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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:常见曲线的参数方程在解析几何中应用


年 级 高二 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 编稿老师 常见曲线的参数方程在解析几何中的应用 张变英 一校 黄楠 二校 林卉 审核 张利婷 一、直线的参数方程: 经过点 P ? x0 , y0 ? ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程为 ? ? x ? x0 ? t cos ? ,利 (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ? 用直线参数方程中参数 t 的几何意义,可简化求直线上两点间的距离,即直线上动点 M 到 定点 P 的距离为参数 t 的绝对值。 当 t>0 时, PM 的方向向上; 当 t<0 时, PM 的方向向下; 当 t=0 时,点 P 和点 M 重合。 直线的参数方程也可以写为 ? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt 两种参数方程的区别:对于直线的参数方程中只有当 t 的系数平方和为 1 时,我们才能 运用 t 的几何意义求解两点之间的距离,这个前提条件要注意。同时要注意 t 的取值范围, 及其对轨迹的影响,要判断是否为完整的直线,应看条件是否有约束。 二、圆的参数方程: 圆心为(a,b) ,半径为 r,以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线,按逆时针方向旋转到 圆上一点所在半径成的角 ? 为参数的圆的参数方程为 ? ? x ? a ? r cos ? ,? ? ? 0, 2? ? 。 ? y ? b ? r sin ? 三、椭圆的参数方程: ? x ? a cos? x2 y2 以椭圆的离心角 ? 为参数,椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的参数方程为 ? , a b y ? b sin? ? ? ? ?0, 2? ? 四、参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程。 (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t) ,把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数 t 的关系 y=g(t) ,那么 ? 1 ? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程,在参数方 ? y ? g (t ) 程与普通方程的互化中,注意 x,y 的取值范围。 例题 1 过点 M(2,1)作曲线 C: ? ) ? x ? 4 cos ? , (θ 为参数)的弦,使 M 为弦的中点, ? y ? 4sin ? 则此弦所在直线的方程为( 1 A. y-1=- (x-2) 2 1 C. y-2=- (x-1) 2 垂直, B. y-1=-2(x-2) D. y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为 r=4 的圆,所以过点 M 的弦与线段 OM 1 ∵kOM= ,∴弦所在直线的斜率是-2。 2 故所求直线方程为 y-1=-2(x-2) 。 答案:B 点拨: 对于参数方程中研究直线与圆的位置关系的问题, 一般能化为圆内弦长与圆的半 径,以及弦心距的关系来求解运用。注意垂径定理的运用。 例题 2 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线 ? C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,已知过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为 ? ? 2 t 2 ,直 ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ? x ? ?2 ? 线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, |

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