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高一数学衔接班第5课——不等式

高一数学衔接班第 5 课 ——不等式

一、学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法,如不等式组法、图象法 2. 掌握简单分式不等式的解法 3. 会解简单的含字母系数的不等式,会求有关字母取值或取值范围的问题 二、学习重点 一元二次不等式的解法 三、课程精讲 1. 新知探秘
2 问题:如何解不等式 x ? x ? 6 ? 0 .

思路导航:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得 负”的原则,将其转化为一元一次不等式组.
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? ? x ? ?3 x 解:方法一:原不等式可以化为: (? ? 3)( x 或 2 ) ? 0 , ? x ? ? 3 或 x ? 2 ? ? ? ? x ? 2 ? 0 或?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 于是: ?

所以,原不等式的解是 x ? ? 3 或 x ? 2 . 点津:当把一元二次不等式化为 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) 的形式后,只要等式左边可以
2

分解为两个一次因式,即可运用本题的解法。 形如 ax ? bx ? c ? 0( 或 ? 0) ( 其 中 a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式.
2

知识点一:一元二次不等式的解法——不等式组法 例 1. 解下列不等式: (1) ( x ? 2 )( x ? 3) ? 6 (2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1) 思路导航:要先将不等式化为 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) 的形式,通常使二次项系数为
2

正数.

2 ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? ? 2 0 解:(1)原不等式可化为: x ?x ? 31? ? ? ,即 ( x ? 3)( x ? 4 ) ? 0 或? x 4 ? ?x ? 4 ? 0 于是: ? x ? 4 ? 0

所以原不等式的解是 ? 3 ? x ? 4 .

2 ?x ? 0 ?x ? 02 (2)原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即4x ? 4 x ? 0 ? x ( x ? 4) ? 0 或? ? 0? x? ? ?x ? 4 ? 0 于是: ? x ? 4 ? 0

所以原不等式的解是 0 ? x ? 4 . 点津:在将不等式化为 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) 的形式时,通常把二次项系数化正,
2

还要注意进行正确的分解因式 知识点二:一元二次不等式的解法——图象法 2 问题:对于如何解不等式 x ? x ? 6 ? 0 ,还有其他的解法吗? 解:方法二:二次函数 y ? x ? x ? 6
2

(1)作出图象(如图所示); (2)根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 ( ? 3, 0), (2, 0) ,即当 x ? ? 3 或 x = 2 时,
y ? 0 .就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的两个实数根是 x ? ? 3 或 x = 2 . 2 (3)当 x ? ? 3 或 x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方.就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ? 3 或 x ? 2 .
2 当 ? 3 ? x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的下方.就是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是

?3 ? x ? 2 .

一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1)求相应一元二次方程的根; (2)观察相应的二次函数的图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 , 0 ), ( x 2 , 0 ) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 x1 , x 2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。
b 2a

b ②如果图象与 x 轴只有一个交点

(?

, 0)

数根

x1 ? x 2 ? ?

,此时对应的一元二次方程有两个相等的实

2 a (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) .

③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别 式 ? ? 0 来判断)。 简单的说,求解一元二次不等式的步骤为: (1)求根 (2)画图 (3)写出解集 例 2. 解下列不等式:
2 (1) x ? 2 x ? 8 ? 0 2 (2) x ? 4 x ? 4 ? 0

思路导航:按着图象法的解题步骤进行 解:(1)不等式可化为 ( x ? 2 )( x ? 4 ) ? 0 ∴一元二次方程的两根为-2、4 ∴由图象知,不等式的解是 ? 2 ? x ? 4 (2) 不等式可化为 ( x ? 2) ? 0
2

∴由图象知不等式的解是 x ? 2
2 仿练: x ? x ? 2 ? 0

2 解:不等式对应的一元二次方程 x ? x ? 2 ? 0 无解

由 y ? x ? x ? 2 的函数图像可知,原不等式无解
2

点津:实际上,“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在 联系,简称为“三个二次的关系”; “三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去,即 一元二次方程的根是一元二次函数图像与 x 轴交点的横坐标, 也是一元二次不等式解的端点 值,当然,这部分内容到高中还会学习到。 知识点三:简单分式不等式的解法

