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两角和与差的余弦公式教案


两角和与差的余弦公式
【教学目标】

1.知识与能力:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两 角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公 式,解决相关数学问题。 2.过程与方法:培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生 逆向思维和发散思维能力;培养学生的观察能力, 逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感态度与价值观: 通过观察、 对比体会数学的对称美和谐美, 培养学生良好的数学表达和思考的能力,学会从 已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待 新知识的良好情感态度。 【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导。 【教学过程】 一 创设情境,引入课题 问题 1 :我们已经学习了向量的数量积,请用数量积的知识完成 下列练习。
1

a ? b ? a b cos?

a? (x1 , y1 ), b ? (x2 , y2 ) 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

练习

已知 a ? (cos45?, sin 45?) , b ? (cos30?, sin 30?) ,则 a ? b ?

二 自主探究,引发思考 问题 2 :由 cos(45? ? 30?) ? cos45? cos30? ? sin 45? sin 30? 出发,你能推 广到对任意的两个角都成立吗? 三 层层深入,得出结论 问题 3 : cos? ? cos? cos? ? sin? sin? (一)两角差的余弦公式 设a ? (cos? , sin? ), b ? (cos? , sin? ),
a ? b ? cos?cos? ? sin?sin?
? a ? b ? a b cos?
? cos? ? cos?cos? ? sin?sin?

如果 ? ? ? ? [0, ? ] ,那么 ? ? ? ? ? 。 故, cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? 实际上,当 ? ? ? 任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可 转化 ? ? [0,2? ) ,使 cos? ? cos(? ? ? ) 。 综上所述, cos(? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? ,对于任意的角 ? , ? 都成立。 跟踪练习:利用两角差的余弦公式, 求 : cos15?, cos75?
2

问 题 4 : cos 75? ? ? 根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 , 你 可 以 猜 猜
cos(? ? ? ) ? ?

提示:令 ? ? ? ? (二)两角和的余弦公式
cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?

结论: 两角和与差的余弦公式 C? ??
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

注: 1、公式中两边的符号正好相反(一正一负) 2、式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在 后。 四 例题讲解 例 1、求值
(1).cos105 ? (2).cos54? cos36? ? sin 54? sin 36? (3).cos50? cos5? ? sin 50? sin 5? (4).cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 2 ? 3 3 例2、已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ) ,求 cos(? ? ? ) 的值。 3 2 5 2

注意:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题. 例 3、已知 sin ? ?
5 ? 3 3 , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ) ,求 cos(? ? ? ) 的值。 13 2 5 2

变式思考
4 5 , cos( ? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 5 13 12 3 cos ? ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 2.已知 ? , ?都是锐角, 13 5 cos ? ? 1.已知 ? , ?都是锐角,
3

五 课堂小结 让学生谈谈自己在本节课上的收获和体会。 提示: (1)公式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; (2)前后知识的联系; (3)学完后能解决的问题. 六 课堂作业 教材2.2练习第2,3,4题

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