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广东省汕头市2015-2016学年高二下学期期末教学质量监测数学试题Word版含答案.doc


绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测 高二文科数学
本试卷共4页,24小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生 号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题(共60分)

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请将正确答案涂在答题卡相应的位置上) 1.已知集合 M ? x ?1 ? x ? 1 ? , N ? x x 2 ? 4, x ? Z ,则 A. M ? N ? ?0? B. N ? M C. M ? N D. M ? N ? N

?

?

?

2.设 i 是虚数单位, a ? R ,若 i( ai ? 2) 是一个纯虚数,则实数 a 的值为 A. -

1 2

B. ?1

C.

0

D. 1

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ? x 3 4.双曲线 A. B. y ? cos x C. y ? ln

1? x 1? x

D. y ? ex

x2 y2 - ? 1 的离心率为 64 36
B.

4 5

5 4

C.

3 4

D.

4 3

?x ? 0 1 ? 5.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,则 z ? 2 x ? y ? 的最大值是 2 ?x ? y ? 1 ?

A.-

1 2

B.0

C.

1 2

D.1

6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的弧线是 半径为1的四分之一个圆弧,则该几何体的体积为 A.1 B. 2? C. 1 ?

?
4

D. 1 ?

?
2
开始

7.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为 A. C.

10 11 5 11

B. D.

5 6

i ?1

7 5 2 8.直线 x ? y ? m =0与圆 x ? y2 ? 1 相交的一个充分不必要条件是
A.0 ? m ? 1 C. m ? 1 B.-4 ? m ? 2 D.-3 ? m ? 1

S ?0
i?5 是 i?9


S?S?

9.将函数 f ( x) =sin( 2 x ? ? )( ? <

? )的图象向左平移 2
(第7题图)

1 i(i ? 1)

输出 S 结束

i ? i ?1

? 个单位后的图象关于原点对称,则函数 ? 的可能值为 6
A.

? 6

B.-

? 6

C.

? 3

D.-

? 3

10.经过函数 y ? ?

2 图象上一点 M 引切线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B , O 为坐 x

标原点,记 ?OAB 的面积为 S ,则 S = A.8 B.4 C.2 D .1

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? m 11.已知向量 a ? 1, b ? 2 且 a ? b ? 0 ,又 c ? a ? 2b, d ? ma ? nb, c / / d ,则 等于 n
A. ?

1 2

B.

?1
? ? x ? 3a x ? 4, x ? 0

C. 1

D. 2

?4a ? ln x ? x2 , x ? 0 12.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ,且方程 f ( x) ? 2 a ? 0 至少有三个不等实根, ? 3 2

则实数 a 的取值范围是
?1 ? A. ? ,1 ? ?2 ?

B. ?1,2? 第Ⅱ卷

C. ?1, ?? ? 非选择题(共90分)

D. ?1, ?? ?

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在答卷相应的位置上)

? 1 13.如果 sin( x ? ) ? ,则 cos( ? x) ? 2 2
14.当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ?

.

2 的最小值是 . x 15.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗: “儿忆父兮妻忆夫” ,既可以顺读也可
以逆读.数学中有回文数,如 343、12521等,两位数的回文数有 11、22、33、?、99 共9个,则三位数的回文数中,偶数的概率是 .

16. 已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长为4, 点 E 是线段 B1C 的中点, 则三棱锥 A ? DED1 外接球的体积为 .

三、解答题(6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 已知数列 {an } 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? 4 ? an . (1)求数列 {an } 的通项公式;
?log 1 an ? (n 为奇数) ( n ?N*),求数列 {b }的前 2n 项和 T . (2)设 bn ? ? 2 2n n ? ? an (n 为偶数)

18.(本小题满分12分) 某校对高三部分学生的数学质检成绩做相应分析. (1)按一定比例分层抽样抽取了20名学生的数学成绩,并用茎叶图记录,但部分数据不 小心丢失了. 已知数学成绩在[70, 90)的频率是0.2, 请补全下表并绘制相应频率分布直方图.

(2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系,抽取了部分同学的数学成绩与物理 成绩进行比较,得到统计数据如下: 物理成绩优秀 数学成绩优秀 数学成绩一般 合计 15 5 20 物理成绩一般 3 17 20 合计 18 22 40

能够有多大的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系? 附: ? 2 ?
n ? ad ? bc ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?
2

P(K2≥K0)
?0

0.05 3.841

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA ? PC ? PD ? 2 ,底面
ABCD 为直角梯形,其中 BC / / AD, AB ? AD , AD ? 2 AB ? 2BC ? 2 .

(1)求证:侧面PAD⊥底面ABCD; (2)求三棱锥 P ? ACD 的表面积.

