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二项式系数性质的应用强化训练

二项式系数性质的应用强化训练 1.(x2+3x+2)5 展开式中 x 项的系数是________. 答案 240 解析 (x2+3x+2)5=[(x2+3x)+2]5=C05(x2+3x)5+C15(x2+3x)4·2+C25(x2 +3x)3·22+C35(x2+3x)2·23+C45(x2+3x)·24+C55·25, 显然在(x2+3x)n 中,n>1 时展开式中不含 x 项. ∴x 的系数为 C45·3·24=240. 知识点二 多个二项式相乘问题 2.(x2+2)???x12-1???5 的展开式的常数项是________. 答案 3 解析 (x2+2)???x12-1???5 =x2???x12-1???5+2???x12-1???5, 对于 x2???x12-1???5 的通项为 Tr+1=x2Cr5???x12???5-r·(-1)r =(-1)rCr5x-8+2r. 令-8+2r=0,即 r=4, 即 T5=(-1)4C45=5. 对 2???x12-1???5 的通项为 T′r+1=2Cr5???x12???5-r·(-1)r. 令 5-r=0,即 r=5,T6′=-2. ∴(x2+2)???x12-1???5 的展开式的常数项为 5-2=3. 3.在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________. 答案 120 解析 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C36C04+C26C14+C16C24+C06C34=120. 知识点三 近似计算与整除问题 4.(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是( ) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 答案 D 解析 (1.05)6=(1+0.05)6=C06+C16×0.05+C26×0.052+C36×0.053+…=1 +0.3+0.0375+0.0025+…≈1.34. 5.233 除以 9 的余数是________. 答案 8 解析 233=(23)11=811=(9-1)11 =C011911×(-1)0+C111910×(-1)1+…+C110191×(-1)10+C111190×(-1)11. 分析易得:其展开式中 C011911×(-1)0+C111910×(-1)1+…+C110191×(-1)10 能 被 9 整除,而最后一项为-1,则 233 除以 9 的余数是 8. 6.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512015+a 能被 13 整除,则 a=________. 答案 1 解析 ∵512015+a=(52-1)2015+a=C02015522015-C12015522014+C22015522013-…+C22001145 521-1+a, 能被 13 整除,0≤a<13. 故-1+a 能被 13 整除,故 a=1. 7.求证 2n+2·3n+5n-4 能被 25 整除(n∈N*). 证明 原式=4(5+1)n+5n-4 =4(C0n·5n+C1n·5n-1+C2n·5n-2+…+Cnn)+5n-4=4(C0n·5n+C1n·5n-1+…+ Cnn-2·52)+25n,以上各项均为 25 的整数倍,故得证. 知识点四 二项式系数的应用 8.已知 m,n 是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 的展开式中 x 的系数为 7, (1)对于使 f(x)的 x2 的系数为最小的 m,n,求出此时 x3 的系数; (2)利用上述结果,求 f(0.003)的近似值;(精确到 0.01) (3)已知(1+2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,求 b a. 解 (1)根据题意得:C1m+C1n=7, 即 m+n=7,① f(x)中的 x2 的系数为 C2m+C2n=m m-1 2 +n n-1 2 m2+n2-m-n = 2 . 将①变形为 n=7-m 代入上式得:x2 的系数为 m2-7m+21=???m-72???2+345, 故当 m=3,或 m=4 时,x2 的系数的最小值为 9. 当 m=3、n=4 时,x3 的系数为 C33+C34=5; 当 m=4、n=3 时,x3 的系数为 C34+C33=5. (2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3 ≈C04+C14×0.003+C03+C13×0.003=2.02. (3)由题意可得 a=C48=70,再根据 ?Cr8·2r≥Cr8+1·2r+1, ??Cr8·2r≥Cr8-1·2r-1, 即???rr≥≤56,, 求得 r=5 或 6,此时,b=7×28, ∴ba=1258. 9.设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100·x100,求下列各式的值. (1)求 a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 解 (1)令 x=0,则展开式为 a0=2100. (2)令 x=1, 可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,① 所以 a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100. (3)令 x=-1, 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.② 与①式联立相减得 a1+a3+…+a99= 2- 3 - 100 2 2+ 3 100 . (4)由①②可得, (a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2 -…+a100)=(2- 3)100·(2+ 3)100=1. (5)|a0|+|a1|+…+|a100|,

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