当前位置:首页 >> 数学 >> 专题二十七立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质

专题二十七立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质


必修二 立体几何(3) 直线、平面垂直的判定与性质
一、知识梳理: 1.直线与平面的垂直: (1)定义:若直线与平面内所有的直线垂直 ? 直线⊥平面 (2)直线和平面垂直的判定定理;直线⊥交线 ? 直线⊥平面 (3)直线和平面垂直的性质定理:两直线⊥同一平面 直线∥直线 直线⊥平面 ? 直线⊥平面内任一直线 过一点做直线和平面垂直:过一点有且只有一个平面和已知直线垂直;过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2.平面与平面的垂直: (1)定义:若两个半平面所成的角为直二面角 ? 平面⊥平面 (2)平面和平面垂直的判定定理;若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直 ? 平面⊥平面 (3)平面和平面垂直的性质定理:平面⊥平面 一平面内垂直于两个平面交线的直线⊥另一平面 二、典型例题: 例 1.设 α,β 分别为两个不同的平面,直线 l?α ,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例 2.在如图所示的四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是( )
B B

例4图

例 3.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.( ) 例5图 A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 例 4.如图,在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 的内部 例 5.如图,在三棱锥 DABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论正确 的是( ) A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 例6图 ADC⊥平面 BDE 例 6. 如图, ∠BAC=90°, PC⊥平面 ABC, 则在△ABC, △PAC 的边所在的直线中, 与 PC 垂直的直线有________; 与 AP 垂直的直线有________. 例 7. 设 α, β 是空间中两个不同的平面, m, n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线. 从“①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的 一个命题:________(填序号). 例 8.如图,PA 垂直于圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分 别是点 A 在 PB,PC 上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥ 平面 PBC.其中正确结论的序号为________. 三、巩固练习: 例8图 1.已知 a、 b 为直线, ?,?,? 为平面,有下列四个命题,其中正确命题的个数是 ( ) ① a // ?,b // ?,则a // b ② ? ? ?,? ? ?,则? // ? D.3 ( D.1 个 ) ③ a // ?,a // ?,则? // ? ④ a // b,b ? ?,则a // ? A.0 B.1 C.2 2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 A.4 个 B.2 个 C.3 个

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3, 6 ,这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上,这个 球的表面积是 ( ) A.12π B. 18π C.36π D. 6π
专题二十七 立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质 第- 1 -页

4.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高 作截面,正确的截面图形是 ( )

B C D 5.三棱锥 A-BCD 中,AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 6.已知三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若 x+y=4,则已知三棱锥 O-ABC 体积的最大值是 ( )
A.1 B.

A

1 3

C.

2 3

D.

3 3
( )

7.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 A.

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

8.如图①所示一个正三棱柱形容器,高为 2a, 内装水若干,将容器放倒使一个侧面成为底面, 这时水面恰为中截面,如图②,则未放倒前的 水面高度为_ __.

9.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC , E 是 PC 的中点. (1)证明 PA // 平面 EDB; (2)求证:平面 BDE⊥平面 PBC.





P E C D A B

专题二十七

立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质

第- 2 -页

10.在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB= (1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC.

1 DC, E为PD中点 . 2
D A E B P C

11.如图,在三棱锥 PABC 中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D 为 AC 的中点,AB⊥PD. (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABC; (2)如果三棱锥 PBCD 的体积为 3,求 PA.

专题二十七

立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质

第- 3 -页

12.如图(1),在平面四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=135°,∠C=60°,AB=AD,M,N 分别是边 AD, CD 上的点,且 2AM=MD,2CN=ND.如图(1),将△ABD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,并 连接 AC,MN(如图(2)). (1)证明:MN∥平面 ABC; (2)证明:AD⊥BC; (3)若 BC=1,求三棱锥 ABCD 的体积.

