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专题复习幂函数、指数函数、对数函数


09高三数学第二轮复习课件

几个幂函数的性质:
1

y?x

y?x

2

y?x

3

y?x

2

y?x

?1

定义域
y?x

值域 R
y?0

奇偶性 奇函数 偶函数

单调性

公共点

R R

增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)

y?x

2 3

y?x

R

R
y?0 y?0

奇函数

增函数 (0,0),(1,1)

1

y ? x2

非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1) 奇函数
(1,1)

y?x

?1

y

y=x3 y=x2 y=x-2

y

y=x-1

1

y=x1/2
1

1

y=x-1/2
1

0

X

0

X

a>0
(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数。

a<0
(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

幂函数在第一象限的性质小结

当n>0

y

n>1

y=x

1

0<n<1

O

x
1

(1) 图象必经过点(0 , 0)和(1 , 1); (2) 在第一象限内,函数值随着 x 的增大而增大。

幂函数在第一象限的性质小结
y
y=x

当n<0
1

O

1

(1) 图象必经过点(1 , 1); (2) 在第一象限内,函数值随着 x 的增大而减小 ; (3) 在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近, 图象向右与 x 轴无限地接近 。

x

一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性,单调性,

因函数式中α的不同而各异.
? ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,

并且函数图象都通过点(1,1).
? ★如果α

>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.

一般幂函数的性质:
? ★如果α

<0,则幂函数的图象过 点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数. 为奇数时,幂函数为奇函数, ★当α 为偶数时,幂函数为偶函数.

? ★当α

概念
指数函数

y?a
对数函数 幂函数

x

y ? log a x y?x
α

a ? 0,a ? 1

? ?R

y ? 10 y ? 0 .5
x

x
x

? 对称性 1、关于X、Y轴对称 x y ? log 2 2、关于Y=X对称 y ? lg x ? 单调性 1、a>1时单调增函数 x 2、0<a<1时单调减函数 x y ? log 0 .5 ? 有序性
y ? 2

图 象

指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞)

对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y y=logax (a>1) 1 x o y=logax (0<a<1) (1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0

性 (3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1

(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0



0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0

(5) a>1时, 在R上是增函数;
0<a<1时,在R上是减函数

(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数; 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数

例1 已知函数 f ( x ) 与 y ? 3 关于直线 y ? x 对称,
x

且 f (18 ) ? a ? 2 , g ( x ) ? 3 (1)求 g ( x ) 的解析式;

a? x

?9 .
x

(2)若 g ( x ) ? ? 8 ,求此方程的解.
解 (1)∵函数 f (x ) 与 y ? 3 关于直线 y ? x 对称,
x

∴ f ( x ) ? log 3 x . ∴ 由 f (18) ? a ? 2 得 log 3 18 ? a ? 2 , 即 log 3 (9 ? 2) ? a ? 2 . ∴ log 3 2 ? 2 ? a ? 2 ,∴ a ? log 3 2 . ∴ g ( x) ? 3
log 3 2 ? x

? 9 ? 2?3 ? 9
x x

x

练习:
已知 a ? 9 ? 3 ? a ? 1 ? 0 有实根,求
x x

a 的取值范围。

2 ( p ? Z ) 在 ( 0, ? ) 例 2、 已知幂函数 f ( x ) ? x 2 ? 上是增函数,且在其定义域内是偶函数. (1)求 p 的值,并写出相应的函数 f ( x ) ;

?

1

p ? p?

2

3

(2)对于(1)中求得的函数 f ( x ) ,设函数
g ( x ) ? ? q [ f ( x )] ? ( 2 q ? 1) f ( x ) ? 1 ,问是否存在实数
2

q ( q ? 0 ) ,使得 g ( x ) 在区间 ( ?? , 4 ] 上是减函数,且 ?

在 ( ? 4,0 ) 上是增函数?若存在,请求出 q 来,若不存在, 请说明理由.

解 (1)∵ f ( x ) 在 ( 0, ? ) 上是增函数, ? ∴?
1 2 p
2

? p?

3 2

? 0 ,解得 ? 1 ? p ? 3 .

