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2014年四川省眉山市中考数学试卷及答案(Word解析版)


四川省眉山市 2014 年中考数学试卷
注意事项: 1.本试卷分 A 卷和 B 卷两部分,A 卷共 100 分,B 卷共 20 分,满分 120 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号;答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将 答案书写在答题卡规定的位置上.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 4.不允许使用计算器进行运算,凡无精确度要求的题目,结果均保留准确值.

A 卷(共 100 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1. ?4 的相反数是 A. ?

1 4
.

B.

1 4

C.4

D. ? 4

考点:相反数. 分析:根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答. 解答:解:﹣4 的相反数是 4. 故选:A. 点评:本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键 2.下列计算正确的是 A. x ? x ? x
2 3 5

B. x ? x ? x
2 3

6

C. ( x2 )3 ? x6

D. x ? x ? x
6 3

2

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 根据合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案. 解答: 2 3 解:A、x +x ,不是同类项不能相加,故 A 选项错误; 2 3 5 B、x ?x =x ,故 B 选项错误; 2 3 6 C、 (x ) =x ,故 C 选项正确; 6 3 3 D、x ÷x =x ,故 D 选项错误. 故选:C. 点评: 此题考查了合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识,熟记法则是解 题的关键
.

1 / 19

3. 方程 3x ? 1 ? 2 的解是 A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? ?

1 3

D. x ?

1 3

考点: 解一元一次方程. 专题: 计算题. 分析: 方程移项合并,将 x 系数化为,即可求出解. 解答: 解:方程 3x﹣1=2, 移项合并得:3x=3, 解得:x=1. 故选:A 点评: 此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为 1, 求出解.
.

4.函数 y ? 3 ? x 中自变量 x 的取值范围是 A. x ? 3 B. x ≤ 3 C. x ? 3 D. x ≥ 3 考点: 函数自变量的取值范围. 分析: 函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数. 解答: 解:根据题意得:3﹣x≥0, 解得 x≤3. 故选:D. 点评: 考查了函数自变量的范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 5.一组数据如下:3,6,7,2,3,4,3,6,那么这组数据的中位数和众数分别是 A.3,3 B.3.5,3 C.4,3 D.3.5,6 考点: 众数;中位数. 分析: 根据中位数和众数的定义求解即可. 解答: 解:数据从小到大排列是:2,3,3,3,4,6,6,7, 一共 8 个数,中间的数是 3,4, 则中位数是: (3+4)÷2=3.5; 故选:B.
. .

2 / 19

点评: 本题为统计题,考查众数与中位数的意义.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;中位 数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平 均数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列, 就会出错. 6.下列命题中,真命题是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.一组邻边相等,并且有一个内角为直角的四边形是正方形 考点: 命题与定理. 分析: 利用矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项. 解答: 解:A、对角线相等的平行四边形才是矩形,故错误; B、对角线互相垂直的平分的四边形是菱形,正确,是真命题; C、一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形,故错误,是假命题; D、一组邻边相等,并且有一个内角为直角的四边形也可能是直角梯形,故错误. 故选:B. 点评: 本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定 定理,属于基础定理,难度不大
.

7.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D, AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E,若∠E=35°,则∠BAC 的 度数为 A.40° B.45° C.50° D.55° E B 考点: 第 7 题图 平行线的性质;三角形的外角性质. 分析: 首先根据三角形的外角性质得到∠ 1+∠ 2=∠ 4,然后根据平行线的性质得到∠ 3=∠ 4 求解. 解答: 解:根据三角形的外角性质, ∴ ∠ 1+∠ 2=∠ 4=110°, ∵ a∥ b, ∴ ∠ 3=∠ 4=110°, 故选:A.
.

A D C

3 / 19

点评: 本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质,属于基础题,难度较小.

8.一个立体图形的三视图如图所示,根据图中 主 视 数据求得这个立体图形的侧面积为 图 A. 12? B. 15? C. 18? D. 24?
6 俯 视 图

4

4

左 视 图

第 8 题图 考点: 圆锥的计算;由三视图判断几何体. 专题: 计算题. 分析: 从主视图以及左视图都为一个三角形,俯视图为一个圆形看,可以确定这个几何体为一个圆 锥,由三视图可知圆锥的底面半径为 3,高为 4,故母线长为 5,据此可以求得其侧面积. 解答: 解:由三视图可知圆锥的底面半径为 3,高为 4,所以母线长为 5, 所以侧面积为 πrl=3×5π=15π, 故选:B. 点评: 本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积.牢记公式是解题的关键,难度不大
.