专题二十七 立体几何(3)教师版 直线、平面垂直的判定与性质二、典型例题:
例 1. 设 α, β 分别为两个不同的平面, 直线 l?α , 则“l⊥β”是“α⊥β” 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.依题意,由 l⊥β,l?α可以推出 α⊥β;反过来,由 α⊥β,l?α不能推出 l⊥β.因此“l⊥β”是 “α⊥β”成立的充分不必要条件. 例 2.在如图所示的四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是( )

解析:选 A.A 中,∵CD⊥平面 AMB,∴CD⊥AB;B 中,AB 与 CD 成 60°角;C 中,AB 与 CD 成 45°角; D 中,AB 与 CD 夹角的正切值为 2. 例 3.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.( ) A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 解析:选 C.A 中,由 m⊥n,n∥α可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m?α,错误; B 中,由 m∥β,β⊥α可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m?α,错误; C 中,由 m⊥β,n⊥β可得 m∥n,又 n⊥α,所以 m⊥α,正确; D 中,由 m⊥n,n⊥β,β⊥α可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m?α,错误. 例 4.如图,在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 的内部 解析:选 A.连接 AC1(图略),∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面 ABC1.又 AC?平面 ABC, ∴平面 ABC1⊥平面 ABC,∴点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上,故选 A. 例 5.如图,在三棱锥 DABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论正确的是( ) A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:选 C.要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面 垂直.因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在 平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ADC,所以平面 ADC⊥平面 BDE. 例 6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的直线中,与 PC 垂直的直线有________;与 AP 垂直的直线有________. 解析:∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC. ∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥AP,与 AP 垂直的直线是 AB.答案:AB,BC,AC AB 例 7. 设 α, β 是空间中两个不同的平面, m, n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线. 从“①m⊥n; ②α⊥β; ③n⊥β; ④m⊥α”中选取三个作为条件, 余下一个作为结论, 写出你认为正确的一个命题____(填序号). 解析:因为当 n⊥β,m⊥α时,平面 α 及 β 所成的二面角与直线 m,n 所成的角相等或互补,所以若 m⊥n,则 α⊥β,从而由①③④?②正确;同理②③④?①也正确.答案:①③④?②(或②③④?①) 例 8. 如图,PA 垂直于圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB, PC 上的射影, 给出下列结论: ①AF⊥PB; ②EF⊥PB; ③AF⊥BC; ④AE⊥ 平面 PBC.其中正确结论的序号为________. 解析:因为 PA 垂直于圆 O 所在的平面,所以 PA⊥平面 ABC,即 PA⊥BC,又因为 AB 是 圆 O 的直径,所以 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 PAC,又 AF?平面 PAC,所以 AF⊥BC,又 AF⊥PC,所以 AF⊥平面 PBC,所以 AF⊥PB.又因为 AE⊥PB,所以 PB⊥平面 AEF,即
专题二十七 立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质 第- 4 -页

PB⊥EF.答案:①②③ 三、巩固练习: 1.已知 a、 b 为直线, ?,?,? 为平面,有下列四个命题,其中正确命题的个数是





① a // ?,b // ?,则a // b ② ? ? ?,? ? ?,则? // ? ③ a // ?,a // ?,则? // ? ④ a // b,b ? ?,则a // ? A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 第④要注意直线可能在平面内. 2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( )A.4 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3, 6 ,这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上,这个 球的表面积是 ( A )A.12π B. 18π C.36π D. 6π 答案:D.先计算出三条棱的长度分别为 3, 2 ,1 .所以体对角线长为 6 .所以外接球的直径为 6 ,算出表面积 为 6π . 4.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高 作截面,正确的截面图形是 ( B )

B C D 5.三棱锥 A-BCD 中,AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 是 ( B ) A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 6.已知三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若 x+y=4,则已知三棱锥 O-ABC
体积的最大值是 ( )A.1
2

A

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 3

1 1?x? y? 2 答案:C.体积为 xy ? ? ? ? . 6 6? 2 ? 3
7.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于( )A. 答案:D.提示:设底面直径为 d,则侧面积为π d =S,所以 d= 8.如图①所示一个正三棱柱形容器,高为 2a, 内装水若干,将容器放倒使一个侧面成为底面, 这时水面恰为中截面,如图②,则未放倒前的 水面高度为_ __. 答案:
2

S S S S S S S B. S D. C. 2 4 2 ? 4 ?

S

?

.

3 3 a .提示:设底面积为 S,水的高度为 h.由 Sh= S ? 2a 解出 h 即可. 4 2 9.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC , E 是 PC 的中点. (1)证明 PA // 平面 EDB;
(2)求证:平面 BDE⊥平面 PBC.


