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2016届广东省东莞市高三上学期期末调研测试数学理试题


2016 届广东省东莞市高三上学期期末调研测试数学理试题
一、选择题(共 12 小题,60 分) (1)已知 i 是虚数单位,若

a?i 1 a?i |= 是纯虚数,则 | ? 2?i 2 2?i

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)1

(D) 2

2 (2)已知全集 U=R,集合 A= ?x | lg x ? 0? ,B= y | y ? 2 y ? 3 ? 0 ,则下图中阴影部分表示的

?

?

区间的是 (A) (0,1) (B) (1,3] (C) [1,3] (D) [-1,0] ? [1,3] (3)已知命题 p : ?m ? R ,使得函数 f ( x) ? x3 ? (m ?1) x2 ? 2 是 奇函数,命题 q :向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则“ 题为真命题的是 (A) p ? q (B) (?p) ? q (C) p ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

?

?

? ? x1 y1 ? ”是“ a ? b ”的充要条件,则下列命 x2 y2

(4)高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生,从中选拔出 3 位男生,2 位女生,然后 5 人在班内 逐个进行演讲,则 2 位女生不连续演讲的方式有 (A)864 种 (B)432 种 (C)288 种 (D)144 种 ( 5 )已知圆 ( x ? m)2 ? y 2 ? 4 上存在两点关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称,若离心率为

2 的双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与圆相交,则它们的交点构成的图形的面积为 a 2 b2
(A)1 (B) 3 (C)2 3 (D)4

(6)已知一个几何体的三视图如图所示,图中小正方形的边长为 1,则该几何体的体积为

(A)

10 3

(B)4

(C)6

(D)10

(7)已知随机变量

s ? P ?( ? ? ? N(3,? 2), 且 c o ?

3 ) 其 中 ? 为 锐 角 ), 若 函 数 (

f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象与直线 y=2 相邻的两交点之间的距离为 ? ,则函数 f ( x) 的一条
对称轴方程为

2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (8)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , | AB |? 5, 20aBC ?15bCA ?12cAB ? 0 ,
12

(A) x ?

?

(B) x ?

?
6

(C) x ?

?
3

(D) x ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BP ? 2 PA ,则 CP?AB 的值为
23 (D)-8 3 (9)已知各项为正的数列 ?an ? 的前 n 项的乘积为 Tn ,点( Tn , n2 ?15n) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,
(A) (B) ? (C)-
2

23 3

7 2

则数列 ?log 2 an ? 的前 10 项和为 (A)-140 (B)100 (C)124 (D)156 (10)执行如右图所示的程序框图,输出的结果为 1538,则判断框内可填入 的条件为 (A)n>6? (B)n>7? (C)n>8? (D)n>9? (11)已知直线 l 过抛物线 E: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且与 x 轴垂直,l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 24,若点 P 为抛物线 E 上任意一点,A(4,1) , 则|PA|+|PF|的最小值为 (A)6 (C)7 (B)4+2 2 (D)4+2 3
2

(12)对任意 x ?[?1,1] ,不等式 ?4 ? x ? 3| x ? a |? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围为 (A) [?

2 2 , ] 3 3

(B) [? , ]

1 1 3 3

(C) [0, ]

2 3

(D) [0,1]

第 II 卷
二、填空题(共 20 分) (13)已知直线 y ? kx 与圆 C: ( x ? 4) ? y ? r 相切,圆 C 以 x 轴为旋转轴旋转一周后,得到的几
2 2 2

何体的表面积为 S=16 ? ,则 k 的值为 (14)已知 ? 为第二象限角,P(t,4)这其终边上的一点,且 cos ? ? 的展开式中常数项等于

1 tan ? 6 5t 2 ) ,则 ( x ? )( x ? x 4 10

?y ?1 ? (15)已知关于点(x,y)的不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域为 D,则 D 内使得 z ? x 2 ? y 2 ?4 x ? y ? 5 ? 0 ?
取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为 (16)在平面内,已知四边形 ABCD,CD⊥AD,∠CBD= 且 cos2∠ADB+3cos∠ADB=1,则 BC 的长为 三、解答题 (17) (本小题满分 12 分) 已知各项为正的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 30 ,过点 P( n, log 2 an )和 Q( n ? 2,log 2 an?1 ) ( n ? N * )的直线的一个方向向量为(-1,-1) 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

