题铺平了道路。 (二) 、共同探究,整合知识点 1. 等差数列模型 例 1.为了参加 2008 年北京奥运会 5000m 长跑比赛,某运动员给自己制定 了 7 天的训练计划:第 1 天跑 5000m,以后每天比前一天多跑 500m。这个运动员 7 天一共将跑多长的距离? 问题:这个运动员第 1 天跑 5000m,第二天,第三天等分别跑了多少米? 可用什么符号表示每天跑的距离?7 天共跑的距离与每天跑的距离有什么关系? 师生活动:学生将前几天跑的距离写出来,并用 an(n=1,2,…7)表示。引导 学生根据等差数列的定义,判断{an}是等差数列,并用等差数列求和公式解决此 问题,写出解题过程。 设计意图:培养学生认真分析题意,建构等差数列模型,学会用等差数列模型解 决实际问题。 2. 等比数列模型 例 2.某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车,有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车?

(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3? 问题 1:从 2009 年投入 128 辆电力型公交车起,2010 年,2011 年等分别投 入多少辆电力型公交车?可用什么符号表示每年投入车的数量? 问题 2:从 2009 年投入电力型公交车起到第 n 年总投入的电力型公交车数 量是多少?和该市公交车总量的 1/3 有什么关系? 师生活动:引导学生将每年投入的电力型公交车数量用 an(n=1,2, …)表示,由 等比数列的定义知{an}是等比数列,建立等比数列模型,再由等比数列求和公式 解决。 设计意图:培养学生认真分析题意,建构等比数列模型解决有关增长率的问题, 同时培养学生分析问题和解决问题的能力。 3. 等差、等比数列综合问题模型 例 3. 在一次人才招聘上,有 A,B 两家公司分别开出他们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资数为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元; B 公司允诺第一年月工资数为 2000 元,以后每年月工资在上一年月工资基 础上递增 5%,设某人年初被 A,B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入 分别是多少? (2) 该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标 准(不记其他因素) ,该人应该选择哪家公司,为什么? 问题 1: A 公司, B 公司每年月工资分别成什么数列?如何用数学符号表示? 问题 2: 如何计算 10 年的工资收入总量?两家公司的工资收入总量有什么关系? 师生活动: 经过例 1, 例 2 的学习, 学生可以将 A 公司每年的月工资用首项为 1500, 公差为 230 的等差数列{an}表示,将 B 公司每年的月工资用首项为 2000,公比 1.05 的等比数列{bn}表示。并利用数列求和公式分别计算两家公司 10 年的工资 收入总量 S10、T10,比较 S10、T10 的大小,用比较的结果回答本例题,作出评价。 设计意图:取材于工资收入问题,反映社会经济生活,突出数学在解决问题中的 价值.激发学生的学习兴趣,培养学生阅读理解能力,建立数学模型,将时间问 题转化为数学问题并加以解决。 4.递推数列模型

例 4.某地区原有森林木材存量为 a,且每年增长率为 25%,因生产建设的 需要每年年底要砍伐的木材量为 b,设 an 为 n 年后该地区森林木材存量。 (1)求 an 的表达式; (2) 为保护生态环境, 防止水土流失, 该地区每年的森林木材存量不少于 7/9a, 如果 b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需经过几年? 问题 1:分别写出第 1 年后,第 2 年后,第 3 年后的木材存量 a1,a2,a3, 观察有什么规律?并猜想 an 与 an-1 之间有何关系?如何求出 an? 问题 2:如何将(2)转化为数学问题?用什么数学式子表示该问题? 师生活动:学生仔细阅读,认真审题,找到现实问题与数学知识点之间的联 系,找出量与量之间的关系 an=1.25*an-1-b,引导学生通过建立递推关系式,构 造等比数列,行合理的转化与化归。 设计意图:培养学生归纳、猜想能力和转化与化归能力,同时培养学生学会构造 数列递推关系模型, 解决实际问题。使学生应用数列模型解决问题的能力进一步 提高。 (三) 、课堂练习,熟练知识点 练习:某下岗职工准备开办一个商店,要向银行贷款若干,这笔贷款按复利 计算(即本年利息计入下一年的本金生息),利率为 q(0<q<1).据他估算,贷款 后每年可偿还 A 元,30 年后还清. (1)求贷款金额; (2)若贷款后前 7 年暂不偿还,从第 8 年开始,每年偿还 A 元,仍然在贷款后 30 年还清,试问:这样一来,贷款金额比原贷款金额要少多少元? 设计意图:拓宽学生的知识面,培养学生热爱生活,形成用数学的意识。从数学 角度看,本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题,弄清题意,解决问 题的关键在于理解复利的概念及其运算。对学生熟练数列知识,建立模型解决实 际问题有极大的帮助。 (四) 、反思提炼,巩固知识点 问题: 本节课中我们探究了哪些数列模型解决实际问题?建立数学模型应 注意什么问题?你在哪些方面有了提高? 师生活动: (1)建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列模型,还

