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2014届高三2月联考理科数学试卷(带解析)


2014 届高三 2 月联考理科数学试卷
? 2i ? 2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i
(B)

1.若复数 z



(A)

2

2 2

(C)

3

(D) 2

【答案】A 【解析】 试题分析: z ? 2i ?

2 ?1 ? i ? 2 ? 2i ? ? 2i ? ?1 ? i ? ? 1 ? i , 1? i ?1 ? i ??1 ? i ?
2

z ? 1 ? i ? 12 ? ? ?1? ? 2 ,故选 A.
考点:1 复数的运算;2、复数的模. 2.已知命题 p : “ a ? 1 是 x ? 0,x+
2

a ;命题 q : “存在 x0 ? R ? 2 ”的充分必要条件” , x


使得 x0 ? x0 ? 2 ? 0 ” ,下列命题正确的是( (A)命题“ p ? q ”是真命题 (B)命题“ ? ?p ? ? q ”是真命题 (C)命题“ p ? ? ?q ? ”是真命题 (D)命题“ ? ?p ? ? ? ?q ? ”是真命题 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 x ? 0, a ? 0 时, x ?

a a ? 2 x ? ? 2 a ,由 2 a ? 2 可得: a ? 1 ,所以 x x
2 2

命题 p 为假命题; 因为当 x ? 2 时,x ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,所以命题 q 为真命题. 所以 ?p ? q 为真命题,故选 B. 考点:1 命题;2、充要条件;3、基本不等式. 3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中① 处可以填入( )

(A) n ? 4 ? (B) n ? 8 ? 【答案】B 【解析】 试题分析:由程序框图 运行第一次: S ? 1, n ? 2 ; 运行第二次: S ? 3, n ? 4 ; 运行第三次: S ? 7, n ? 8 ;

(C) n ? 16 ?

(D) n ? 16 ?

运行第四次: S ? 15, n ? 16 ;输出 S ? 15 ,结束. 所以结束的条件应是 n ? 8? 故选 B. 考点:循环结构. 4.在极坐标系中,点 (2, ) 和圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为(

π 3

)

(A)

3

(B) 2

(C)

1?

π2 9

(D)

4?

π2 9

【答案】A 【解析】 试题分析:在极坐标系中,点 ? 2,

? ?

??

? ,在直角坐标系下的坐标为 1, 3 3?
2

?

?



2 在极坐标系中的圆 ? ? 2cos ? 在直角坐标系下的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆心坐标为

?1, 0 ?



点到圆心的距离为

?1 ? 1?

2

?

?

3 ?0

?

2

? 3 ,故选 A.

考点:1、极坐标的概念;极坐标与直角坐标的转换;2、圆的方程;3、平面直角坐标系两

点间的距离公式. 5.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与

??? ? ???? ??? ? CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
(A)



1 1 a? b 4 2

(B)

1 1 a? b 2 4

(C)

2 1 a? b 3 3

(D)

1 2 a? b 3 3

【答案】C 【解析】 试题分析:? AC ? a, BD ? b ,? AD ? AO ? OD ?

????

? ??? ?

?

????

???? ????

? 1? 1? 1 ???? 1 ??? AC ? BD ? a ? b 2 2 2 2

因为 E 是 OD 的中点,?

1 | DE | 1 ? ,所以, DF ? AB | EB | 3 3

???? 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ? 1 ??? ? ? 1 ???? ? ? 1 ???? 1 ??? ? 1? 1? ? DF ? AB ? OB ? OA ? ? ? ? BD ? ? ? AC ? ? = AC ? BD = a ? b , 3 3 3 ? 2 6 6 6 ? 2 ?? 6

?

?

??? ? ???? ???? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? AF ? AD ? DF ? a ? b ? a ? b = a ? b ,故选 C. 2 2 6 6 3 3

考点:1、向量的加法,减法几何运算;2、向量共线. 6. 数列 ? an ? 的首项为 3, 若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N ?) , 则 a8 ? ( (A)0 【答案】B 【解析】 ) (B)3 (C)8 (D)11

试题分析:因为 ?bn ? 为等差数列,设其公差为 d ,由 b3 ? ?2 , b10 ? 12

? 7d ? b10 ? b3 ? 12 ? ? ?2 ? ? 14, ? d ? 2
? b3 ? ?2,? b1 ? b3 ? 2d ? ?2 ? 4 ? ?6

? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? 7b1 ?