20.(本小题满分12分) 在直角坐标系xOy中,曲线 C :

x2 ? y2 ? 1 的右顶点是A、上顶点是 B . 4

(1)求以 AB 为直径的圆E的标准方程; (2)过点 D(0, 2) 且斜率为 k( k ? 0) 的直线 l 交曲线 C 于两点 M , N 且 OM ? ON ? 0 , 其中

O为坐标原点,求直线 l 的方程.

21.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? ex ? x . (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)设函数 g( x) ? ( m ? 1) x ? n ,若对 ?x ? R , f ( x) 恒不小于 g( x) ,求 m ? n 的最大值.

请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,AD,DE 是⊙O 的切线, AD,BE 的延长线交于点 C. (1)求证: A、O、E、D 四点共圆; (2)若 OA ? 3CE ,CE=1, ?B ? 30° ,求 CD 长. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C
? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数) 的极坐标方程是: ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,曲线D的参数方程是: ? ? y ? sin ?

(1)求曲线C与曲线D的直角坐标方程; (2)若曲线C与曲线D相交于A、B两点,求|AB|.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 最大值为M. (1)求实数M的值; (2)若 ?x ? R, f ? x ? ? t 2 ? (2 ? 2)t 恒成立,求实数 t 的取值范围.

参考答案
一、ACABD CBADB AC 二、13.

1 2

14. 2 2

15.

4 9

16. 36?

三、解答题 17. 已知数列 {an } 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? 4 ? an . (1)求数列 {an } 的通项公式;

?log 1 a n (n为奇数) ? 2 ? (2)设 bn ? ? ( k ?N ) ,求数列 {bn }的前 2 n 项和 T2 n . ? ?a n (n为偶数)
17.解: (1)由 ?

?S n ? 4 ? a n 两式相减得 an?1 ? ?an?1 ? an , ? S n ?1 ? 4 ? a n ?1
3分

2分



a n ?1 1 ? , an 2

又 a1 ? S1 ? 4 ? a1 得 a1 ? 2 故数列 {an } 是以 2 为首项,

4分 5分

1 为公比的等比数列 2
6分

?1? 故 an ? 2 ? ? ? ? 2?

n ?1

1 ? ( ) n?2 2

?n ? 2(n为奇数) ? (2) bn ? ?? 1 ? n ? 2 ?? ? (n为偶数) ?? 2 ?

7分

T2n ? (b1 ? b3 ? ? ? ? ? b2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? ? ? b2n )

8分
2 n?2

?1? ?1? ?1? ? ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2?
1 n ?1 1 ? ( )n n(?1 ? 2n ? 3) 4 1?1? 2 4 ? ? ? n ? 2n ? ? ? ? 1 2 3 3? 4? 1? 4

0

2

9分

12 分

18 解:(1) (填表正确 3 分,频率分布直方图正确 3 分)

分数段 (分)

[50,70)

[70,90)

[90,110)

[110,130)

[130,150]

频率 组距

0.005

0.010

0.020

0.010

0.005

(2)假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系, 则K ?
2

7分 10 分

40(15 ? 17 ? 5 ? 3) 2 ? 14.55 ? 10.828 20 ? 20 ? 22 ? 18

由 P( K 2 ? 10.828 ) ? 0.001? 0.1%

11 分

? 有99.9% 的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系。 12 分

19.证明: (1)取 AD 中点 O,连接 PO、CO,由 PA ? PD ? 2 , 得 PO ? AD 且 PO ? 1 2分

又直角梯形 ABCD 中 BC // AD, AB ? AD ,O 为 AD 中点,故四边形 ABCO 是正方形,故

CO ? AD 且 CO=1,
故 ?POC

3分
2 2 2

中 , PC ? CO ? PO 4分

, 即

PO ? OC ,
又 AD ? CO ? O , 故 PO ? 平面ABCD

5分

PO ? 平面PAD
故侧面 PAD⊥底面 ABCD 6分

(2)

S ?ACD ?

1 1 1 1 AD ? CO ? ? 2 ? 1 ? 1, S ?PAD ? AD ? PO ? ? 2 ? 1 ? 1 2 2 2 2

8分

?PAC 中 AC ? PA ? PC ? 2 , Rt ?COD 中 CD ? CO 2 ? OD2 ? 2 ,
9分

故 ?PAC, ?PCD 都是边长为 2 的等边三角形,故

S ?PAC ? S ?PCD ?

1 3 3 ? 2? 2? ? 2 2 2

11 分

? 三棱锥 P ? ACD 的表面积 S ? 2 ? 3
20 解: (1)依题意点 A(2,0) 、 B(0,1) 故线段 AB 的中点 E (1, ) , 所求圆 E 的半径 r ?

