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第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知直线 l⊥平面 α ,则经过 l 且和 α 垂直的平面 ( C A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 ) D.不存在 [解析] 经过 l 的平面都与 α 垂直,而经过 l 的平面有无数个,故选 C. 2.已知 α 、β 是平面,m、n 是直线,给出下列表述: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ; ②若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ③如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中表述正确的个数是( B A.1 B.2 ) C.3 D.4 [解析] ①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;②中,m,n 不一定是相交直 线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;③中,还可能 n∥α ,所以③不正确; ④中,由于 n∥m,n?α ,m? α ,则 n∥α ,同理 n∥β ,所以④正确. 3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA =AC,则二面角 P-BC-A 的大小为 ( C ) A.60° B.30° C.45° D.15° [解析] 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC 又 PA∩AC=C, ∴BC⊥平面 PAC,∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角.在 Rt△PAC 中,由 PA=AC 得 ∠PCA=45°,故选 C. 4.在棱长都相等的四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则下面四 个结论中不成立的是 ( C ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 1 [解析] 可画出对应图形,如图所示,则 BC∥DF,又 DF? 平面 PDF,BC?平面 PDF,∴ BC∥平面 PDF,故 A 成立;由 AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知 DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面 PAE,故 B 成立;又 DF? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PAE,故 D 成立. 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 上的点,则下列直线中一定与 CE 垂直 的是 ( B ) A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A [解析] 在正方体中,AA1⊥平面 ABCD, ∴AA1⊥BD. 又正方形 ABCD 中,BD⊥AC,且 AA1∩AC=A, ∴BD⊥平面 AA1C1C. ∵E∈A1C1,∴E∈平面 AA1C1C, ∴CE? 平面 AA1C1C, ∴BD⊥CE. 二、填空题 6.在三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如右图所示,则在三棱锥 P -ABC 的四个面中,互相垂直的面有__3__对. [解析] ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, ∴PA⊥平面 PBC, ∵PA? 平面 PAB,PA? 平面 PAC, ∴平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAC⊥平面 PBC.同理可证:平面 PAB⊥平面 PAC. 7.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则二面角 D- BC-A 的大小为__90°__. 2 [解析] 如图,由题意知 AB=AC=BD=CD= 3,BC=AD=2. 取 BC 的中点 E

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