7?6 ? d ? 7 ? ? ?6 ? ? 21? 2 ? 0 2

又? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? a8 ? a7 ? ? a8 ? a1 ? a8 ? 3

所以, a8 ? 3 ? 0, a8 ? 3 .故选 B. 考点:等差数列的通项公式与求和公式. 7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( )

(A) 4 3

(B) 8

(C) 8 3

(D) 4 7

【答案】D 【解析】 试题分析:三视图所对应空间几何体的直观图如下图所示,底面三角形 ABC 是边长为 4 的 正三角形,

PC ? 平面 ABC , PC ? 4

S?ABC ?

1 3 2 ? 4 ? 4 3 , S?PAC ? S?PBC ? ? 4 ? 4 ? 8 4 2

1 1 S?PAB ? ? AB ? PD ? ? 4 ? 2 2
? 4 7 ? 8 ? 4 3 ,故选 D.

?4 2 ?

2

? 22 ? 4 7

考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积. 8.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的 编号互不相同的概率为( ) (A)

5 21

(B)

2 1 (C) 3 7

(D)

8 21

【答案】D 【解析】

试题分析: 从编号分别为 1, 2, 3, 4, 5 的 5 个红球和 5 个黑球, 从中随机取出 4 个, 有 C10 ? 210
4

种不同的结果,由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的;设事件 A 为“取 出球的编号互不相同” , 则事件 A 包含了 C5 ? C2 ? C2 ? C2 ? C2 ? 80 个基本事件,所以 P ? A? ?
1 1 1 1 1

80 8 ? .故选 D. 210 21

考点:1、计数原理;2、古典概型.

x2 y2 9.设 F1 , F2 分别为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线的左 a b
顶点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120? , 则该双曲线的离心率为( (A) )

21 3

(B)

19 3

(C)

7 3

(D)

7 3 3

【答案】A 【解析】 试题分析:如下图所示, OM ? ON ? c, OA ? a, AM ? BN ? b
8

y

6

4

M
2

F1
-15 -10 -5

A

B
5

F2

10

15

x

-2

j

N
-4

-6

-8

? ?MAN ? 120? ,??BAN ? 120? ? 90? ? 30?

? AN ? 2 BN ? 2b ,又 AB ? 2a , AB ? BN ? AN ,
? ? 2a ?
2

2

2

2

b2 4 c2 a 2 ? b2 b2 7 21 ? , ? e ? ? ? 1 ? ? ? ? b ? ? 2b ? , 2 .故选 A 2 2 2 a 3 a a a 3 3
2 2

考点:1、双曲线的标准方程;2、双曲线的几何性质;3、勾股定理. 10.若实数 a, b, c, d 满足 (b + a - 3ln a ) + (c - d + 2) = 0 ,则 (a - c) + (b - d ) 的 最小值为( (A) 2 【答案】D 【解析】
2 试题分析:? b ? a ? 3ln a

2

2

2

2

2

) (B)2 (C) 2 2 (D)8

?

? ? ?c ? d ? 2?
2

2

? 0,

?b ? a 2 ? 3ln a ? 0 ?? ?c ? d ? 2 ? 0
设 M ? a, b ? , N ? c, d ? 为两动点,则点 M 是函数 y ? 3ln x ? x 的图象上一点,点 N 是函数
2

y ? x ? 2 的图象上一点;而 ? a ? c ? ? ? b ? d ? ?
2 2
2

?

? a ? c ? ? ?b ? d ?
2

2

? ? MN
2

2

,

则问题转化为求曲线 y ? 3ln x ? x 上的点 M 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值,如下图所 示,
y
8 6

4

g?x? = x+2
2

N(c,d)

x
M(a,b)
-2

-4

f?x? = 3? ln?x?-x2
-6

-8

直线 y ? x ? 2 的斜率为 1; 由 y ? 3ln x ? x ,得 y? ?
2

3 3 ? 2 x ,令 y? ? 1 ,所以, ? 2 x ? 1 ,解之得: x1 ? ?3 (舍 x x

去) , x2 ? 1

, 由 x ? 1 , 得 y ? ?1 ; 所 以 M ?1 ?

? 1到

直 线 y ? x?2 的 距 离 最 小

MN ?

