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宁德市2018届高三第一次质量检查数学(理)


2018 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页,满分 150.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 x 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 , B ? x 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. [0,3] 则 | z2 ? 2i |? A. 2

B. (0,3]

C. [?1, ??)

D. [?1,1)

开始

2.已知复数 z1 对应复平面上的点 ( ?1,1) ,复数 z 2 满足 z1 z2 ? ?2 , B. 2 C. 10 D. 10

n ?1
a?0

? 1 3.若 tan( ? ? ) ? ? ,则 cos 2? ? 4 3
3 3 4 4 B. ? C. ? D. 5 5 5 5 4.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的
A.

n ? 100 ?




1 a ? a ? lg(1 ? ) n
n ? n ?1

输出a
结束

a 的值为
A. 10 B. lg 99 C. 2 D. lg101

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 5.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值大于 ?5 ,则 m 的取值范 ? y ? m ? 0, ? 围为

? 11 ? A. ? ?1, ? 3? ?

? 11 ? B. ? ?3, ? 3? ?

C. ? ?3, 2?

D. ? ??, 2 ?

6.福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开.组委会预备在会议期间将 A, B, C , D,
E , F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作.若要求 A, B 必须在同一组,且

每组至少 2 人,则不同的分配方法有 A.15 种 C.20 种 B.18 种 D.22 种
3 2
正视图

1

2
侧视图

7.一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为 A. 4 ? 7 ? C. 2 ? 7 ?

3? 2 5? 2

B. 4 ? 7 ? D. 1 ? 7 ?

5? 2 3? 2

俯视图

8.已知 a ? log0.6 2, b ? log2 0.6, c ? 0.62 ,则 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

9.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 点且倾斜角为 两点,若以 AB 为直径的圆过点 (? A. y 2 ? 2 x B. y 2 ? 4 x

? 的直线 l 与抛物线相交于 A,B 4

p , 2) ,则该抛物线的方程为 2
C. y 2 ? 8 x D. y 2 ? 16x

10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:―今有三女,长女五日一归,中女四日一 归,少女三日一归.问:三女何日相会?‖ 意思是:―一家出嫁的三个女儿中,大女儿每 五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家.三个女儿从娘 家同一天走后,至少再隔多少天三人再次相会?‖假如回娘家当天均回夫家,若当地风俗 正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的一百天内,有女儿回娘家的天数有 A. 58 B. 59 C. 60 D. 61

11. 函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x ( a, b ? R , ? ? 0 ), 满足 f (?

2? ? x) ? ? f ( ? x) , 且对任意 x ? R , 3

? 都有 f ( x) ? f (? ) ,则以下结论正确的是 6
A. f ( x)max ? | a | B. f ( ? x ) ? f ( x ) C. a ? 3b D. ? ? 3

12.设函数 f ( x) ? ae x ?1 ? 1 ? e x ln( x ? 1) 存在零点 x0 ,且 x0 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 A. (??, 1 ? e ln 2) B. (?e ln 2, ? ? ) C. (??, ? eln 2) D. ( 1 ? e ln 2, ? ?)

2018 年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷

理 科 数 学
第 II 卷
注意事项: 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答. 在试题卷上作答,答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a , b 的夹角为 60 ? , a ? 2 , a + 2b ? 2 7 ,则 b ? __________. 14. 若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上, 则双曲线 C 的离心率 e =________.

15.若正三棱台 ABC ? A?B?C ? 的上、下底面边长分别为 3 和 2 3 ,高为 1,则该正三棱台的 外接球的表面积为_______. 16. 设函数 f ( x) ?| x2 ? 2 x ? 1| , 若 a ? b ? 1 , f (a ) ? f (b) , 则对任意的实数 c ,(a ? c)2 ? (b ? c)2 的最小值为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 和为 Sn ,若 an ? 0 , an ? 2 Sn ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3n

18. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 2 3 ,点 F 是 AC 上的动点.现将矩形 ABCD 沿着 对角线 AC 折成二面角 D? ? AC ? B ,使得 D?B ? 30 . (Ⅰ)求证:当 AF ? 3 时, D?F ? BC ; (Ⅱ)试求 CF 的长,使得二面角 A ? D?F ? B 的大小为
D?