9.甲、乙两地之间的高速公路全长 200 千米,比原来国道的长度减少了 20 千米.高速公路 通车后, 某长途汽车的行驶速度提高了 45 千米/时, 从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半. 设 该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x 千米/时,根据题意,下列方程正确的是 A.

200 180 1 ? ? x ? 45 x 2

B.

200 220 1 ? ? x ? 45 x 2

4 / 19

C.

200 180 1 ? ? x x ? 45 2

D.

200 220 1 ? ? x x ? 45 2

考点: 由实际问题抽象出分式方程. 专题: 应用题. 分析: 设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x 千米/时, 根据“甲、 乙两地之间的高速公路全长 200 千米,比原来国道的长度减少了 20 千米.高速公路通车后,某长途汽车的行驶速度提高了 45 千米/时,从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半”,可列出方程. 解答: 解:设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x 千米/时,根据题意得
.

=

?.

故选 D. 点评: 本题考查由实际问题抽象出分式方程,关键是设出速度,以时间做为等量关系列方程. 10.如图,△ABC 中,∠C=70°,∠B=30°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转后,得到△AB?C?,且 C?在边 BC 上,则∠B?C?B 的度数为 A.30° B.40° C.50° D.60°
B' A

B

C'

C

第 10 题图 考点: 旋转的性质;等腰三角形的性质. 专题: 几何图形问题. 分析: 利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠ AC′ C=∠ AC′ B′ =67°,进而得出∠ B′ C′ B 的度数. 解答: 解:∵ 将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转后,得到△ AB′ C′ , ∴ AC′ =AC, ∴ ∠ C=∠ C′ =67°, ∴ ∠ AC′ B=180°﹣67°=113°, ∵ ∠ AC′ C=∠ AC′ B′ =67°, ∴ ∠ B′ C′ B=∠ AC′ B﹣∠ AC′ B′ =113°﹣67°=46°. 故选:B. 点评: 此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质,得出∠ AC′ C=∠ AC′ B′ =67°是解题关键
.

C O
5 / 19

B A

D

11.如图,AB、AC 是⊙O 的两条弦,∠BAC=25°,过点 C 的 切线与 OB 的延长线交于点 D,则∠D 的度数为 A.25° B.30° C.35° D.40° 第 11 题图 考点: 切线的性质. 专题: 计算题;几何图形问题. 分析: 连接 OC,根据切线的性质求出∠ OCD=90°,再由圆周角定理求出∠ COD 的度数,根据三角形 内角和定理即可得出结论. 解答: 解:连接 OC, ∵ CD 是⊙ O 的切线,点 C 是切点, ∴ ∠ OCD=90°. ∵ ∠ BAC=25°, ∴ ∠ COD=50°, ∴ ∠ D=180°﹣90°﹣50°=40°. 故选 D.
.

点评: 本题考查的是切线的性质,熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键.

12.如图,直线 y ?

1 k x ? 1 与 x 轴交于点 B,双曲线 y ? ( x ? 0) 2 x k 交于点 A,过点 B 作 x 轴的垂线,与双曲线 y ? 交于点 C, x

y

y=

k x C

A 且 AB=AC,则 k 的值为 A.2 B.3 C.4 D.6 O B x 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 专题: 数形结合. 分析: 由题意得:BC 垂直于 x 轴,点 A 在 BC 的垂直平分线上,则 B(2,0) 、C(2, ) ,A(4, ) , 将 A 点代入直线 y=x﹣1 求得 k 值.
.

6 / 19

解答: 解:由于 AB=AC,BC 垂直于 x 轴,则点 A 在 BC 的垂直平分线上, B(2,0) 、C(2, ) ,A(4, ) , 将 A 点代入直线 y=x﹣1 得:k=4. 故选 C. 点评: 本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义,这里 AB=AC 是解决此题的突破口,题目比较好, 有一定的难度

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第Ⅱ卷(非选择题

共 64 分)

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分.将正确答案直接填在答题卡相应位 置上. 13.某种生物孢子的直径为 0.00058m.把 0.00058 用科学记数法表示为______________. 考点: 科学记数法—表示较小的数. 分析:
.

绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10 ,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数 所决定. 解答: 解:0.00058=5.8×10 ; ﹣4 故答案为:5.8×10 . 点评: 本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10 ,其中 1≤|a|<10,n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 14.分解因式: xy 2 ? 25x =__________________. 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 专题: 因式分解. 分析: 原式提取公因式后,利用平方差公式分解即可. 解答: 解:原式=x(y+5) (y﹣5) . 故答案为:x(y+5) (y﹣5) 点评: 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
.