1 ? ? ?1? ? 2 12 ? ? ?1?
2

2

?2 2

从而有 MN

? 8 ,故选 D.

考点:1.导数的应用;2、数形结合.

11.已知 a ? 【答案】-80 【解析】

?

?

0

a? ? sin xdx, 则二项式 ? 1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 x? ?

5



试题分析:? a ? 二项式 ? 1 ?

?

?

0

sin xdx ? ? cos x |? 0 ? ? ? cos ? ? cos 0 ? ? 2

? ?

a? 3 3 ?3 3 ? 的展开式中 x 的系数为 C5 ? ?a ? ? 10 ? ? ?2 ? ? ?80 x?

5

考点:1、定积分的求法;2、二项式定理. 12.如图所示,第 n 个图形是由正 n ? 2 边形拓展而来( n ? 1, 2,? ) ,则第 n ? 2 个图形共 有____ 个顶点.

【答案】 n ? n
2

【解析】 试题分析:第一个图有 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 个顶点; 第二个图有 4 ? 4 ? 4 ? 5 ? 4 个顶点; 第三个图有 5 ? 5 ? 5 ? 6 ? 5 个顶点; 第四个图有 6 ? 6 ? 6 ? 7 ? 6 个顶点; ???????????????? 第 n 个图有 ? n ? 3?? n ? 2 ? 个顶点. 第 n ? 2 个图形共有 n ? n ? 1? ? n ? n 个顶点.
2

考点:归纳推理.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 13 .若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数 k 的取值范 ?0 ? x ? 2 ?
是 .

【答案】 (?1,0) 【解析】 试题分析: 不等式组所表示的区域是由直线 x ? y ? 5 ? 0, x ? 2, x ? 0 和过定点 ? 0,5 ? 的直线

y ? kx ? 5 所围成的平面区域,如下图:

10

9

x=2 x-y+5=0 C

8

7

y=kx+5

6

A 5
4

D E

3

B

2

1

O
-1

-2

由图可知,要使阴影部分成锐角三角形,动直线 y ? kx ? 5 与直线 x ? 2 的交点 E 必须位于 点 B ? 2,3 ? 和点 D ? 2,5 ? 之间,此时 ?1 ? k ? 0 . 考点:1、二元一次不等式(组)所表示平面区域的画法,2、直线的斜率. 14.抛物线 y ? x 2 (?3 ? x ? 3) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内 水平放入一个正方体 , 该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐 , 则此正方体的棱长 是 . 【答案】 19 ? 1 【解析】 试题分析:根据旋转体的对称性,不妨设正方体的一个对角面恰好在 xoy 平面内,组合体被 此面所截得的截面图如下:

设正方体的棱长为 a ,则 A ?

? 2 a2 ? ? 2 ? a , a , 9 , B? ? ? ? 2 ? 2 ? , 2 ? ? ? ? ?

因为 AB ? a ,所以,

a2 ? a ? 9 ,即: a 2 ? 2a ? 18 ? 0 2

解得: a ? ?1 ? 19 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 19 ? 1 . 考点:1、抛物线标准方程的应用;2、正方体的结构特征. 15.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M ? ? a, b ? ,使得 ? y | y ? f ( x), x ? M ? ? M ,则称区间

M 为函数 f ( x) 的一个“好区间”.给出下列 4 个函数:
3 x ① f ( x) ? sin x ;② f ( x ) ? 2 ? 1 ;③ f ( x) ? x ? 3x ;④ f ( x) ? lg x ? 1 .

其中存在“好区间”的函数是 【答案】②③④ 【解析】

. (填入所有满足条件函数的序号)

试题分析:①函数 f ? x ? ? sin x 在 ? ?

? ? ?? ? ? ?? , ? 上是单调增函数,若函数在 ? ? , ? 上存“好 ? 2 2? ? 2 2?

区间” ? a , b ? 则必有 sin a ? a,sin b ? b ,即方程 sin x ? x 有两个根,令 g ? x ? ? sin x ? x

g ? ? x ? ? cos x ? 1 ? 0
在 ??

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 所以函数 g ? x ? 在 ? ? , ? 上为减函数, 则函数 g ? x ? 在 ? ? , ? , ? 上恒成立, ? 2 2? ? 2 2? ? 2 2? ? ? ?? 上不可能有两个解,又因为函数 f ? x ? 的值 , ? 2 2? ?
时,方程 sin x ? x 无解.所以函数 f ? x ? ? sinx 没有

上至多一个零点,即方程 sin x ? x 在 ? ? 域为 ? ?1,1? ,所以当 x ? ? “好区间” ;

?
2

或x?