由 p ? Z ,得 p ? 0,1,2 ,
3

当 p ? 0 或 p ? 2 时, f ( x ) ? x 2 不合题意. 由此可知当 p ? 1 时,相应的函数式为 f ( x ) ? x .
2

(2)方法一:∵ g ( x ) ? ? qx
3

4

? ( 2 q ? 1) x ? 1 ,
2

∴ g ' ( x ) ? ? 4 qx ? 2 ( 2 q ? 1) x . 若存在 q ? 0 ,使得 g ( x ) 在区间 ( ?? , 4 ] 上是减函数, ? 在 ( ? 4,0 ) 上是增函数,则必有 g ' ( ? 4 ) ? 0 , 即 ? 4 ? 64 ? q ? 16 q ? 8 ? 0 ,解得 q ? ? 当q ? ?
g '(x) ? 1 30 2 15 x ?
3

1 30



时,
32 15 x ? 2 15 x ( x ? 16 ) ?
2

2 15

x ( x ? 4 )( x ? 4 ) .

? 0 当 x ? ( ?? , 4 ) 时, g ' ( x ) ? 0 .当 x ? ( ? 4,) 时, g ' ( x ) ? 0 .

所以,满足 g ( x ) 在上述条件下的增减性且 q ? ? 故存在这样的实数 q ? ?
1 30

1 30

? 0.

使得函数 g ( x ) 满足条件.

(2)方法二:函数 g ( x ) ? ? q [ f ( x )] 2 ? ( 2 q ? 1) f ( x ) ? 1 ? ? qx 假设存在实数 q ( q ? 0 ) 使得 g ( x ) 满足条件,设 x 1 ? x 2 则

4

? ( 2 q ? 1) x ? 1 .
2

g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? ? qx 1 ? ( 2 q ? 1) x 1 ? 1 ? [ ? qx 2 ? ( 2 q ? 1) x 2 ? 1]
4 2 4 2

? ( x 1 ? x 2 )( x 2 ? x 1 )[ q ( x 1 ? x 2 ) ? ( 2 q ? 1)] .
2 2

① 若 x 1, x 2 ? ( ?? , 4 ] ,易得 x 1 ? x 2 ? 0, x 2 ? x 1 ? 0 ,则 ( x 1 ? x 2 )( x 2 ? x 1 ) ? 0 . ? 设使 g ( x ) 在区间 ( ?? , 4 ] 上是减函数,则应有 q ( x 1 ? x 2 ) ? ( 2 q ? 1) ? 0 恒成立, ?
2 2

∵ x 1 ? ? 4, x 2 ? ? 4 ,
2 2

∴ x 1 ? x 2 ? 32 .
2 2

又 q ? 0 ,∴ q ( x 1 ? x 2 ) ? 32 q .
2 2 从而欲使 q ( x 1 ? x 2 ) ? ( 2 q ? 1) 恒成立,则应有 2 q ? 1 ? 32 q 成立,即 q ? ?

1 30



0 ② 同理, x 1, x 2 ? ( ? 4,) 时,应有 q ? ?

1 30


1 30

由 ① 、② 可得 q ? ?

1 30

.综上所述,存在这样的实数 q ? ?

,使得 g ( x ) 在区间

( ?? , 4 ] 上是减函数,且在 ( ? 4,0 ) 上是增函数. ?

一、函数的定义域,值域
1.求下列函数的定义域
(1)y ? (2) y ? 1 log 2 (5x ? 3) log
1 2

( 5x ? 3 ) 3 2
2

3 4 4 ( , ) ? ( ,??) 5 5 5 3 4 ( , ] 5 5
( ,2) ? (2,??) 2 3

( 3 ) y ? log (4) y ?

(x ? ( x ?1 )

)

6 ? 5x ? x lg ( x ? 3 )

(?3,?2) ? (?2,1]

2.求下列函数的值域
(1)y ? log 2 ( x ? 3 ) ( 2 ) y ? log 2 ( x ? 8 )
2 2

R

[3,??)
(??,2]
1 4
x

( 3 ) y ? log 2 ( 3 ? x ? 2x )

( 4 )已知 x ? [ ? 3, ],求函数 f ( x ) ? 2 的值域

?

