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河北饶阳中学高二数学函数的极值与导数的导学案

河北饶阳中学导学案

编制人:丁馈钦

使用日期

2014

2 25

审核: 高二数学组

没有差生只有差异

山高我为峰

§ 1.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试一试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.

(3)函数的极值点一定出现在区间的

(内,外)部,区间的端点

(能,不能)成为极值点.

学习重点与难点
1、能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 2、掌握求可导函数的极值的步骤.

(4) 图中函数的极大值点是 问题 2:对可导函数,极值点与导数为 0 的点的关系: (1)导数为 0 的点是否一定是极值点? 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 (2)极值点的导数是否一定为 0 ? ,但它

极小值点是

学习过程 一、课前准备
(预习教材找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在这个区 间内为 函数;如果在这个区间内 y? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不等式, 得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 .

(是或不是)极值点. 为什么?

结论:可导的函数 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数 y=f(x)在这点取得极值的

条件.

二、新课导学 学习探究: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y ? f ( x) 的导数的符号有什么规律?

三、典型例题 题型一会求给定函数的极值
1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4 x ? 4 的极值. 3

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a ) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ; 且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0, 右侧 f ?( x) 0.

新知:
我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a ) 叫做函数 y ? f ( x) 的
y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的

;点 b 叫做函数

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.
王新敞
奎屯 新疆

极大值点、极小值点统称为

,极大值、极小值统称为
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河北饶阳中学导学案

编制人:丁馈钦

使用日期

2014

2 25

审核: 高二数学组

没有差生只有差异

山高我为峰

题型二给定极值会求解析式 例 2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示, 求 (1) x0 的值 (2)a,b,c 的值. y

(2)可导函数 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数 y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。 3、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.
王新敞
奎屯 新疆

o

1

2

x

五、当堂检测
1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( A.有极大值,没有极小值 C.既有极大值又有极小值 )

B.有极小值,没有极大值 D.既无极大值也极小值 )

2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是( A. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 例 3 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时有极值 10,求 a,b 的值 B. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x C. y ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x D. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x

3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 4. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点处 (1)导函数 y ? f ?( x) 有极大值?(2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值? (3)函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有极小值?

提示: 函数取得极值的条件是什么?你求出几组解?都符合条件吗?

四、总结提升
1、 .理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的. (2)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点. (3)若 f(x)在[a,b]内有极值,那么 f(x)在[a,b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没 有极值. 4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,在 某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 2、(1)导数为 0 的点不一定是极值点
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