?
2

②对于函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,该函数在 ? 0, ?? ? 上是增函数由幂函数的性质我们易得,

M ? ? 0,1? 时,f ? x ? ? ? 0,1? ? M , 所以 M ? ? 0,1? 为函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 的一个 “好区间” .
③对于函数 f ? x ? ? x ? 3x, f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 3 ? x ? 1?? x ? 1? 当 x ? ? ?1,1? 时 f ? ? x ? ? 0 ,
3 2

所以函数 f

? x? ?

3 x ?3 x 的 增 区 间 有 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? , 减 区 间 是 ? ?1 , 1 ? ,取

M ? ? ?2 , 2 2 , f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ? 2 , f ? 2 ? ? 2 , 所 以 函 数 ? , 此 时 f ? ?2 ? ? ? f

?x ??

3

x? 3 在 x M ? ? ?2, 2? 上的值域了是 ? ?2, 2? ,则 M ? ? ?2, 2? 为函数的一个“好区

间” ; ④函数 f

? x? ? l g x? 1在 定 义 域 ? 0, ?? ? 上 为 增 函 数 , 若 有 “ 好 区 间 ” ? a, b ?



lg a ? 1 ? a,lg b ? 1 ? b, 也就是函数 g ? x ? ? lg x ? x ? 1 有两个零点,显然 x ? 1 是函数的一
个零点,由 g ? ? x ? ?

1 ? 1 ? 0, x ln10

得, x ?

1 1 ? 1 ? , ?? ? 上 为 减 函 数 ; 由 g ? ? x ? ? ?1 ? 0 , 得 , 函数 g ? x? 在 ? ln 10 x ln10 ? ln10 ?

x?

1 1 ? ? ? 1 ? ,函数在 ? 0, ? 上为增函数.所以 g ? x ? 的最大值为 g ? ? ? g ?1? ? 0 ,则 ln 10 ? ln10 ? ? ln10 ?

该函数 g ? x ? 在

1 ? ? ? 0, ? 上还有一个零点.所以函数 f ? x ? ? lg x ? 1 存在“好区间”. ? ln10 ?

考点:1、函数的单调性;2、函数的零点 3、函数的定义域和值域.

?? ? 3 3 ?? ? m ? (sin x, cos x), n ? ( , ) f ( x ) ? m ? n, x ? R 2 2 16.已知向量 , ,函数
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值;

?? ? b ? 2af ? A ? ? 6 ?? , ? (Ⅱ)在 ?ABC 中,设角 A , B 的对边分别为 a, b ,若 B ? 2 A ,且
求角 C 的大小. 【答案】 (Ⅰ) 3 ; (Ⅱ) 【解析】 试 题 分

? . 2
Ⅰ ) 由 向 量 数 量 积 的 定 义



: (

?? ? ?3 3? 3 3 f ? x ? ? m ? n ? ? sin x, cos x ? ? ? , ? sin x ? cos x 只需将其化为一个角的三角函 ? ?2 2 ? 2 2 ? ?
数就能求出 f ? x ? 的最大值. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果和正弦定理: b ? 2af ? A ?

? ?

??

? ? sin B ? 2sin A ? 3 sin A , 6?

又 B ? 2 A ,所以, sin B ? 2sin A ? cos A ,由以上两式即可解出 A , B, C . 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ?

3 3 sin x ? cos x 2 2

2分

? 3 sin( x ? ) 6

?

4 分(注:也可以化为 3 cos(x ?

?
3

))

所以 f ( x) 的最大值为 3 . 6 分 (注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给 4 分) (Ⅱ)因为 b ? 2a f ( A ?

?
6

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A . 7 分
2 2

又 B ? 2 A ,所以 sin 2 A ? 2 3 sin A ,即 sin A cos A ? 3 sin A , 而 A 是三角形的内角,所以 sin A ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ?

9分

3 , 3

11 分

所以 A ?

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2



12 分

考点:1.正弦定理;2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式;3、三角函数的性质. 17 . 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 3, 点 D 、 E 分 别 是 边 AB 、 AC 上 的 点 , 且 满 足

AD CE 1 ? ? (如图 1).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B DB EA 2
为直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 2).