12 分 1分

1 2

2分

5 , 2
2

3分

故圆 E 的标准方程为 ? x ? 1? ? ( y ? ) ?
2

1 2

5 4
5分

4分

(2)依题意,直线 l : y ? kx ? 2

?x 2 ? 4 y 2 ? 4 联立 ? 整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 6 分 ? y ? kx ? 2
2 此时 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,又 k ? 0 ,故 k ?

3 。 2

7分 9分

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ? ?

16 k 12 , x1 x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4 ?
,由 k ? 0 得 k ? 2 故所求直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 . 21 解: (1)依题意 f ?( x) ? e ? 1 ,
x

16 ? 4k 2 ?0 1 ? 4k 2

11 分 12 分 1分

令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0

令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0

3分 4分 5分
x

故函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 单调递减,在 ?0,??? 单调递增 故函数 f ( x) 的极小值为 f (0) ? 1 ,没有极大值。

(2)依题意对 ?x ? R, f ( x) ? g ( x) ,即 e x ? x ? (m ? 1) x ? n ,即 e ? m x ? n ? 0 恒成立 令 u( x) ? e x ? mx ? n ,则 u ?( x) ? e x ? m ① 不符题意,舍去。 ② 若 m ? 0 ,令 u ?( x) ? 0 得 x ? ln m 若 m ? 0 ,则 u ?( x) ? 0 , u ( x) 在 R 上单调递增,没有最小值,

当 u ?( x) ? 0 ,即 x ? ?? ?, ln m? 时, u ( x) 单调递减; 当 u ?( x) ? 0 ,即 x ? ?ln m,??? 时, u ( x) 单调递增。 故 u( x) min ? u(ln m) ? e ln m ? m ? ln m ? n ? m ? m ln m ? n ? 0 故 m ? n ? 2m ? m ? ln m 令 q(m) ? 2m ? m ? ln m ,则 q?( x) ? 1 ? ln m 当 m ? (0, e) 时, q ?( x) ? 0 , q( x) 单调递增; 当 m ? ?e,??? 时, q ?( x) ? 0 , q( x) 单调递减 故 q( x) max ? q(e) ? 2e ? e ? ln e ? e ,即 m ? n ? e ,即 m ? n 的最大值是 e 。 请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22. 解: (1)证明:连接 EO

1分

? AD, DE 是⊙O 的切线
? ?DAO ? ?DEO ? 900 ,
2分

? ?DAO ? ?DEO ? 1800 , ?ADE ? ?AOE ? 1800
4分

? A, O, E, D 四点共线.

5分

(2)连接 AE ,设 CE ? 1 ,则 AO ? 3 , AB ? 2 3

6分

? AB 是圆 O 的直径,? ?AEB ? 900

Rt?ABE中,?B ? 300 ,故 AE ?

1 AB ? 3 , BE ? 3 2

7分

?ADE 中, ?DAE ? ?DEA ? ?B ? 300

? ?ADE ? 1200

8分

1 3 AE ? AD ? 2 ? 2 ?1 cos300 3 2
2

9分

又由切割线定理得 AC ? CE ? CB ? 1? 4 ? 4 故 CD ? AC ? AD ? 2 ? 1 ? 1 10 分

23 解:(1)? ? cos? ? x, ? sin ? ? y ∴曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0 2分

?cos? ? 2 ? x ? 由 ?sin ? ? y 得曲线 D 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ?

5分

(2)法 1:曲线 D 是以点 D ?2,0? 为圆心,1 为半径的圆。圆心 D 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距 离d ?

2 ?1 2

?

2 2

8分

由勾股定理得 ( 法 2:联立 ? 故 AB ?

1 AB ) 2 ? d 2 ? r 2 ,解得 AB ? 2 . 2
得交点 A、B 的坐标为 ?1,0?, ?2,?1?

10 分

?y ? ?x ? 1
2 2 ?( x ? 2 ) ? y ? 1

8分

2

10 分

?2 2 ( x ? ? 2 ) ? ? 24 解:(1) f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ? ?? 2 x(? 2 ? x ? 2 ) , ? ? ?? 2 2 ( x ? 2 )
故不等式 f ( x) max ? M ? 2 2 5分

3分

(2)? ?x ? R, f ?x? ? t 2 ? (2 ? 2 )t 恒成立,又由(Ⅰ)知 f ( x) min ? ?2 2 故 t 2 ? (2 ? 2 )t ? f ( x) min ? ?2 2 即 t 2 ? (2 ? 2 )t ? 2 2 ? 0 故不等式的解集是区间 8分 10 分 7分

6分

? 2,2?


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