? . 4

D F? A 19. (本小题满分 12 分)

C

?
B

A

F

C B

如图,岛 A 、 C 相距 10 7 海里.上午 9 点整有一客轮在岛 C 的北偏西 40 0 且距岛 C 10 海 里的 D 处,沿直线方向匀速开往岛 A ,在岛 A 停留 10 分钟后前往 B 市.上午 9 : 30 测得客 轮位于岛 C 的北偏西 70 0 且距岛 C 10 3 海里的 E 处,此时小张从岛 C 乘坐速度为 V 海里/ 小时的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市. (Ⅰ)若 V ? (0,30] ,问小张能否乘上这班客轮?
5 4 (Ⅱ)现测得 cos ?BAC ? ? , sin ?ACB ? .已知速度为 5 5

A

正北方向 D E C

V 海里/小时( V ? (0,30] )的小艇每小时的总费用为
1 ( V 2 ? V ? 50 )元,若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市, 2

B

则至少需要多少费用?
20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

3 x2 y 2 b) 且斜率为 k 的 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 P(0, 2 a 2 b2

直线 l 与椭圆 C 相交于点 M , N .当 k ? 0 时,四边形 MNF1 F2 恰在以 MF1 为直径,面积为

25 ? 的圆上. 16 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若 PM ? PN ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x (a ? R) 有最大值 ? 导数. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:当 x1 ? x2 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 ? 0 时, g ?( x1 ? x2 ) ?

3 MN ,求直线 l 的方程. 7
1 ,g ( x) ? x2 ? 2x ? f ( x) , 且 g ?( x) 是 g ( x) 的 2

1 . 2

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题 号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , M 为曲线 C1 上异于极点的动点,点 P 在射线 OM 上,且

OP , 2 5, OM 成等比数列.
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知 A(0,3) , B 是曲线 C2 上的一点且横坐标为 2 ,直线 AB 与 C1 交于 D, E 两点,试 求 AD ? AE 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x2 ? a (a ? R) , g ( x) ? x ? 1 ? x ? 2

(Ⅰ)若 a ? ?4 ,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)若 x ? [0,3] 时, f ( x) ? g ( x) 的解集为空集,求 a 的取值范围.

2018 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C 11.A 12.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 2 14. 2 15. 20 ? 16. 8 附部分试题解答: 10.小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20,小女儿和二女儿、小女儿和大女 儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8,6,5,三个女儿同时回娘家的天数是 1,所以有女 儿在娘家的天数是:33+25+20-(8+6+5)+1=60. ? 2? ? x) ? ? f (? x) 可 知 , 函 数 f ( x ) 的 对 称 中 心 为 ( ? ,0) . 对 任 意 x ? R , 都 有 11 . f (? 3 3 ? ? f ( x) ? f ( ? ),知对称轴是 x ? ? ,可知 f (0) ? 0 ,故 b=0. 6 6 1 12. 令 ae x ?1 ? 1 ? e x ln( x ? 1) ? 0 ,得 x ? ln( x ? 1) ? ae?1 , e 1 设 h( x ) ? x ? ln( x ? 1) ,条件转化为 y ? h( x) 与 y ? ae ?1 的图象在 (1, ??) 上有交点, e 1 1 ex ? x ? 1 ? h?( x) ? ? x ? ? x ? 0 ,得 h( x ) 在 [0, ??) 上为增函数, e x ? 1 e ( x ? 1)
?h(1) ? ae?1 ,得 a ? 1 ? e ln 2 .

16 . 依 题 意 可 知 : a2 ? 2a ? 1 ? ?(b2 ? 2b ? 1) , 整 理 得
(a ? 1 ) ? b (? 2 1? ) , 4
? a ? b ? 1 , ? 方程表示如图一段弧 AB,

(a ? c)2 ? (b ? c)2 可表示弧上一点到直线 y=-x 的距离的平方, ?(a ? c)2 ? (b ? c)2 的最小值是 8.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、 化归与转化思想等,满分 12 分. 解法一: (Ⅰ) ?an ? 2 Sn ? 1 , ?4Sn ? (an ? 1)2 .………………………………1 分 当 n ? 1 时, 4S1 ? (a1 ? 1)2 ,得 a1 ? 1 .………………………………2 分 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? (an?1 ? 1)2 ,
?4( Sn ? Sn?1 ) ? (an ? 1)2 ? (an?1 ? 1)2 ,………………………………3 分