(Ⅰ)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出

PB 的长,若不存在,请说明理由.
【答案】 (Ⅱ)在线段 BC 上存在点 P , 使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? , 此时

PB ?

5 2

【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 二 面 角 A1 ? DE ? B 为 直 二 面 角 , 要 证 A1 D ? 平 面 BCED ; 只 要 证

A1 D ? DE;
(Ⅱ)假设存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,根据直线与平面所成的角 的定义作出 直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 ?PA1 H ,设 PB 的长为 x ,用 x 表示 A1 D, A1 H , DH ,在 直角 ? A1 DH 中, 根据勾股定理列出方程,若方程有解则 P 存在,否则 P 不存在.或借助已有的垂直关系;也 可 以 D 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 标 系 , 求 出 平 面 A1 BD 的 一 个 法 向 量 n

?

,利用

? ?? ? sin ? n, A1 P ?? sin 60? 建立方程,解这个方程探求 P 点的存在性.

试题解析:证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? ? , DB EA 2

所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? , 由余弦定理得

DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 60? ? 3 . 因为 AD 2 ? DE 2 ? AE 2 ,
所以 AD ? DE . 3分 折叠后有 A1 D ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角, 所以平面 A1 DE ? 平面 BCED ,又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , 6分

A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED .

(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P , 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH ,又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? , 则 BH ? , , 8分

x 3 , PH ? x , 在 Rt △ PA1 H 中 , ?PA1 H ? 60? , 所以 2 2

A1 H ?
2

1 1 x , 在 Rt △ A1 DH 中 , A1 D ? 1 , DH ? 2 ? x , 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 , 得 2 2
2 2

1 ? ?1 ? ? 1 ??2? x? ? ? x? 2 ? ?2 ? ?

,解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意 所以在线段 BC 上存在 2 5 2
12 分

点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? 解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED .

以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直 角 坐 标 系

D ? xyz





,



PB ? 2a

? 0 ? 2a ? 3 ?

,



BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a , 所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 , 所
以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1

?

? ?

?

????

?

?

, 因 为 ED ? 平 面 A1 BD , 所 以 平 面 A1 BD 的 一 个 法 向 量 为 9分

???? DE ? 0, 3, 0 ,

?

?

因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,

???? ???? PA1 ?DE 3a 3 所以 sin 60? ? ???? ???? ? , ? 2 2 PA1 DE 4a ? 4a ? 5 ? 3

5 5 ,即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P ,使 4 2 5 直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? . 12 分 2
解得 a ? 考点:1、直线与平面垂直的判定;2、直线与平面所成角的求法;3、空间直角坐标系. 18 .设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ?1 ? 4Sn ? 4n ? 1,n ? N ,且
2 ?

a2 , a5 , a14 恰好是等比数列 ?bn ? 的前三项.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求 实数 k 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n ? 1 , bn ? 3 ;(Ⅱ) k ?
n

3 2

2 27
2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据数列的通项 an 与数列前 n 项和 S n 的关系,由 an ?1 ? 4Sn ? 4n ? 1 ,
2 2 ? 4Sn ?1 ? 4(n ? 1) ? 1 ;两式相减得数列 ?an ? 的递推公式 an n ? N * 得 an ?1 ? ? an ? 2 ? ,从 2

而得出数列 ? an ? 通项公式 an ? 2n ? 1 .由此可求 a2 , a5 , a14 以确定等比数列 ?bn ? 的首项和公 比,进而得到数列 ?bn ? 的通项公式. (Ⅱ)由 (Ⅰ) 的结果求 Tn ,把 ? Tn ?

? ?

3? 3n ? 6 3n ? 6 ,所以 k 不小于 ? ? k ? 3n ? 6 变形为, k ? 3 3 2? Tn ? Tn ? 2 2

的最大值.

? ? ? 3n ? 6 ? 只需探究数列 ? ? 的单调性求其最大值即可. 3 ? Tn ? ? ? 2?
2 2 试题解析: (Ⅰ)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4 an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

2分

2 ? a2 ? a14 , ?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5

? a2 ? 8 ?

