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极坐标与参数方程综合题型


1 . 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,设直线 l 的参数方程是

(II)求实数 k 的值。

3 ? x?? t?2 ? ? 5 ( t 为参数) 。 ? ?y ? 4 t ? 5 ?
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的 最大值。

4. 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? y ? sin ?

? ? cos( ? ? ) ? 2 .
4
(1)将曲线 C1 和 C2 化为普通方程; (2)设 C1 和 C2 的交点分别为 A,B,求线段 AB 的中垂线的参数方 程。

2 . 在 极 坐 标 系 下 , 已 知 圆 O : ? ? cos ? ? sin ? 和 直 线

2 5 . ( 1 )已知二次函数 y ? x ? 2 x sec? ?

2 ? sin 2 ? ,( ? 为参数, 2 2 cos ?

l : ? s i? n? (

?

2 ? ) , 4 2

cos ? ? 0 )求证此抛物线顶点的轨迹是双曲线.
(2)长为 2 a 的线段两端点分别在直角坐标轴上移动,从原点向该线段 作垂线,垂足为 P ,求 P 的轨迹的极坐标方程.

(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

6. 已知点 P(sin ? ,cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的 3. 已知直线

3 4

3 4

l : ? sin(? ?

?
4

) ? 4和圆 C : ? ? 2k ? cos( ? ?

?
4

)( k ? 0), 若直线 l 上的

值为 A.

点到圆 C 上的点的最小距离等于 2。 (I)求圆心 C 的直角坐标;

? 4

B.

3? 4

C.

5? 4

D.

7? 4

7. 曲线 x 2 ? y 2 ? 4 与曲线 ? 线 l 对称,则直线 l 的方程为 A. y ? x ? 2 C. x ? y ? 2 ? 0

? x ? ?2 ? 2cos? ( ? ? [0, 2? ) )关于直 ? y ? 2 ? 2sin?

10. 已知曲线 C 1 : ? ( ? 为参数) 。

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

B. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

(Ⅰ) 化 C1 , C 2 的方程为普通方程, 并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ) 若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? , Q 为 C 2 上的动点, 求 PQ 2

8

.

















xOy









中点 M 到 直线 C3 : ?

x2 ? y2 ? 4x cos? ? 6 y sin ? ? 5sin 2 ? ? 3 ? 0,? ? R 的 圆 心 为
P( x, ,求 y) 2 x ? y 的取值范围.
9. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方

? x ? 3 ? 2t , ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

11. 已知曲线 C 的参数方程是 ? 心率为 是

? x ? 3 sec? (?为参数) ,则曲线 C 的离 ? y ? 4 tan?
1 y 的取值范围 2

;若点 P( x, y) 在曲线 C 上运动,则 x ? 。

? ?x? ? 程是: ? ?y ? ? ?

2 t?m 2 ( t 是参数) . 2 t 2

12

.





















线

(I)将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 参数方程转化为普通方程; (II)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实 数 m 值.

C1 : ? cos(? ?

?
3

) ? m和C 2 : ? ? 4 cos ? .若m ? (?1,3) ,则曲线 C1 与

C2 的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离

D.不确定

(2)当 ? ?
2

5? 时,求 M 点的直角坐标. 3

13. 已知某圆锥曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 的离心率为 A.

225 ,则曲线 C 9 ? 16 cos 2 ?
5 3

17. 在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
3

) ? 1 ,M,N 分别为 C 与 x 轴,

4 5
D.

B.

3 5

C.

y 轴的交点 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求出 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

5 4

14. 已知曲线 ?

? x ? 2t ( t 为参数)与 x 轴, y 轴交于 A 、 B 两点, ?y ? 2 ?t

18. 设 A (2,

2? ? ) , B (3, ) 是极坐标系上两点, 则|AB|= 3 3

_.

点 C 在曲线 ? ? ?2cos ? ? 4sin ? 上移动, 求 ?ABC 面积的最大值和最 19. 已知直线的极坐标方程为 ρ cos( θ ? 小值。 距离为 15. 圆心在点 A(a, .

? π ) ? 2, 则点 A(2, ) 到直线的 3 6

?
2

), 半径等于 a 的圆的极坐标方程是____________。

16. 以坐标原点为极点, 横轴的正半轴为极轴的极坐标系下, 有曲线 C:

? ? 4cos ? ,过极点的直线 ? ? ? ( ? ? R 且 ? 是参数)交曲线 C 于两
点 0,A,令 OA 的中点为 M. (1)求点 M 在此极坐标下的轨迹方程(极坐标形式).

1 ? ?x ? 3 ? 2 t ? 20. 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
方程为 ?