P E C



B

(1)证明:连接 AC,设 AC 与 BD 交点为 O,连接 OE,在三角形 ECA 中,OE 是三角形 ECA 的中位线.所以 PA∥OE,面 PA D A 不在平面 EDB 内,所以有 PA∥平面 EDB. (2)证明:因为 PD ? 底面 ABCD,所以 CB⊥PD,又 BC⊥DC,所以 BC⊥平面 PDC,所以 DE⊥BC.在三角形 PDC 中,PD=DC,E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC,因此有 DE⊥平面 PCB,因为 DE ? 平面 DEB,所以平面 BDE⊥平面 PBC. 10.在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB= (1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC. D
专题二十七 立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质 第- 5 -页

1 DC, E为PD中点 . 2

A

(1)证明:取 PC 的中点 M,连接 EM,则 EM∥CD,EM=

1 DC,所以有 EM∥AB 且 EM=AB,则四边形 ABME 是平行四边形.所 2

以 AE∥BM,因为 AE 不在平面 PBC 内,所以 AE∥平面 PBC. (2) 因为 AB⊥平面 PBC,AB∥CD,所以 CD⊥平面 PBC,CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以 BM⊥平面 PDC,又 AE∥BM, 所以 AE⊥平面 PDC. 11.如图,在三棱锥 PABC 中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D 为 AC 的中点,AB⊥PD. (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABC; (2)如果三棱锥 PBCD 的体积为 3,求 PA. 解:(1)证明:取 AB 中点为 O,连接 OD,OP. 因为 PA=PB,所以 AB⊥OP. 又 AB⊥PD,OP∩PD=P, 所以 AB⊥平面 POD, 因为 OD?平面 POD,所以 AB⊥OD. 由已知,BC⊥PB,又 OD∥BC,所以 OD⊥PB, 因为 AB∩PB=B,所以 OD⊥平面 PAB. 又 OD?平面 ABC,所以平面 PAB⊥平面 ABC. (2)由(1)知,OP⊥平面 ABC. 设 PA=a,因为 D 为 AC 的中点, 1 1 1 1 3 3 所以 VP?BCD= VP?ABC= × × a2× a= a3, 2 2 3 2 2 24 3 由 a3=3,解得 a=2 3,即 PA=2 3. 24 12.如图(1),在平面四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=135°,∠C=60°,AB=AD,M,N 分别是边 AD, CD 上的点,且 2AM=MD,2CN=ND.如图(1),将△ABD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,并 连接 AC,MN(如图(2)). (1)证明:MN∥平面 ABC; (2)证明:AD⊥BC; (3)若 BC=1,求三棱锥 ABCD 的体积. 解:(1)证明:在△ACD 中, ∵2AM=MD,2CN=ND,∴MN∥AC, 又 MN?平面 ABC,AC?平面 ABC,∴MN∥平面 ABC. (2)证明:在△ABD 中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°, ∵在平面四边形 ABCD 中,∠ABC=135°,∴BC⊥BD. 又平面 ABD⊥平面 BCD,且 BC?平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,∴BC⊥平面 ABD, 又 AD?平面 ABD,∴AD⊥BC. (3)在△BCD 中,∵BC=1,∠CBD=90°,∠BCD=60°,∴BD= 3. 6 1 3 又在△ABD 中,∠BAD=90°,AB=AD,∴AB=AD= .∴S△ABD= AB×AD= , 2 2 4 1 3 1 由(2)知 BC⊥平面 ABD,∴VA?BCD=VC?ABD= × ×1= . 3 4 4

专题二十七

立体几何(3)直线、平面垂直的判定与性质

第- 6 -页


更多相关文档:

专题03 立体几何 直线、平面垂直的判定与性质易错点.doc

专题03 立体几何 直线平面垂直的判定与性质易错点_高一数学_数学_高中教育_...(1)求证:DE∥ 平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在...

...第七章立体几何第3讲直线平面垂直的判定与性质课件....ppt

2019届高考数学复习第七章立体几何3讲直线平面垂直的判定与性质课件文 - 1.直线与平面垂直 任意一条 (1)直线和平面垂直的定义:直线 l 与平面 α 内的___...