2

? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

3分 4分

由条件可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.
5 分,

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 (Ⅱ) Tn ? 立, ? k ?
n

6分

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 ? ? ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成 , ?( 1? q 1? 3 2 2 2

2n ? 4 对 n ? N * 恒成立,----9 分, 3n 2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) cn ? cn ?1 , 令 cn ? , , 当 n ? 3 时, 当n ? 4 cn ? cn?1 ? ? n ?1 ? n 3 3n 3 3n 2 2 时, cn ? cn ?1 ? (cn )max ? c3 ? ,k ? . 12 分 27 27
考点:1、等差数列;等比数列的通项公式和前 n 项和.2、参变量范围的求法. 19.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为 次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标

? 70, 76 ?

? 76,82 ?

?82,88 ?

?88, 94 ?

?94,100?

元件 A 元件 B

8 7

12 18

40 40

32 29

8 6

(Ⅰ)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B, 若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii) 记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 【答案】 (Ⅰ)元件 A 为正品的概率为

4 3 ,元件 B 为正品的概率为 5 4

(Ⅱ) (i)

81 128
X
P
150 90 30 -30

(ii)所以 X 的分布列为:

3 5

3 20

1 5

1 20

E ? X ? ? 108
【解析】 试题分析: (Ⅰ)用频率估计概率值; (Ⅱ) 设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表, 从而得出答案. 试题解析: (Ⅰ)由题可知 元件 A 为正品的概率为

4 3 ,元件 B 为正品的概率为 。 5 4

2

分 (Ⅱ) ( i ) 设 生 产 的 5 件 元 件 中 正 品 件 数 为 x , 则 有 次 品 5 ?x 件 , 由 题 意 知

100 x ? 20(5 ? x) ? 300 得到 x ? 4,5 ,设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元”
4 为事件 C ,则 P(C ) ? C5 ( )4 ?

3 4

1 81 5 3 5 。 ? C5 ( ) ? 4 4 128

6分

(ii)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30,

4 3 3 1 3 3 4 1 1 , P( X ? 30) ? ? ? , ? ? , P( X ? 90) ? ? ? 5 4 5 5 4 20 5 4 5 1 1 1 , P( X ? ?30) ? ? ? 5 4 20 所以 X 的分布列为: 150 90 30 -30 X 3 3 1 1 P 5 20 5 20
则 P( X ? 150) ? 10 分

3 3 1 1 ? 30 ? ? 30 ? ? 108 E ( X ) ? 150 ? ? 90 ? 5 20 5 20
考点:1 概率;2、随机变量的分布率;3、数学期望.

12 分

20 .已知 P ? x, y? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率

k ? f ? x? .
1? ? a, a ? ? ? f ? x? 3 ? ? a ? 0 ? 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅰ)若函数 在区间 ?
2 ? ? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ? (Ⅱ)如果对任意的 x1 , x2 ? ? ,求实数 m 的取 ?e , x1 x2

?

1

1

值范围.

1? (Ⅱ) m ? 2 . 【答案】(Ⅰ) ? ,
【解析】 试题分析: (Ⅰ) 根据直线的斜率公式写出函数 f ? x ? 的解析式,再利用导数解决函数极值存 在时参数 a 的取值范围.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2 ? ?? 上单调递减,不妨设 f ( x) 在 ? ?e ,

?2 ? ?3 ?

x1 ? x2 ? e 2 ,
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m

1 1 1 1 m m ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m( ? ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? x1 x2 x2 x1 x2 x1

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?

m 2 ? ? ? 上单调递减。再用导数研究 F ? x ? 的单调性. 在 ?e , x ?
ln x 1 ? ln x x ? 0 ? 1 ? ln x ?? , , 所以 f ? ? x ? ? ? ? ?? 2 x x ? x ?

试题解析: 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ? 2分

f ?? x? ? 0 f ?? x? ? 0 f ? x ? ? 0,1? 当 0 ? x ? 1 时, ;当 x ? 1 时, .所以 在 上单调递增,在

?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值.

3分

?0 ? a ? 1 1? ? f x a ? 0 因 为 函数 ? ? 在 区 间 ? a, a ? ? ( 其 中 ? ,得 ? ) 上 存在 极 值, 所 以 ? 1 ? 3? a ? ?1 ? ? 3 ?

2 ? a ? 1. 3
1? . 即实数 a 的取值范围是 ? , ?2 ? ?3 ?
6分

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 ? ? ? 上单调递减,不妨设 x1 ? x2 ? e ,则 ?e ,

?