? ,AD=5,AB=7, 12

3 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 。 4 log 2 an ?2 ? log 2 an

(18) (本小题满分 12 分) 已知多面体 ABC-A1B1C1 中, 底面△ABC 为等边三角形, 边长为 2, AA1⊥平面 ABC, 四边形 A1ACC1 为直角梯形,CC1 与平面 ABC 所成的角为

? ,AA1=1。 4

(I)若 P 为 AB 的中点,求证:A1P∥平面 BC1C; (II)求二面角 A1-BC1-C 的余弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 某品牌汽车 4S 店,对该品牌旗下的 A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养,每辆车一年内需要维 修的人工费用为 200 元,汽车 4S 店记录了该品牌三种类型汽车各 100 辆到店维修的情况,整理得下

表:

假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机制取 10 辆进行问 卷回访。 (I)从参加问卷回访的 10 辆汽车中随机制取两辆,求这两辆汽车来自同一类型的概率; (II)某公司一次性购买该品牌 A,B,C 型汽车各一辆,记 ? 表示这三辆车的一年维修人工费用 的总和,求 ? 的分布列及数学期望。 (各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率) (III)经调查,该品牌 A 型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系:

已知 A 型汽车的购买量 y 与价格 x 符合如下线性回归方程: ? y ? bx ? 80 ,若 A 型汽车价格降到 19 万元,请你预测月销售量大约是多少?

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,F 是椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,已知点 A(0,-2)与 a 2 b2

椭圆左顶点关于直线 y ? x 对称,且直线 AF 的斜率为

2 3 。 3

(I)求椭圆 ? 的方程; ( II ) 过 点 Q ( - 1,0 ) 的 直 线 l 交 椭 圆 ? 于 M , N 两 点 , 交 直 线 x = - 4 于 点 E ,

???? ? ???? ???? ??? ? MQ ? ?QN , ME ? ? EN ,证明: ? ? ? 为定值。

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 x ? kx 。 2

(I)设 k ? m ?

1 (m ? 0) ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间(0,2)内有且仅有一个极值点, m

求实数 m 的取值范围; (II) 设 M ( x) ? f ( x ) ? g ( x ) , 若函数 M ( x) 存在两个零点 x1 , x2 ( x2 ? x1 ) , 且满足 2 x0 ? x1 ? x2 , 问:函数 M ( x) 在 ( x0 , M ( x0 )) 处的切线能否平行于直线 y =1,若能,求出该切线方程,若不能,请 说明理由。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号 方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分,多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 的内接四边形 BCED,BC 为圆 O 的直径,BC=2,延长 CB、ED 交于 A 点,使得 ∠DOB=∠ECA,过 A 作圆 O 的切线,切点为 P。 (I)求证:BD=DE; 2 (II)若∠ECA=45°,求 AP 的值。

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的参数 方程是 ?

? x ? 2(cos? ? sin ? ) ? ? ? y ? 2(cos? ? sin ? )

( ? 为参数) ,曲线 C 与 l 的交点的极坐标为(2,

? ? )和(2, ) 。 3 6

(I)求直线 l 的普通方程; (II)设 P 点为曲线 C 上的任意一点,求 P 点到直线 l 的距离的最大值。

24. (本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3| ,若 ?x0 ? R ,不等式 f ( x0 ) ? 0 成立。

(I)求实数 m 的取值范围; (II)若 x ? 2 y ? m ? 6 ,是否存在 x, y 使得 x2 ? y 2 ? 19 成立,若存在,求出 x, y 值,若不存在, 请说明理由。


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