﹣n

﹣4

﹣n

15.将直线 y ? 2 x ? 1 平移后经过点(2, 1 ) ,则平移后的直线解析式为______________.

考点: 一次函数图象与几何变换. 分析: 根据平移不改变 k 的值可设平移后直线的解析式为 y=2x+b,然后将点(2,1)代入即可得出 直线的函数解析式. 解答: 解:设平移后直线的解析式为 y=2x+b. 把(2,1)代入直线解析式得 1=2×2+b, 解得 b=﹣3. 所以平移后直线的解析式为 y=2x﹣3.
.

8 / 19

故答案为 y=2x﹣3. 点评: 本题考查了一次函数图象与几何变换及待定系数法去函数的解析式,掌握直线 y=kx+b(k≠0) 平移时 k 的值不变是解题的关键. A 16.如图,△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,CF 平分 D E ∠ACB 交 DE 于点 F,若 AC=8,则 EF 的长为__________. F
B C

第 16 题图 考点: 线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质. 专题: 几何图形问题. 分析: 根据平行四边形的性质,得知 AO=OC,由于 OE⊥ AC,根据线段垂直平分线的性质,可知 AE=EC,则△ CDE 的周长为 CD 与 AD 之和,即可得解. 解答: 解:根据平行四边形的性质, ∴ AO=OC, ∵ OE⊥ AC, ∴ OE 为 AC 的垂直平分线, ∴ AE=EC, ∴ △ CDE 的周长为:CD+AD=5+3=9, 故答案为:8. 点评: 本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质,熟记各性质与定理是解题的关键.
.

17.已知关于 x 的方程 x ? 6x+k ? 0 的两个根分别是 x1 、 x2 ,
2



1 1 ? ? 3 ,则 k 的值为___________. x1 x2

考点: 根与系数的关系. 专题: 计算题. 分析:

.

首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积,然后把

+

=3 转换为

=3,然后利用前面的等式即可得到关于 k 的方程,解方程即可求出结果. 解答:

9 / 19

解:∵ 关于 x 的方程 x +6x+k=0 的两个根分别是 x1、x2, ∴ x1+x2=﹣6,x1x2=k, ∵ + = =3,

2



=3,

∴ k=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使 G D 用的解题方法.通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题. A
F

18.如图,菱形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点, B E C 过点 E 作 EG⊥AD 于 G,连接 GF.若∠A=80°, 则∠DGF 的度数为___________. 第 18 题图 考点: 菱形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 专题: 几何图形问题. 分析: 延长 AD、EF 相交于点 H,根据线段中点定义可得 CF=DF,根据两直线平行,内错角相等可 得∠ H=∠ CEF,然后利用“角角边”证明△ CEF 和△ DHF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 EF=FH,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 GF=FH,根据等边对等角可得 ∠ DGF=∠ H, 根据菱形的性质求出∠ C=∠ A, CE=CF, 然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ CEF, 从而得解. 解答: 解:如图,延长 AD、EF 相交于点 H, ∵ F 是 CD 的中点, ∴ CF=DF, ∵ 菱形对边 AD∥ BC, ∴ ∠ H=∠ CEF, 在△ CEF 和△ DHF 中,
.

, ∴ △ CEF≌ △ DHF(AAS) , ∴ EF=FH, ∵ EG⊥ AD, ∴ GF=FH, ∴ ∠ DGF=∠ H, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ ∠ C=∠ A=80°,
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∵ 菱形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点, ∴ CE=CF, 在△ CEF 中,∠ CEF=(180°﹣80°)=50°, ∴ ∠ DGF=∠ H=∠ CEF=50°. 故答案为:50°.

点评: 本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半的性质,作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键,也是本题的难点 三、本大题共 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置.

?1? 19.计算: 9 ? 4 ? ? ? ? ?5 ? (? ? 3)0 . ?2?
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用平方根定义计算,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用绝对值的代数 意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=3﹣4×4+5+1 =3﹣16+5+1 =﹣7. 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
.

?2

?2 x ? 6 ? 3x, ? 20.解不等式组: ? x ? 2 x ? 1 ? ≥ 0. ? 4 ? 5
考点: 解一元一次不等式组. 分析: 本题可根据不等式组分别求出 x 的取值,然后画出数轴,数轴上相交的点的集合就是该不等 式的解集.若没有交集,则不等式无解.
.