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m

1 1 1 1 m m ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m( ? ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? x1 x2 x2 x1 x2 x1

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?

m 在? e 2, ? ? ? 上单调递减。 ? x

8分

由 F ( x) ? f ( x) ?

m 1 ? ln x m ln x m ? ? , x ? [e 2 , ??) ,则 F ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 在 [e2 , ??) x x x x x
13 分

上恒成立,所以 m ? ln x 在 [e 2 , ??) 上恒成立,所以,故 m ? 2 . 考点:1、直线斜率公式;2、导数在研究函数性质中的应用国. 21.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 G :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2
6 ,1) . 2

右焦点,椭圆 G 与抛物线 y 2 ? ?4 x 有一个公共的焦点,且过点 (?

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 G 在第一象限上的任一点,连接 PF1 , PF2 ,过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点 , 设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值; kk1 kk 2
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作 F2 Q ? F2 P ,设 F2 Q 交 l 于点 Q , 证明:当点 P 在椭圆上移动时,点 Q 在某定直线上.

【答案】 (Ⅰ)椭圆 G 的方程为 C :

x2 y 2 ? ? 1 ;(Ⅱ)3; (III)点 Q 在直线 x ? 3 上. 3 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由抛物线的焦点求出椭圆的焦点, 又椭圆过点 ? ?

? ? ?

6 ? 3 1 ,1? , 得: 2 ? 2 ? 1 , ? 2 ? 2a b

且 a ? b ? c , c ? 1 ,解方程组可得椭圆的方程: C :
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 3 2

(Ⅱ)设出切点的坐标和切线的方程,利用直线和椭圆相切的条件,证明

1 1 ? 为定值. kk1 kk 2

(III)利用(Ⅱ)的结果,由 F2Q ? F2 P ,写出直线 F2 P 的方程,可解出 F2 Q 交 l 于点 Q 的坐标,进而证明当点 P 在椭圆上移动时,点 Q 在某定直线上.
y P l

Q x

F1 O

F2

试题解析:(Ⅰ)由题意得 c ? 1 , 3 1 又 2 + 2 ?1, 2分 2a b 消去 b 可得, 2a4 ? 7a2 ? 3 ? 0 ,解得 a 2 ? 3 或 a 2 ?

1 (舍去) ,则 b2 ? 2 , 2

求椭圆 G 的方程为 C :

x2 y 2 ? ?1. 3 2

4分

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? m ,并设点 P( x0 , y0 ) , 由?

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 ? y ? kx ? m

? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 6 ? 0 .

? ? ? 0 ? m2 ? 2 ? 3k 2 ,
x0 ? ?

6分

3km 3k ?? ? 0 ,当 k ? 0 时 , m ? 0 ,直线与椭圆相交,所以 k ? 0, m ? 0 , 2 m 2 ? 3k
6 , 3 ? x0 2
8分

m 2 ? 2 ? 3k 2 ? m ?



2x x0 2 y0 2 2(3 ? x0 2 ) 2 ? ? 1 ? y0 2 ? 得m ? ,? k ? ? 0 , 3 y0 y0 3 2 3

y??

2 x0 x 2 x x y y y y 1 1 ? ? ,整理得: 0 ? 0 ? 1 .而 k1 ? 0 , k2 ? 0 ,代入 中得 3 y0 y0 kk1 kk2 3 2 x ?1 x ?1
10 分

3 y x ? 1 x0 ? 1 1 1 ? ?? 0( 0 ? ) ? ?3 为定值. kk1 kk2 2 x0 y0 y0
(用导数求解也可,若直接用切线公式扣 4 分,只得 2 分) (III) PF2 的斜率为: k PF2 ?

y0 x ?1 ,又由 PF2 ? F2 Q ? k F2Q ? ? 0 , x0 ? 1 y0

x ?1 ? y?? 0 ( x0 ? 1) ? x0 ? 1 y0 ? ( x0 ? 1) ,联立方程 ? 从而得直线 F2 Q 的方程为: y ? ? , y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 ? 2 ? 3
消去 y 得方程 ( x0 ? 3)( x ? 3) ? 0 ,因为 x0 ? 3 , 所以 x ? 3 , 即点 Q 在直线 x ? 3 上. 14 分

考点:1、椭圆的标准方程;2、抛物线的标准方程;3、直线与椭圆的位置关系;


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