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2015江苏高考数学数列求和 复习

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教师: 徐琨 学生: 周苏湘 学科:
数列求和 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:1.以递推公式或图、表

数学

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课 题(课型) 教学方法:

【高考考情解读】

形式给出条件, 求通项公式, 考查学生用等差、 等比数列知识分析问题和探究创新的能力, 属中档题.2. 通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化 归思想的应用,属中档题.

1. 数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、 等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与 原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形, 将通项分裂成两项或 n 项的差, 通过相加过程中的相互抵消, 最后只剩下有限项的和. 这 种方法,适用于求通项为 常见的拆项公式: ① ② ③ ④ 1 1 1 = - ; n?n+1? n n+1 1 11 1 = ( - ); n?n+k? k n n+k 1 1 1 1 = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 = ( n+k- n). n+ n+k k
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1 1 1 1 1 的数列的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则 = ?a -a ?. d anan+1 anan+1 ? n n+1?

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考点一 分组转化求和法 例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何 两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等 比数列进行求和, 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列, 哪些项构成等比数列, 清晰正确地求解. 在 利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论,最后再验 证是否可以合并为一个公式. (2013· 安徽)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+ π? an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′? ?2?=0.
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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 (1)求数列{an}的通项公式; 1 ? (2)若 bn=2? ?an+2a ?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n

考点二 错位相减求和法 例2 (2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2

错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法. 在应用这种方法时, 一定要抓住数列的特征, 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n 1.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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考点三 裂项相消求和法 例3 (2013· 广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=a2 n∈N*, 且 a2, n+1-4n-1, a5,a14 构成等比数列. (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2

数列求和的方法:(1)一般地,数列求和应从通项入手,若无通项,就先求通项,然后通过对 通项变形, 转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式, 从而选择合适的方法求和得解. (2)
? ?S1?n=1? 已知数列前 n 项和 Sn 或者前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系式, 求通项通常利用 an=? . ?Sn-Sn-1?n≥2? ?

已知数列递推式求通项,主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等. 已知 x, f?x? , 3(x≥0)成等差数列.又数列{an}(an>0)中,a1=3,此数列的前 n 项和为 2

Sn,对于所有大于 1 的正整数 n 都有 Sn=f(Sn-1). (1)求数列{an}的第 n+1 项; 1 1 (2)若 bn是 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an+1 an
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1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题型的关键.若是等差数列或等比数列, 则直接运用公式求解,否则常用下列方法求解:
? ?S1?n=1? (1)an=? . ?Sn-Sn-1?n≥2? ?

(2)递推关系形如 an+1-an=f(n),常用累加法求通项. an+1 (3)递推关系形如 =f(n),常用累乘法求通项. an (4)递推关系形如“an+1=pan+q(p、q 是常数,且 p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类通项问题, 常用待定系数法.可设 an+1+λ=p(an+λ),经过比较,求得 λ,则数列{an+λ}是一个等比数列. (5)递推关系形如“an+1=pan+qn(q,p 为常数,且 p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类型可以将关 系式两边同除以 qn 转化为类型(4),或同除以 pn 2. 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型: (1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解. (2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和. (3)分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的 和求解. 提醒: 运用错位相减法求和时, 相减后, 要注意右边的 n+1 项中的前 n 项, 哪些项构成等比数列, 以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零. 3. 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力.其中,建立数列模型是解决这类问题 的核心,在试题中主要有:一是,构造等差数列或等比数列模型,然后用相应的通项公式与求和 公式求解;二是,通过归纳得到结论,再用数列知识求解.
+1

转为用迭加法求解.

1. 在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么称这个数列为等积数列,称 k
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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 为这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则 a1+a2+a3+?+ a12=________. 2. 秋末冬初,流感盛行,特别是甲型 H1N1 流感.某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成 数列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则该医院 30 天入院治疗甲流的人数为 ________. 3. 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:a2· a4=65,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; n (2)设 bn= ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+?+bn<m 对于任意的正 ?2n+1?Sn

一、填空题 1 1 1 1 1. 已知数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,则其前 n 项和 Sn=________. 2 4 8 16 S12 S10 2. 在等差数列{an}中,a1=-2 013,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2 013 的值等于________. 12 10 3. 对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),n=1,2,?,则 a2 013=________. x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2

4. 设{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,记 Mn=ab1 +ab2+?+abn,则数列{Mn}中不超过 2 013 的项的个数为________. S 1 S2 S15 5. 在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 , ,?, 中最大的是________. a 1 a2 a15
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大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1 1 1 1 6. 数列{an}满足 a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有 am+n=am+an+mn,则 + + +?+ = a1 a2 a3 a2 012 ________.
2 ? ?n ?n为奇数?, ? 7. 已知函数 f(n)= 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a2 012=________. 2 ? ?-n ?n为偶数?, 2 2 2 8. 数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+?+an=3n-1,则 a2 1+a2+a3+?+an=________.

9. 已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数 n 是________. 二、解答题 10.已知等差数列{an}满足:a5=9,a2+a6=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

1 125

1 1 1 11.将函数 f(x)=sin x· sin (x+2π)·sin (x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排 4 4 2 成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式.

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3 12.(2013· 高考天津卷)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数 2 列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6

学生对本次课的评定: ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差 学生签字: 教导主任签字: 大方向教育教务

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