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等差数列与等比数列知识点复习总结


等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列 1、数列 ?an ? 为等差数列的判定方法 ①定义法: an?1 ? an ? d (后一项减前一项等于常数) ②等差中项法: 2an?1 ? an ? an?2 (两倍的中项等于前后项之和) ③通项式法: an ? pn ? q ( an 是关于 n 的一次函数) ④前 n 项和公式法(公差不为零时) : Sn ? An2 ? Bn (求和公式是关于 等比数列 1、数列 ?an ? 为等比数列的判定方法 ①定义法:_______________(后一项除以前一项等于常数) ②等比中项法:_________________(中项的平方等于前后项之积) ③通项式法:__________________( an 是关于 n 的指数型函数) ④前 n 项和公式法:S n ? __________ (求和公式是关于 n ______ 的___________________________________________________) 2、等比数列 ?an ? 的公比计算方法 ① ② ③

n 的二次函数且常数项为零,且公差 d ? 2a, 首项 a1 ? S1 ? a ? b )
2、等差数列 ?an ? 的公差计算方法

a ? a1 ① d ? an?1 ? an (后一项减前一项)② d ? n n ?1
③d ?

an ? am n?m
3、等比数列 ?an ? 的通项式 ① ③ 4、等比数列 ?an ? 的性质 ①两项性质:若 m ? n ? p ? q ,则________________ ②等比中项性质:若 x, A, y 成等比数列 ? ______________ ③ ②

3、等差数列 ?an ? 的通项式 ① an ? a1 ? (n ?1)d ② an ? am ? (n ? m)d ③ an ? pn ? q 4、等差数列 ?an ? 的性质 ①两项性质:若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ②等差中项性质:若 x, A, y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y ③下标成等差数列的项仍成等差数列。若数列 ?an ? 是等差数列,公差为

d ,则数列 ak , ak ?m , ak ?2m , ak ?3m ,
5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和

仍构成等差数列,公差为 md 。 5、等比数列 ?an ? 的前 n 项和 ①__________________②_________________③________________ 特别地,__________________________ 6、等比数列前 n 项和性质 ①

n(a1 ? a n ) ① Sn ? 2

n(n ? 1)d ② S n ? na1 ? ③ Sn ? An2 ? Bn 2

6、等差数列前 n 项和性质 ①片段和性质: 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公差为 d ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 即 a1 ? a2 ?
? am , am?1 ? am? 2 ?
2

? a2m , a2m?1 ? a2m?2 ?

? a3m

也成等差数列, 公差为 m d 。 ②若两个等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别是 An , Bn ,则 7、其它性质: (任何数列都适用)

an A2 n ?1 ? 。 bn B2 n ?1

?S an 与 Sn 之间的关系: an ? ? 1 ?Sn ? Sn?1

(n ? 1) (n ? 1)

,步骤:① ________________② ________________③ _____________________④ _____________

题型: ①已知 Sn 与 n 的关系,求数列的通项公式 an ;② 已知 Sn 与 an 的关系,求数列的通项公式 an 。

3、并项法

数列的求和方法
1、分组求和法 例 1、若数列 ?an ? 的通项式为 an ? 2n ? 3n ,求数列 ?an ? 的前 n 项 Sn

例 3、若数列 ?an ? 的通项式为 an ? (?1)n ? n ,求 S 2012

练习 3 练习 1、(1)已知数列 ?an ? 的通项式为 (1)若数列 ?an ? 的通项式为 an ? (?1) n ? (3n ? 2) ,求 S10 (2)若数列 ?an ? 的通项式为 an ? (?1)n?1 ? (4n ? 3) ,求 S100

an ? (n ? 1) ? 2 ? 4n ,求数列 ?an ? 的前 n 项 Sn
1? 2 ? 4 ??? 2 (2)有穷数列 1, 1+2, 1+2+4, …,
所有项的和为____________
n ?1

4、裂项相消法 2、错位相减法 例 2、 若数列 ?an ? 的通项式为 an ? 2n ? 3 , 求数列 ?an ? 的前 n
n

例 4、若数列 ?an ? 的通项式为 an ?

1 ,求数列 ?an ? 的前 n(n ? 1)

项 Sn

n 项 Sn

练习 4、已知数列 ?an ? 的通项式为 an ? 练习 2、 已知数列 ?an ? 的通项式为 an ? n ? ( ) , 求数列 ?an ? 的
n

1 n ? n ?1

,求数列

1 2

?an ? 的前 n 项 Sn

前 n 项 Sn


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