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高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)


第二章函数(奇偶性)
1.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx( A.奇函数
1 ,b=0 3

) )

B.偶函数
2

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

2.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ? B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0

D.a=3,b=0

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是 ( ) A.y=x(x-2) x|-2) 4.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 5.函数 f ( x) ? A.偶函数 (-∞,0)上有( A.最小值-5 7.函数 f ( x) ? B.-18 C.-10 ) C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 D.10 ) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|

? x ?1 是( 1? x2 ? x ?1
B.奇函数 )

1? x2

6.若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在 B.最大值-5 C.最小值-1 . D.最大值-3

x?2 ?2 1? x2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数)

8.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?
x ?1 1

,则 f(x)的解析式为_______.

10.已知函数 f(x)为偶函数,且其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和为 ________. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求 实数 m 的取值范围. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0,试 证 f(x)是偶函数.

13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上的表达式.

14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减, 试判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.

15.设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) ,

求证 f(x)是偶函数.

函数的奇偶性练习参考答案 1. 解析: f (x) =ax2+bx+c 为偶函数,? ( x) ? x 为奇函数, ∴g (x) =ax3+bx2+cx=f (x) ·? ( x) 满足奇函数的条件. 答案:A 2.解析:由 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.又
1 .故选 A. 3

定义域为[a-1,2a] ,∴a-1=2a,∴ a ?

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x2

? x( x ? 2) +2x)=-x2-2x=x(-x-2) .∴ f ( x) ? ? ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2)答案:D 4.解 ( x ? 0),
答案:B 6.解析:

析:f(x)+8=x5+ax3+bx 为奇函数,f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.答 案:A 5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式 f(-x)+f(x)=0. 值 5,

? ( x) 、g(x)为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.又 f(x)在(0,+∞)上有最大
∴f(x)-2 有最大值 3.∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(- ∞,0)上有最小值-1.答案:C7.答案:奇函数 8.答案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x2+ 2mx+3 为偶函数,∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+ 3,整理,得 m=0.9.解析:由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,可得 f ( x) ? g ( x) ? 联立 f ( x) ? g ( x) ? 11.答案: m ?
x ?1 1 1 , ? x ?1

,∴ f ( x) ?

1 1 1 1 1 ( ? )? 2 .答案: f ( x ) ? 2 10.答案:0 2 x ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1

1 12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) ,又 f(0)≠0,∴ 2。

可证 f(0)=1.令 x=0,∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为偶 函数.13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数, ∴f(0)=0.当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,∴f(x)
?x 3 ? =x3-2x2+1.因此, f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x ? 1
2

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2 。

≥-5. 因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f (x1)>f(x2) ,即单调减函数.15.解析:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可 证, f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0. 又令 x1=x2=-1,∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0,∴ (-1)=0.又令 x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x) 为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1= x2=0 等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.


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