?4an ? an 2 ? 2an ? an?12 ? 2an?1 ,即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? 2(an ? an ?1 ) ,
? an ? 0, ? an ? an ?1 ? 2 .………………………………4 分

? 数列 {an } 是等差数列,且首项为 a1 ? 1 ,公差为 2,………………………………5 分 ? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .………………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ?Tn ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ??? ? (2n ? 1) ? n ,——①………………………………7 分 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? ??? ? (2n ? 3) ? n ? (2n ? 1) ? n?1 ,——②………………………………8 分 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ①–②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ??? ? n ) ? (2n ? 1) ? n?1 ………………………………9 分 3 3 3 3 3 3
1 1 ? n ?1 2 1 1 ? ? 2 ? 3 3 ? (2n ? 1) ? n ?1 ,………………………………10 分 1 3 3 1? 3

n ?1 .…………………12 分 3n 解法二: (Ⅰ)同解法一.
化简得 Tn ? 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, bn ? (2n ? 1) ? 设 bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ? ( An ? B) ? n ? [ A(n ? 1) ? B] ? n?1 ? (?2 An ? 3 A ? 2B) ? n , n 3 3 3 3

??2 A ? 2, ? A ? ?1, ?? 解得 ? ?3 A ? 2 B ? ?1, ? B ? ?1.

?bn ? (2n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? (?n ? 1) ? n ? (?n) ? n?1 ? n ? n?1 ? (n ? 1) ? n , ………………………………9 n 3 3 3 3 3


?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

? (1? ?1?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ) ? (2 ? 1 ? 3 ? 2 ) ? ? ? [n ? n?1 ? (n ? 1) ? n ] 0 3 3 3 3 3 3

n ?1 .………………………………12 分 3n

18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础 知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)连结 DF , BF . 在矩形 ABCD 中, AD ? 2 3, CD ? 6 ,
? AC ? 4 3, ?CAB ? 300 , ?DAC ? 600 .………………………………1 分

D

C

F A B

在 ?ADF 中,∵ AF ? 3 , ∵ DF 2 ? AF 2 ? 9 ? 3 ? DA2 , ? DF ? AC ,即 D?F ? AC .………………………………3 分 又在 ?ABF 中,

? DF 2 ? DA2 ? AF 2 ? 2DA ? AF ? cos ?DAC ? 9 , .………………………………2 分

BF 2 ? AB2 ? AF 2 ? 2 AB ? AF ? cos ?CAB ? 21 ,………………………………4 分 D ?

∴在 ?D?FB 中, D?F 2 ? FB2 ? 32 ? ( 21)2 ? D?B2 ,

? ,………………………………5 分 ?BF ? DF F O A 又? AC ? FB ? F , E ∴ D?F ? 平面 ABC . ∴ D?F ? BC .………………………………6 分 B (Ⅱ)解:在矩形 ABCD 中,过 D 作 DE ? AC 于 O ,并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折 后, 由(Ⅰ)可知, OE , OC , OD? 两两垂直, ??? ? 以 O 为原点, OE 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则
O(0,0,0), E (1,0,0), D?(0,0,3), B(3,2 3,0) ,………………………………7 分
? EO ? 平面 AD?F ,

C

??? ? ?OE ? (1,0,0) 为平面 AD?F 的一个法向量. ………………………………8 分
设平面 BD?F 的法向量为 n ? ( x, y, z ), ???? ? ??? ? ? F (0, t,0) , ? BD? ? (?3, ?2 3,3), BF ? (?3, t ? 2 3,0) ,

???? ? ? ?n ? BD? ? 0, ? ??3x ? 2 3 y ? 3z ? 0, 由 ? ??? 得? ? ? ? ?n ? BF ? 0, ??3x ? (t ? 2 3) y ? 0,
取 y ? 3, 则 x ? t ? 2 3, z ? t , ? n ? (t ? 2 3,3, t ) .………………………………10 分
??? ? | n ? OE | |t ?2 3| 2 ??? ? , 即 , ? cos ? ? 4 | n || OE | 2 (t ? 2 3)2 ? 9 ? t 2

?

?t ?

3 . 4

? 当 CF ?