...复习专题03立体几何直线、平面垂直的判定与性质考点....doc

2016年高考数学复习专题03立体几何直线平面垂直的判定与性质考点剖析 - 直线平面垂直的判定与性质 主标题 :直线平面垂直的判定与性质 副标题 :为学生详细的...

...复习专题03立体几何直线、平面垂直的判定与性质备考....doc

2016年高考数学复习专题03立体几何直线平面垂直的判定与性质备考策略 - 直线平面垂直的判定与性质备考策略 主标题:平面垂直的判定与性质备考策略 副标题:通过考点...

高中立体几何 直线、平面垂直的判定与性质_图文.ppt

高中立体几何 直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。栏目索引 ...? ? 2? . 栏目索引 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的? ...

《立体几何》课题:直线、平面垂直的判定及其性质(一)(1....doc

立体几何》课题:直线平面垂直的判定及其性质()(1课时) - 高三数学学案 第 14 周第 05 次 课题:线面垂直的判定及其性质()(1 课时 总 069 课时) ...

立体几何 直线与平面垂直的判定与性质.doc

立体几何 直线与平面垂直的判定与性质 - 直线与平面垂直的判定与性质 一、知识点梳理 1. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与α 内任何直线都垂直?a...

直线与平面垂直的判定定理与性质定理_图文.ppt

直线与平面垂直的判定定理与性质定理 - 第七章 立体几何 第 5讲 直线平面垂直的判定与性质 1.直线与平...

考点5 直线、平面垂直的判定与性质(解析版).doc

2010-2015 年高考真题汇编 专题 8 立体几何 考点 5 直线平面垂直的判定与性质 1.(2015 年广东 18,14 分)如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD ...

高中数学 《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》教学案.doc

高中数学 《2.3直线平面垂直的判定及其性质》教学案_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1直线与平面垂直的判定》教学案自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理...

高考数学直线、平面垂直的判定与性质一轮复习_图文.ppt

第 5节 直线平面垂直的判定与性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理

...立体几何与空间向量8.5直线平面垂直的判定与性质教....doc

2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.5直线平面垂直的判定与性质教师用书理新人 - 第八章 立体几何与空间向量 8.5 直线平面垂直的判定与性质教师 ...

...立体几何专题29直线、平面平行与垂直的判定与性质考....doc

2018年高考数学第八章立体几何专题29直线平面平行与垂直的判定与性质考场高招大全 - 专题 29 直线平面平行与垂直的判定与性质 考场高招 1 平面性质的三大应用...

...复习第7章立体几何7.5直线、平面垂直的判定与性质课....ppt

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质课件理 - 第7章 立体几何 7. 5 直线平面垂直的判定与性质 基础知识过关 [知识梳理] 1....

2.3直线与平面垂直的判断与性质.doc

2.3直线与平面垂直的判断与性质 - 数学专题复习 1 §1.2 直线平面垂直的判定与性质 学习目标 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和...

...立体几何 3 第3讲 直线、平面垂直的判定与性质_图文....ppt

第七章 立体几何3讲 直线、平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直 任意一条 (1)直线和平面垂直的定义:直线 l 与平面 α 内的___ 直线都垂直,就说直线...

...第七章立体几何7.5直线、平面垂直的判定与性质课件....ppt

高考数学一轮复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质课件理 - 第七章 立体几何 第五节 直线平面垂直的判定与性质 微知识 小题练 微考点 大课堂 ...

...数学复习立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质课件....ppt

2019届高考数学复习立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质课件文新人教B版 - -1知识梳理 双基自测 自测点评 1 2 3 1.两条直线互相垂直:如果两条直线相交于一点...

...总复习第七章立体几何42直线平面垂直的判定和性质课....doc

2019版高考数学总复习第七章立体几何42直线平面垂直的判定和性质课时作业文20180628265 - 课时作业 42 一、选择题 直线平面垂直的判定和性质 1.(2018新疆第二...

...复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质学....doc

全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定性质学案 - 第5讲 直线平面垂直的判定性质 板块一 知识梳理自主学习 [必备知识] ...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com