11 / 19

解答: 解:不等式组可以转化为: , 在坐标轴上表示为:

∴ 不等式组的解集为﹣6<x≤13. 点评: 求不等式的公共解,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小 小解不了 四、本大题共 2 个小题, 每小题 8 分,共 16 分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置. 21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A( ?3 ,2) , y B( ?1 ,4) ,C(0,2) . (1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°, B 画出旋转后对应的△A1B1C; (2)平移△ABC,若 A 的对应点 A2 的坐标 A C 为( ?5 , ?2 ) ,画出平移后的△A2B2C2; O x (3)若将△A2B2C2 绕某一点旋转可以得到 △A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标.

考点: 作图-旋转变换;作图-平移变换. 专题: 作图题. 分析:

.

(1)根据网格结构找出点 A、B 绕点 C 旋转 180°后的对应点 A1、B1 的位置,然后顺次连接 即可; (2)根据网格结构找出点 A、B、C 平移后的位置,然后顺次连接即可; (3)根据旋转的性质,确定出旋转中心即可. 解答: 解: (1)△ A1B1C 如图所示; (2)△ A2B2C2 如图所示; (3)如图所示,旋转中心为(﹣1,0) .

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点评: 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,熟练掌握网格结构以及旋转的性质,准 确找出对应点的位置是解题的关键.

22.如图,甲建筑物的高 AB 为 40m,AB⊥BC,DC⊥BC, 某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动, 从 B 点测得 D 点的仰角为 60°,从 A 点测得 D 点的 仰角为 45°.求乙建筑物的高 DC.

D

A 甲

45°



60° C 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 专题: 几何图形问题. 分析: 过点 A 作 AE⊥ CD 于点 E,可得四边形 ABCE 为矩形,根据∠ DAE=45°,可得 AE=ED,设 AE=DE=xm,则 BC=xm,在 Rt△ BCD 中,利用仰角为 60°,可得 CD=BC?tan60°,列方程求出 x 的值,继而可求得 CD 的高度. 解答: 解:过点 A 作 AE⊥ CD 于点 E, ∵ AB⊥ BC,DC⊥ BC, ∴ 四边形 ABCE 为矩形, ∴ CE=AB=40m, ∵ ∠ DAE=45°, ∴ AE=ED, 设 AE=DE=xm,则 BC=xm, 在 Rt△ BCD 中,
.

B

13 / 19

∵ ∠ DBC=60°, ∴ CD=BC?tan60°, 即 40+x= x, 解得:x=20( +1) , 则 CD 的高度为:x+40=60+20 (m) . 答:乙建筑物的高 DC 为(60+20 )m.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利用 三角函数的知识解直角三角形,难度一般.

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五、本大题共 2 个小题,每小题 9 分,共 18 分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置. 23.随着社会经济的发展,汽车逐渐走入平常百姓家.某数学兴趣小组随机抽取了我市某单 位部分职工进行调查,对职工购车情况分 4 类(A:车价 40 万元以上;B:车价在 20—40 万元;C:车价在 20 万元以下;D:暂时未购车)进行了统计,并将统计结果绘制成以下 条形统计图和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题: (1)调查样本人数为__________,样本中 B 类人数百分比是_______,其所在扇形统计图中 的圆心角度数是________; (2)把条形统计图补充完整; (3)该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为 2 人和 3 人,现从中选 2 人去参观车展,用 列表或画树状图的方法,求选出的 2 人来自不同科室的概率.
y 30 20 10 4 O A B C 6 D x C 56% 28 B A 8% D 12%

考点: 条形统计图;扇形统计图;列表法与树状图法. 分析: (1)根据调查样本人数=A 类的人数除以对应的百分比.样本中 B 类人数百分比=B 类人数除 以总人数,B 类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B 类人数的百分比×360°. (2)先求出样本中 B 类人数,再画图. (3)画树状图并求出选出的 2 人来自不同科室的概率. 解答: 解: (1)调查样本人数为 4÷8%=50(人) , 样本中 B 类人数百分比(50﹣4﹣28﹣8)÷50=20%, B 类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是 20%×360°=72° 故答案为:50,20%,72°. (2)如图,样本中 B 类人数=50﹣4﹣28﹣8=10(人)
.

(3)画树状图为:
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共有 20 种可能的结果数,其中选出选出的 2 人来自不同科室占 12 种, 所以选出的 2 人来自不同科室的概率= =.

点评: 此题主要考查了条形统计图,扇形统计图及树状图求概率,根据题意吧了解统计表中的数据 是解决问题的关键

24. “丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现: 如果每箱产品盈利 10 元,每天可售出 50 箱;若每箱产品涨价 1 元,日销售量将减少 2 箱. (1)现该销售点每天盈利 600 元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元? (2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?