? x ? 4 cos? (θ 为参数). ? y ? 4 sin ?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

21. 过点 A(-2,4)引倾斜角为 135 的直线,交曲线 ?

0

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为参

24 .

已 知 曲 线 C1 , C2

的 极 坐 标 方 程 分 别 为

数, p ? 0 )于 P 1, P 2 两点,若 AP 1 , PP 1 2 , AP 2 成等比数列,求 p 的值。

? ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) , 则 曲 线 C1 C2 交 点 的 极 坐 标 2
为 .

22. 圆 ? = 2(cos? ? sin ? ) 的圆心的极坐标是 A. (1,

25. 在空间直角坐标系 O-xyz 中,点 M(1,2)关于平面 xOy 对称的点 C . ( 2,

?
4

) )

B . ( ,

D. (2,

?
4

1 ? ) 2 4

?
4

)

的坐标为



26 . 在极坐标系中,过点 ? 2,

? ?

??

? 且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程 3?

23 .

已 知 曲 线
? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x ? cos ? C1 : ? (? 为参数) , 曲 线 ? ? y ? sin ?

C2 :



.

2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

27 . 极 坐 标 方 程 ? ? 2cos ? 和 ? ? ?2sin ? 的 两 个 圆 的 圆 心 距 为 _____________.

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 28 .

二 次 曲 线 ?

? x ? 4cos ? (? 为 参 数 ) 的 焦 点 坐 标 为 ? y ? 3sin ?

C1 ' , C2 ' 。写出 C1 ' , C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1
与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。 A. (?5, 0) B. (0, ?5) C .

(? 7,0)

D. (0, ? 7)

数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为对数) , ? y ? sin ?

29 . 在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? __ .

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为 4?

求曲线 C 截直线 l 所得的弦长。

34. 设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? (θ 为参数) ,若以原点为极 ? y ? sin ?

30 . 在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? __ .

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为 4?

点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 __________________.

31. 直线 ?

? x ? ?2 ? 4t ? x ? 2 ? 5 cos? , 被圆 ? , ( ? 为参数) ,( t 为参数) ? y ? ?1 ? 3t ? y ? 1 ? 5 sin ?


35. 设直线 l1 的参数方程为 ?

?x ? 1? t (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 ? y ? 1 ? 3t

y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______。

所截得的弦长为

32. 在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐 标方程为 .

?? 36. 在极坐标系中, 由三条直线 ? ? 0 ,
成图形的面积是______。

?
3

,? cos ? ? ? sin ? ? 1 围

37. 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴为极轴建立坐标系,曲 33. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? 的交点。

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴

) ? 2 ,曲线 C 的参

(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标;

(Ⅱ)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。

|AB|=________

38. 已知曲线 C1 : ? 参数) ,

? x ? ?4 ? cost ?x ? 8 cos? (t 为参数) ,C2 : ? (? 为 ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 sin ?

41. 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: x ? ?1 ? 2 cos ? , y ? 2 ? 2 sin ? ( ? 为参数 )试判断他们的公共点个数.

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲 线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? 求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ?

42. 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , y ? 2 ? 2 sin ? ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,

以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极 坐标为_________ .

? x ? 3 ? 2t , (t为参数) 距离的最小值。 ? y ? ?2 ? t

? x ? ?3 ? 2cos ? ? x ? 3cos ? 与? 43. 两圆 ? 的位置关系是 ? y ? 4 ? 2sin ? ? y ? 3sin ?

39. 若直线 l1 : ? 垂直,则 k ?

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, ( s 为参数) (t为参数) 与直线 l2 : ? ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2s.


A.内切

B.外切 D.内含

C







40. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标 系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ? 与曲线 ?

x ? ?2 ? cos? , (θ 为参数,0≤θ <2π)上 44. 设 P( x,y)是曲线 C: ? ? ? y ? sin ?

?
4

( ? ? R ) ,它

任意一点, (1)将曲线化为普通方程; (2)求

? ?x ? 1 ? 2 c o s , ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则 ? y ? 2 ? 2 s i n?

y 的取值范围. x

45. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆C的参数方程为

? x ? 2 cos? ? (?为参数) ,直线 l 经过点P(1,1),倾斜角 ? ? . ? 6 ? y ? 2 sin ?
(1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆圆 C 相交与两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之 积.

1 2 2 1 ) +y = 2 4 1 1 C.x2 +(y- )2 = 2 4
A. (x+

1 2 1 ) = 2 4 1 2 2 1 D. (x- ) + y = 2 4
B.x2 +(y+

π 50. 若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ?=l 与 ? ?=2cos(θ+ ) ,它们 3 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

46 . 把 极 坐 标 方 程 ? cos(? ? ____________________。

?
6

) ?1 化 为 直 角 坐 标 方 程 是

51 . 在极坐标系中,以 ( , ) 为圆心, 是 是 .

a ? 2 2

a 为半径的圆的极坐标方程 2

,该圆与极轴平行的切线的极坐标方程

47 . 若直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 离是__________.