11 ? 3 时,二面角 A ? D?F ? B 的大小是 . …………………12 分 4 4

19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分 12 分. 解: (Ⅰ)如图,根据题意得:
CD ? 10 , CE ? 10 3 , AC ? 10 7 , ?DCE ? 700 ? 400 ? 300 . 在 ?CDE 中,由余弦定理得,
DE ? CD2 ? CE 2 ? 2CD ? CE ? cos ?DCE
3 2

? 102 ? (10 3) 2 ? 2 ?10 ?10 3 ?

? 10 , ………………………………2 分 所以客轮的航行速度 V1 ? 10 ? 2 ? 20 (海里/小时) . ………………………………3 分

因为 CD ? DE ,所以 ?DEC ? ?DCE ? 300 , 所以 ?AEC ? 1800 ? 300 ? 1500 . 在 ?ACE 中,由余弦定理得, AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos ?AEC , 整理得: AE 2 ? 30 AE ? 400 ? 0 , 解得 AE ? 10 或 AE ? ?40 (不合舍去) . ………………………………5 分 所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 t1 ? 小张到岛 A 所用的时间至少为 t2 ?
1 由于 t2 ? t1 ? , 6 10 1 ? 小时, 20 2

10 7 7 ? 小时. 30 3

所以若小张 9 点半出发,则无法乘上这班客轮………………………………6 分
5 4 (Ⅱ)在 ?ABC 中, cos ?BAC ? ? , sin ?ACB ? , 5 5 2 5 3 所以 ?ACB 为锐角, sin ?BAC ? , cos ?ACB ? .………………………………7 分 5 5

所以 sin B ? sin[1800 ? (?BAC ? ?ACB)]
? sin(?BAC ? ?ACB)
? sin ?BAC cos ?ACB ? cos ?BAC sin ?ACB

3 2 5 4 5 ? ? ? ? 5 5 5 5 ? 2 5 .………………………………8 分 25

由正弦定理得,

BC AC , ? sin ?BAC sin B
3 5 ? 15 35 ,………………………………9 分

所以 BC ?

10 7 ? 2 5 25

所以小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用为
15 35 1 2 1 50 ( V ? V ? 50) ? 15 35( V ? 1 ? ) ? 165 35 V 2 2 V ( V ? (0,30] ),………………………………10 分 f (V ) ?

1 50 当且仅当 V ? ,即 V ? 10 时, f (V )min ? 165 35 (元)………………………………11 分 2 V

所 以 若 小 张 由 岛 C 直 接 乘 小 艇 去 B 市 , 其 费 用 至 少 需 165 35 元. ………………………………12 分 … 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推 理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的 能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 k ? 0 时,直线 l // x 轴, 又四边形 MNF1 F2 恰在以 MF1 为直径,面积为 ∴四边形 MNF1 F2 为矩形,且 MF1 ? ∴点 M 的坐标为 (c, 又 ∴
b2 3 ? b, a 2 b 3 ? .………………………………………………………3 分 a 2

25 ? 的圆上, 16

5 .………………………………………………………1 分 2

b2 ) .………………………………………………………2 分 a

设 a ? 2k , b ? 3k ,则 c ? k .

3 在 Rt ?MF1 F2 中, MF2 ? k , F1F2 ? 2k , 2 5 5 ∴ MF1 ? k ? , 2 2 ∴ k ?1.

∴ a ? 2, b ? 3 ,………………………………………………………5 分

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………6 分 4 3 3 y (Ⅱ)将 l : y ? kx ? 与椭圆方程联立得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 12kx ? 3 ? 0 , 2 B1 12k 3 P 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? .…………7 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴椭圆 C 的方程为 故 PM ? PN ? 1 ? k 2 ? x1 ? 0 ? 1 ? k 2 ? x2 ? 0 N O

M

x

? (1 ? k 2 ) x1 x2 =


3+3k 2 .………………………………9 分 3 ? 4k 2

B2

MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

192k 2 ? 36 , …………………… 3 ? 4k 2

… 10 分 ∴
3+3k 2 3 192k 2 ? 36 2 ? ? 1 ? k ? , 3 ? 4k 2 7 3 ? 4k 2

即 7 1 ? k 2 ? 192k 2 ? 36 , 解得 k ? ?
11 , 11

11 3 x ? .………………………………12 分 11 2 21.本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能

∴直线 l 的方程为 y ? ?

