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2017_2018学年高中数学2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业新人教A版必修2

第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知直线 l⊥平面 α ,则经过 l 且和 α 垂直的平面 ( C A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 ) D.不存在 [解析] 经过 l 的平面都与 α 垂直,而经过 l 的平面有无数个,故选 C. 2.已知 α 、β 是平面,m、n 是直线,给出下列表述: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ; ②若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ③如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中表述正确的个数是( B A.1 B.2 ) C.3 D.4 [解析] ①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;②中,m,n 不一定是相交直 线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;③中,还可能 n∥α ,所以③不正确; ④中,由于 n∥m,n?α ,m? α ,则 n∥α ,同理 n∥β ,所以④正确. 3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA =AC,则二面角 P-BC-A 的大小为 ( C ) A.60° B.30° C.45° D.15° [解析] 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC 又 PA∩AC=C, ∴BC⊥平面 PAC,∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角.在 Rt△PAC 中,由 PA=AC 得 ∠PCA=45°,故选 C. 4.在棱长都相等的四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则下面四 个结论中不成立的是 ( C ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 1 [解析] 可画出对应图形,如图所示,则 BC∥DF,又 DF? 平面 PDF,BC?平面 PDF,∴ BC∥平面 PDF,故 A 成立;由 AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知 DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面 PAE,故 B 成立;又 DF? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PAE,故 D 成立. 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 上的点,则下列直线中一定与 CE 垂直 的是 ( B ) A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A [解析] 在正方体中,AA1⊥平面 ABCD, ∴AA1⊥BD. 又正方形 ABCD 中,BD⊥AC,且 AA1∩AC=A, ∴BD⊥平面 AA1C1C. ∵E∈A1C1,∴E∈平面 AA1C1C, ∴CE? 平面 AA1C1C, ∴BD⊥CE. 二、填空题 6.在三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如右图所示,则在三棱锥 P -ABC 的四个面中,互相垂直的面有__3__对. [解析] ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, ∴PA⊥平面 PBC, ∵PA? 平面 PAB,PA? 平面 PAC, ∴平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAC⊥平面 PBC.同理可证:平面 PAB⊥平面 PAC. 7.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则二面角 D- BC-A 的大小为__90°__. 2 [解析] 如图,由题意知 AB=AC=BD=CD= 3,BC=AD=2. 取 BC 的中点 E,连接 DE、AE,则 AE⊥BC,DE⊥BC,所以∠DEA 为所求二面角的平面角. 易得 AE=DE= 2,又 AD=2, 所以∠DEA=90°. 三、解答题 8.如图所示,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=AC=2BD,M 是 AE 的 中点. (1)求证:DE=DA; (2)求证:平面 BDM⊥平面 ECA; [解析] (1)取 EC 的中点 F,连接 DF. ∵CE⊥平面 ABC, ∴CE⊥BC.易知 DF∥BC,∴CE⊥DF. ∵BD∥CE,∴BD⊥平面 ABC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, EF= CE=DB,DF=BC=AB, ∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故 DE=DA. (2)取 AC 的中点 N,连接 MN、BN,则 MN 綊 CF. 1 2 ∵BD 綊 CF,∴MN 綊 BD, ∴N∈平面 BDM. ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN. 3 又∵AC⊥BN,EC∩AC=C,∴BN⊥平面 ECA. 又∵BN? 平面 BDM,∴平面 BDM⊥平面 ECA. 9.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PD=a,PA=PC = 2a, (1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (3)求二面角 P-AC-D 的正切值. [解析] (1)∵PD=a,DC=a,PC= 2a, ∴PC =PD +DC , ∴PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD,又 AD∩DC=D, ∴PD⊥平面 ABCD. (2)由(1)知 PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AC,而四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,又 BD∩PD=D, ∴AC⊥平面 PDB. 同时,AC? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBD. (3)设 AC∩BD=O,连接 PO. 2 2 2 由 PA=PC,知 PO⊥AC. 又由 DO⊥AC,故∠POD 为二面角 P-AC-D 的平面角.易知 OD= 在 Rt△PDO 中,tan∠POD= 2 a. 2 PD a = = 2. OD 2 a 2 B 级 素养提升 4 一、选择题 1.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法中,正确的是 ( B ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线

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