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1.3.1逻辑联结词“且”


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在数学中,有时会使用 一些联结词 “且”“或”“非”, 在生活用语中,我们也使用这些联结 词,但表达和用法在数学中的含义和用法

不尽相同.

本章中主要学习三个逻辑联

结词,知识结构如下:
简单的逻辑联结词







数学中的“且”同于语文中的“而且” 例如:鲁迅不仅是文学家而且是革命家. 在数学中不过是把句子拆开了, 并赋予了一些符号,如下:

p:鲁迅是文学家 q:鲁迅是革命家 p∧q:鲁迅不仅是文学家而且是 革命家.

然而… ? 判断这句话真假的方法也相同. ? 显然,在数学上,逻辑性显得更强.

? 因为,特定的逻辑连接词和清晰的 逻辑思维把它们诠释的更为严密.

p:鲁迅是文学家 q:鲁迅是革命家

p ? q:鲁迅不仅是文学家而且是革命家.
这句话中p为真,q为真, 就说明这句话是对的.

同学们体会到数学的逻辑性了吗?
接下来,就让我们深入学习数学中

简单的逻辑联结词“且”吧…

教学目标
知识与能力 ? 使同学们掌握逻辑联结词“且”的运用. ? 培养同学们严密的逻辑思维.

过程与方法 ? 通过丰富的实例,让学生合作探讨. ? 结合前面学习的命题知识,进一步 学习联结词“且”. 情感与价值观 ? 培养学生学会从“感性认识”到“理 性认识”过程中获取新知.

教学重难点
重点 ? 逻辑联结词“且”的概念理 解. ? 利用“且”来判断命题的真 假. 难点 ? 灵活运用“且”来判断命题的真假.

下列三个命题间有什么关系?
(1) 12能被3整除; (2) 12能被4整除; (3) 12能被3整除且能被4整除.

可以看出… 命题(3)是由 命题(1)和(2)用 联结词“且”连接起来的.

一般地,用逻辑联结词 “且” 把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到 一个新命题,记作:

p?q
读作“ p且 q ”.

然而… 命题 p ∧ q 的真假如何确定呢?

规定:
p q

?当p,q都是真命题时,

p ? q 是真命题;
?当p,q 两个命题中有一个命题是假命题时,

p ? q 是假命题.

因此
(1) 12能被3整除; (2) 12能被4整除;

中的三个命题

(3) 12能被3整除且能被4
整除.

例 1

用逻辑联结词“且”改写下 列命题,并判断其真假.

(1) p:函数y=x3是奇函数;

q:函数y=x3是减函数.
(2) p:三角形三条中线相等; q:三角形三条中线交于一点. (3) p:相似三角形的面积相等; q:相似三角形的周长相等.

( 1)

p:函数y=x3是奇函数;

y

q:函数y=x3是减函数.

x

解:

p∧q:函数y=x3 是奇函数且是
减函数 .

p是真命题,q是假命题,
p∧q是假命题.

(2) p:三角形三条中线相等;

解:

q:三角形三条中线交于一点.

p∧q:三角形三条中线相等且交于一点

p是假命题,q是真命题,
p∧q是假命题.

(3) p:相似三角形的面积相等;

q:相似三角形的周长相等.

解:
p∧q:相似三角形的面积相等且周长相等

p是假命题,q是假命题,
p∧q是假命题.

例 2

将下列命题用“且”联结成新命 题,并判断它们的真假:

(1) p:平行四边形的对角线互相平分,

q:平行四边形的对角线相等.
(2) p:菱形的对角线互相垂直,

q:菱形的对角线互相平分.
(3) p:35是15的倍数, q:35是7的倍数.

(1) p:平行四边形的对角线互相平分, q:平行四边形的对角线相等.

解:
p∧q:平行四边形的对角线相互平分且相等

p是真命题,q是假命题,
p∧q是假命题.

(2) p:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分.

解:
p∧q:菱形的对角线互相垂直且相互平分 p是真命题,q是真命题, p∧q是真命题.

(1) p:35是15的倍数

q:35是7的倍数

解:
p∧q: 35是15的倍数且是7的倍数. p是假命题,q是真命题, p∧q是假命题.

例 3

用逻辑联结词“且”改写下列 命题,并判断它们的真假:

(1) 1既是奇数,又是素数; (2) 2 和 3 都是素数.

(1) 1既是奇数,又是素数;

解:

(1)原命题可以写成:1是奇数且是素数. 所以: p :1是奇数,q:1是素数. 因为: p是真命题,q是假命题

所以: p∧q是假命题,即原命题为真.

(2) 2 和 3 都是素数.

解:
(2)原命题可以写成:2是素数且3是素数.
所以: p : 2是素数,q: 3是素数

因为: p是真命题,q是真命题
所以: p∧q是真命题,即原命题为真.

课堂小结
“且”的概念 : 逻辑联结词 “且” :

p ? q 读作:p且q

“且”的判断方法 :
?当p,q都是真命题时, p ? q 是真命题; ?当p,q 两个命题中有一个 命题是假命题时, p ? q 是假命题.

命题 p ∧ q 用真值表表示如下:
命题p 真 命题q 真 命题p ∧ q 真

真 假


假 真


假 假


课堂练习
1.下列说法正确的有_______个.[ C ] ①a≥0是指a>0且a=0

②x2≠1是指x≠1且x≠-1
③x2≤0是指x=0

④x· y≠0是指x,y不都是0
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.由下列各组命题构成“p或q”, “p且q”,“非p”形式的复合命题 中, “p或q”为真,p且q为假,非p 为真的是[ B ] A.p:3是偶数;q:4是奇数 B.p:3+2=6;q:5>3

填空题: ? 命题“非空集 A∩B 中的元素既是A 中的元素,也是 B 中的元素” 是

p且q 的形式. ________

解答题: ? 不仅这些文学作品艺术上有缺点,
而且政治上有错误. p且q形式的复合命题是? 解:p且q形式的复合命题; p:这些文学作品艺术上有缺点 q:这些文学作品政治上有错误.

教材习题答案
判断下列命题的真假: (1)p:12是48的约数

解:q:12是36的约数 因为p是真命题,q也是真命题, p ∧ q是真命题, 所以原命题是真命题

判断下列命题的真假:

(2)p:矩形的对角线互相垂直
q:矩形的对角线平分

解:因为p是真命题, q也是真命题, p∧q真命题, 所以原命题是真命题

通过这节课的学习,我们可以解决习题

A组:第1题的(2)(4)
第2题的(1)

B组:(2)(4)
答案如下:

习题1.2

A组
1.(2)4∈{ 2,3 } 且 2∈{ 2,3 } 是 假命题 (4)2是偶数且3不是素数是假命题

2.(1)真命题

B组

(2)真命题,
因为p为真命题q为真命题所以

p∧q为真命题
(4)假命题,

因为p为假命题q为假命题所以
p∧q为假命题


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