力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、 数形结合思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2ax ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,
f ( x) 在 (0, ?) 上为单调递增函数,无最大值,不合题意,舍去;………………………………2

1 .………………………………1 分 x

分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?
1 , 2a

当 x ? (0, ?

1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2a

当 x?( ?

1 , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,………………………………3 分 2a

? f ( x) max ? f ( ?

1 1 1 ) ? ? ? ln ? , 2a 2 2a

1 1 1 ?? ? ln ? ? ? ,………………………………4 分 2 2a 2

1 ? a ? ? .………………………………5 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, g ( x) ?
? g ?( x) ? x ? ?x ? 1 ?2. x

1 2 x ? 2 x ? ln x , 2

1 ? 2 ,? g ?( x) ? 0 , x ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ………………………………6 分

3 又? x1 ? x2 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 且 g (1) ? ? , 2

? 0 ? x1 ? 1 ? x2 .………………………………7 分

1 x2 ? 1 ? 2 , x2 x ? 当 x ? 1 时, g ??( x) ? 0 , g ?( x) 单调递增, 1 ……………………8 要证 g ?( x1 ? x2 ) ? , 即 g ?( x1 ? x2 ) ? g ?(2) , 只要证 x1 ? x2 ? 2 , 即 x2 ? 2 ? x1 . 2 分 ? g ??( x) ? 1 ?
? x1 ? 1 ,? 2 ? x1 ? 1 ,
所以只要证 g (2 ? x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 ? g ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g (2 ? x1 ) ? ?3 ————(*), ……………9 分 设 G( x) ? g ( x) ? g (2 ? x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ln x ? ln(2 ? x) (其中 0 ? x ? 1),
?G?( x) ? 2 x ? 2 ?
? 2(1 ? x)[
?

1 1 ? x 2? x

1 ? 1] x(2 ? x)

2( x ? 1)3 ?0, x( x ? 2)

? G ( x) 在(0,1)上为增函数, ………………………………11 分 ? G( x) ? G(1) ? ?3 , 故 (*) 式成立, 从而 g ?( x1 ? x2 ) ?

1 ………………………………………12 . 2

分 22.选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数

形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解: (1)设 P( ? ,? ) , M ( ?1 ,? ) , 则由 OP ,2 5, OM 成等比数列,可得 OP ? OM ? 20 ,………………………………1 分 即 ? ? ?1 =20 , ?1 =
20

?

.………………………………2 分
20

? 4 sin ? ,………………………………3 分 ? ∴ ? sin ? ? 5 ,………………………………4 分 化为直角坐标方程为 y ? 5 .………………………………5 分

又 M ( ?1 ,? ) 满足 ?1 ? 4sin ? ,即

(Ⅱ)依题意可得 B(2,5) ,故 k AB ? 1 ,即直线 AB 倾斜角为 分

? ,………………………………6 4

? 2 t, ?x ? ? 2 ∴直线 AB 的参数方程为 ? ………………………………7 分 2 ? y ? 3? t, ? ? 2
代入圆的直角坐标方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,………………………………8 分 故 t1 ? t2 ? ? 2 , t1t2 ? ?3 ? 0 ,………………………………9 分 ∴ AD ? AE ? t1 ? t2 ? 2 .………………………………10 分 23.选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解:(1)当 a ? ?4 时, f ( x) ? g ( x) 化为 x2 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 2 , 当 x ? ?1 ,不等式化为 x 2 +2x ? 5 ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 6 或 x ? ?1 ? 6 , 故 x ? ?1 ? 6 ;…………2 分 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x 2 ? 7 ,解得 x ? ? 7 或 x ? 7 , 故 x?? ; …………3 分 当 x ? 2 ,不等式化为 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 故 x ? 3 ; …………4 分 所以 f ( x) ? x 解集为 x x | x ? ?1 ? 6 或 x ? 3? . …………5 分 (2) 由题意可知,即为 x ? [0,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. …………6 分 …………1 分

?

当 0 ? x ? 2 时, x 2 ? a ? 3 ,得 a ? 3 ? x2

?

?

min

? ?1 ;…………8 分

当 2 ? x ? 3 时, x2 ? a ? 2 x ? 1 ,得 a ? ? x2 +2 x ? 1 综上, a ? ?4 .…………10 分

?

?

min

? ?4 ,


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