?
4

)?

2 , 则极点到该直线的距 2

52. 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1、F2 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

48. 参数方程 ?

?x ? t ? 1
2 ?y ? t ? 2

( t ? R) 表示的曲线 B.与 x 轴相交,但与 y 轴不相交 D. 不经过坐标原点, 但与 x 轴、y

A.经过坐标原点 C.与 y 轴相交,但与 x 轴不相交 轴相交.

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R). 2 ?y ? t ? 2 ?
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

49. 极坐标方程 ? =cosθ 化为直角坐标方程为

π? ? 53. 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ? ? ? 。现以极点 6? ?
为原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则圆 C 的半径 是 ,圆心的直角坐标是 。

是________. 59. 已知圆系的方程为 x2+y2-2axCos ? -2aySin ? =0(a>0) (1)求圆系圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值。

N 分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? s in(? ? 54. 设 M 、
点,则 M 、 N 的最小距离是 55. 在极坐标系中,以 ? cos? 线的极坐标方程为_________. 56. 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的圆心的极坐标是 .

?
4

)?

2 上的动 2

? 2 t ? 2, ?x ? ? x ? cos? , ? 2 60. 已知曲线 C1:? ( ? 为参数) , 曲线 C2:? ? y ? sin ? ? y ? 2 t. ? 2 ?
(t 为参数). (Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线

(1,0)为焦点的抛物 ? 1 ? 0 为准线,

,它与方程 .

??

π ( ? ? 0 )所表示的图形的交点的极坐标是 4

' ' ' ' ' .写出 C1 , C2 的参数方程. C1 与 C 2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共 C1' , C2

点的个数是否相同?说明你的理由.

57. 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? 1 ( ? 为参数) ,则点 P (4, 4) ? y ? sin ?

61 .

已 知 曲 线 C1 , C2

的 极 坐 标 方 程 分 别 为

与圆 C 上的点的最远距离是_________.

? cos ? ? 3, ? ? 4 cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ?
坐标为 .

?
2

) ,则曲线 C1 与 C2 交点的极

58. 极坐标系下, 直线 ? cos( ? ?

?
4

) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共点个数

62. 圆 ?

? x ? 1 ? cos? (? 为参数)的标准方程是 ? y ? 1 ? sin ?

,过这

A.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆

B.两条直线 D.一个圆

个圆外一点 P ? 2,3? 的该圆的切线方程是

。 67. 圆 ?

? x ? ?1 ? cos? 63. 已知曲线 C 的参数方程为 ? , 则曲线 C 的普 (? 为参数) ? y ? 1 ? sin ?
通方程是 ;点 A 是曲线 C 的对称中心,点 P( x, y) 在不等式 .

? x ? 1 ? cos? (? 为参数)的标准方程是 ? y ? 1 ? sin ?

,过这 。

个圆外一点 P(2,3)的该圆的切线方程是

x ? y ? 2 所表示的平面区域内,则 AP 的取值范围是

68. 曲线 C : ? 通方程是

? x ? ?1 ? cos? (?为参数) 关于直线 y=1 对称的曲线的普 ? y ? sin ?
.

64. 已知⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别是 ? ? 2 cos?和? ? 2a sin ? , (a 是非零常数) 。 (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值。
x ? 1 ? 2cos? ( ? ? 为参数) 65. 已知圆 C 的参数方程为 ? ,P 是圆 C 与 y 轴 ? ? ? y ? 2sin ?

69. 已知曲线 C 的参数方程是:

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , (θ 为参数),则曲线 C 的普通方程是 ? ? ? y ? 2 sin ?
曲线 C 被直线 x- 3 y=0 所截得的弦长是 .



70. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的 .

的交点,若以圆心 C 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则过 点 P 圆 C 的切线的极坐标方程是 参数方程为 ?

?x ? t ? 3 , ( 参 数 t ? R ), 圆 C 的 参 数 方 程 为 ?y ? 3?t

66. 坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为

? x ? 2cos ? (参数 ? ??0, 2? ? ),则圆 C 的圆心坐标为 ? ? y ? 2sin ? ? 2
圆心到直线 l 的距离为 71. 极坐标方程分别是ρ =cos ? 和ρ =sin ? 的两个圆的圆心距是 A.2 B. 2 C. 1 D.



2 2

72. 极坐标方程分别是ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是 A.2 B. 2 C. 1 D.

2 2


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