1 2
x

?1

( 5 )已知 x ? [1,8 ],求函数 g ( x ) ? ( log 的值域

x
2

)( log

x
2

)

2

4

二、函数的单调性
3.已知函数y=(1-a)x在R上是减函数,则实数a的取 值范围是( B ) A (1, +∞) B (0,1) C (-∞,1) D (-1,1) 4. 已知不等式a2x>ax-1的解集为{x|x>-1},则实数a的 取值范围是( C ) A (0, 1) B (0,1)∪ (1, +∞) C (1,) D (0, +∞)

5 .求下列函数的单调递增 (1) y ? 2
x ? x?2
2

区间 1
x ? x?2
2

, (2) y ? ( ) 2
2

(3) y ? log 2 ( x ? x ? 2 ), ( 4 ) y ? log 1 ( x ? x ? 2 )
2 2

复合函数单调性

x
u=g(x)

?u=g(x) 增 增 增
分解

?y=f(u) 增 减 减 减 增 减
各自判断

减 减 增
复合

y=f(u)
y=f[g(x)]

定义域

9. 设

f (x) ?

1 x?2

? lg

1? x 1? x

(1)试判定函数f(x)的单调性,并给出证明;

(2)解关于x的不等式 f [ x ( x ? ) ] ?
2

1

1 2

三、函数的奇偶性
10 .设 f ( x ) ? lg( 10 ? 1) ? ax 是偶函数,
x

g (x) ?

4 ?b
x

2 那么 a ? b 的值是

x

是奇函数,

(D ) C. ?
1 2

1

A. 1

B. -1

D. 2
1 ? x )是
2

11 .函数 f ( x ) ? log

(x ? a

( A )

A.是奇函数,但不是偶函数 B. 是偶函数,但不是奇函数

C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数

12.已知函数

f (x) ?

a ?1
x

a ?1
x

( a ? 0 ,a ? 1), f (1) ? 3

(1) 求 f(x) 的表达式和定义域; (2) 证明 f(x) 为奇函数。

13. 已知函数f ( x) ? a ?

2 2 ?1
x

是奇函数, 试求实数

a,并确定f ( x)的单调性。
14 .已知函数 F ( x ) ? (1 ? 2 2 ?1
x

) f ( x )( x ? 0 ) 是偶函数 ,

且 f ( x ) 不恒为 0,试确定 f ( x )的奇偶性。

思考:
函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意实数 x , 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 成立.已知当 x ? [1, 2 ] 时,
f ( x ) ? log a x .

(1)求 x ? [ ? 1,1] 时,函数 f ( x ) 的表达式; (2)若函数最大值为
1 2

,且 x ? [ ? 1,3 ] 时,
1 4

解关于 x 的不等式 f ( x ) ?



解: ∵ f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且 f ( x ) 是 R 上的偶函数,

, ?log a ( 2 ? x ),x ? [ ?1 0], ∴ f ( x ) ? f ( x ? 2) ? ? 1 ?log a ( 2 ? x ),x ? [0, ].
, (2)由于函数以 2 为周期,故考查区间 [ ?1 1] ,
若 a ? 1 时,由 f (x ) 的最大值为

1 2



f (0) ? f ( x ) max ? log a 2 ?

1 2

,即 a ? 4 .

若 0 ? a ? 1 ,则当 x ? 1 或 x ? ?1 时, f (x ) 有最大值, 即 log a ( 2 ? 1) ?

1 2

矛盾舍去,

综上可得, a ? 4 .

, , 当 x ? [ ?1 1] 时,若 x ? [ ?1 0] ,则 log 4 ( 2 ? x ) ?
∴0 ? x ?

1 4



2 ? 2.

1 若 x ? (0, ] ,则 log 4 ( 2 ? x ) ?
∴0 ? x ? 2 ?

1 4



2.

∴ 此时满足不等式的解集为 (

2 ? 2,2 ?

2) .

, ∵ f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,∴当 x ? (1 3] 时,

f ( x) ?

1 4

的解集为 ( 2,4 ?

2) .

综上可知,所求不等式的解集为

( 2 ? 2,2 ?

2 ) ? ( 2,4 ?

2) .


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