考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)设每箱应涨价 x 元,得出日销售量将减少 2x 箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依 题意得方程求解即可; (2)设每箱应涨价 x 元,得出日销售量将减少 2x 箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依 题意得函数关系式,进而求出最值. 解答: 解: (1)设每箱应涨价 x 元, 则每天可售出(50﹣2x)箱,每箱盈利(10+x)元, 依题意得方程: (50﹣2x) (10+x)=600, 2 整理,得 x ﹣15x+50=0, 解这个方程,得 x1=5,x2=10, ∵ 要使顾客得到实惠,∴ 应取 x=5, 答:每箱产品应涨价 5 元.
.

(2)设利润为 y 元,则 y=(50﹣2x) (10+x)=﹣2x +30x+500,

2

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当 x=﹣

=﹣

=7.5(元) ,

∴ 每箱产品应涨价 7.5 元才能获利最高. 点评: 此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用,解答此题的关键是熟知等量关系是:盈 利额=每箱盈利×日销售量.

B 卷(共 20 分)
一、本大题共 1 个小题,共 9 分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置. 25.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,Rt△BAP 中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP 交 AC 于点 O,E 为 AC 上一点,且 AE=OC. C P (1)求证:AP=AO; O (2)求证:PE⊥AO; (3)当 AE=

3 AC,AB=10 时,求线段 BO 的长度. 8

E B A

二、本大题共 1 个小题,共 11 分.请把解答过程写在答题卡上相应的位置. 26. 如图, 已知直线 y ? ?3x ? 3 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 C, 抛物线 y ? ax ? bx ? c 经
2

过点 A 和点 C,对称轴为直线 l: x ? ?1 ,该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 在直线 l 上,求出使△PAC 的周长最小的点 P 的坐标; (3)点 M 在此抛物线上,点 N 在 y 轴上,以 A、B、M、N 为顶点的四边形能否为平行四边形? 若能,直接写出所有满足要求的点 M 的坐标;若不能,请说明理由.
y l C

B

O

A

x

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考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定 与性质. 分析: (1)根据等角的余角相等证明即可; (2)过点 O 作 OD⊥ AB 于 D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CO=DO,利 用“SAS”证明△ APE 和△ OAD 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ AEP=∠ ADO=90°,从而得 证; (3) 设 C0=3k, AC=8k, 表示出 AE=CO=3k, AO=AP=5k, 然后利用勾股定理列式求出 PE=4k, BC=BD=10﹣4k, 再根据相似三角形对应边成比例列式求出 k=1 然后在 Rt△ BDO 中, 利用勾股 定理列式求解即可. 解答: (1)证明:∵ ∠ C=90°,∠ BAP=90° ∴ ∠ CBO+∠ BOC=90°,∠ ABP+∠ APB=90°, 又∵ ∠ CBO=∠ ABP, ∴ ∠ BOC=∠ ABP, ∵ ∠ BOC=∠ AOP, ∴ ∠ AOP=∠ ABP, ∴ AP=AO;
.

(2)证明:如图,过点 O 作 OD⊥ AB 于 D, ∵ ∠ CBO=∠ ABP, ∴ CO=DO, ∵ AE=OC, ∴ AE=OD, ∵ ∠ AOD+∠ OAD=90°,∠ PAE+∠ OAD=90°, ∴ ∠ AOD=∠ PAE, 在△ AOD 和△ PAE 中, , ∴ △ AOD≌ △ PAE(SAS) , ∴ ∠ AEP=∠ ADO=90° ∴ PE⊥ AO; (3)解:设 AE=OC=3k, ∵ AE=AC,∴ AC=8k, ∴ OE=AC﹣AE﹣OC=2k, ∴ OA=OE+AE=5k. 由(1)可知,AP=AO=5k. 如图,过点 O 作 OD⊥ AB 于点 D, ∵ ∠ CBO=∠ ABP,∴ OD=OC=3k. 在 Rt△ AOD 中,AD= = =4k.

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∴ BD=AB﹣AD=10﹣4k. ∵ OD∥ AP, ∴ ,即

∵ AB=10,PE=AD, ∴ PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k, 由∠ CBO=∠ ABP,根据轴对称 BC=BD=10﹣4k, ∵ ∠ BOC=∠ EOP,∠ C=∠ PEO=90°, ∴ △ BCO∽ △ PEO, ∴ = ,即 = ,

解得 k=1. ∴ BD=10﹣4k=6,OD=3k=3, 在 Rt△ BDO 中,由勾股定理得: BO= = =3 .

点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股 定理,相似三角形的判定与性质, (2)作辅助线构造出过渡线段 DO 并得到全等三角形是解题 的关键, (3)利用相似三角形对应边成比例求出 k=1 是解题的关键.

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