是递推数列模型; (2)解应用题时,应认真审题,弄清题意,把文字语言转化为数学符号语言, 准确地建立数学模型,这是解题的关键; (3)对解出的结果代入原问题中进行检验、评判; (4)学会应用函数与方程、化归与转化等数学思想方法解决数列综合问题。 设计意图:将本节的主要内容以问题的形式呈现,让学生通过思考和回答问题, 既评价了学生对本节内容的理解程度,又达到了回顾和小结的目的。 六、目标检测设计 1、200 根相同的钢管(圆柱形) ,把它们堆成一个尽可能大的三角形垛,剩 余的钢管要尽可能少, 再将剩余的钢管堆成一个小三角形垛,能否做到没有 结余?试说明理由. 2、一个球从 a 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半后再 落下,问当它第 5 次着地时,共经过多少米? 3、某市 1995 年底人口为 500 万,人均居住面积为 10 平方米,如果该城市 每年人口平均增长率为 1%,每年平均新增住房面积为 50 万平方米,到 2005 年 底该城市人均住房面积是多少平方米?增加了?还是减少了?说明了什么问 题?(精确到 0.01 平方米) 4、轻纺城的一家私营企业主,一月初向银行贷款一万元作开店资金,每月 月底获得的利润是该月月初投入资金的 20% ,每月月底需要交纳房租和所得税 为该月所得金额(包括利润)的 10% ,每月的生活费开支 300 元,余款作为资金 全部投入再经营,如此继续,问该年年底,该私营企业主有现款多少元?如果银 行贷款的年利率为 5% ,问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元? 设计意图: 第 1 题建立等差数列模型进行解决,第 2 题建立等比数列模型进行 解决,第 3 题建立等差、等比数列综合问题模型进行解决,第 4 题建立递推数列 模型进行解决。 练习与本节课的教学内容相配套,用本节学到的知识点与方法解 决上述练习,极大地巩固本节课的教学成果。 【问题研讨】 在本节课的设计过程中,本人在以下几个方面存在一些疑惑: 1、新课程教学中高三第一轮复习应采用怎样的模式组织课堂教学, 最有效。 2、如何设置课堂问题的提问,引导学生积极有效地思考。

【参考资料】 数学课程标准研制组:《数学课程标准(实验)解读》,江苏教育出版社 2005 年 7 月版。 浙江省教育厅教研室编印:《课前培训资料汇编数学高一下》,2007 年 1 月 人民教育出版社编著:《数学必修 5》,2006 年 9 月 附件一
一、课 前 热 身 1.某种细胞开始有 2 个, 1 小时后分裂成 4 个, 2 小时后分裂成 8 个, 3 小时后分裂成 16 个…, 按此规律,6 小时后细胞的个数是( D) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2KB,工作时 3 分钟自身复制一次(即复 制后所占内存是原来的 2 倍) , 那么, 开机后____45___分钟, 该病毒占据 64MB (1MB=210KB) 3.某产品的成本每年降低 q%,若三年后成本是 a 元,则现在的成本是( C ) (A)a(1+q%)3 元 (B)a(1-q%)3 元 -3 (C)a(1-q%) 元 (D)a(1+q%)-3 元 4.某人到银行存了 10000 元,利息按单利计算,年利率为 5%,则他在 10 年后的为 15000 元 二、例题分析 例 1.一梯形的上、下底长分别是 12cm,22cm,若将梯形的一腰 10 等分,过每一个分点作平 行于底边的直线,求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 例 2.某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车,有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公 交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3? 例 3. 在一次人才招聘上,有 A,B 两家公司分别开出他们的工资标准:A 公司允诺第一年月 工资数为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元; B 公司允诺第一年月工资 数为 2000 元,以后每年月工资在上一年月工资基础上递增 5%,设某人年初被 A,B 两家公 司同时录取,试问: (1) 若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年, 则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不记其 他因素) ,该人应该选择哪家公司,为什么? 例 4.某地区原有森林木材存量为 a,且每年增长率为 25%,因生产建设的需要每年年底要砍 伐的木材量为 b 设 an 为 n 年后该地区森林木材存量。 (1)求 an 的 表达式; (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于 7/9a, 如果 b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需经过几年? 练习:某下岗职工准备开办一个商店,要向银行贷款若干,这笔贷款按复利计算(即本年利 息计入下一年的本金生息),利率为 q(0<q<1).据他估算,贷款后每年可偿还 A 元,30 年 后还清. ①求贷款金额; ②若贷款后前 7 年暂不偿还,从第 8 年开始,每年偿还 A 元,仍然在贷款后 30 年还清,试 问:这样一来,贷款金额比原贷款金额要少多少元?


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