2x ? 3 例 3. 解下列不等式:

(1) x ? 1

? 0

x?3

(2) x ? x ? 1
2

? 0

思维导航:(1)类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一 次不等式组再进行处理;或者因为两个数(式)相除为异号,那么这两个数(式)相乘也为 异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解. (2)注意到经过配方后,分母实际上是一个正数
3 3 ? ? 解:(1)法一: x ? 3 ? 0 ?2x ? 3 ? 0 ?2 3 ?x ? ?x ? 或? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? ? 原不等式可化为: ? 1 ? 0 ? ? 2 ?x ?1 ? 0 ?x ? ? ? x ? ?1 ? x ? ?1

法二:

3 ( 2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ? 1 ? x ? 1 2 3 2. 原不等式可化为: 2 x ? x ? 1 ? (x ? ) ? ? 0 2 4 (2)∵

原不等式可化为: x ? 3 ? 0 ? x ? ? 3
2x ? 3 点津:分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解,当然,还有其他的方法, x ?1 那就是可以转化成一元二次不等式来求解,但请注意不等式2 x ? 3
( 2 x ? 3)x ? 1) 0 是否同解。事实上,它们的解并不相同, x ? 1 ( ? 3 ?1 ? x ? ( ( 2 。 而 2 x ? 3)x ? 1)? 0 的解为

?0

?0

3 与一元二次不等式 ?1 ? x ? 2 ,

的解为

1

例 4. 解不等式 x ? 2

? 3

思路导航:分母当中含有未知量 x,而不等式的右端并不为 0,此题能直接去分母吗? 显然,因为分母 x ? 2 的符号不能确定,所以此题不能直接去分母,可以通过移项,把不等 式的一端化为 0。
x?2 ? (3 x ? 5)( x ? 2 ) ? 0 1 ?3x ? 5 解:原不等式可化为: 5 ? 0 ? 3 x ? 5 ? 0 ? ? ?3? 0? ? x ? ?2或 x ? ? x?2 x?2

3 ?x ? 2 ? 0 x ? ?2 x ? ?2 ? ? 点津:(1)转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 5 ? ? ? 3? ? 或? ? ? 或? 5 5 ? x ? ? 或 x ? ?2 (2)本例若采取直接去分母的方法,则需要讨论分母的符号: ? x? 2 3 ? 3( x ? 2 ) ? 1 ? 3( x ? 2 ) ? 1 ?x ? ? ?x ? 3 3 ? ?

【直击高中】 在高中,经常会遇到含有字母系数的不等式,这样的字母我们称为参数,在含有参数 的不等式中, 由于参数取值的不同, 会导致不等式解的不确定, 换句话说, 参数取值的不同, 导致不等式解的结果不同, 所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论, 从而讨论不等式的 解,这种思想就是分类讨论的思想。 例如:对于初中很熟悉的不等式 ax ? b ? 0 最终可以化为 a x ? ? b 的形式. (1)当 a ? 0 时,不等式的解为: (2)当 a ? 0 时,不等式的解为:
x ? ? b

a ; (3)当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? ? b ; ①若 b ? 0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
2 例 5. 求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2 m x ? m 的解.

x? ?

b ; a

思路导航:通过移项、整理,原不等式可变形为一元一次不等式的形式
2 2 (m ? 2m ) x ? m ? 2 , 显然不等式的解的情况取决于 m ? 2 m 的符号, 所以需要对 m ? 2 m

2

的符号进行讨论。

解:原不等式可化为: m ( m ? 2) x ? m ? 2 (1)当 m ? 2 ? 0 即 m ? 2 时, m x ? 1 ,不等式的解为 (2)当 m ? 2 ? 0 即 m ? 2 时, m x ? 11 . x ? 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 1 m ; ①当 ②当 m ? 0 时,不等式的解为
x ? m ; 1

x ?

1 m ;

③当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数. (3)当 m ? 2 ? 0 即 m ? 2 时,不等式无解.
x ? 1 综上所述:当 m ? 0 或 m ? 2 时,不等式的解为 m ;当 0 ? m ? 2 时,不等式的解 1 m ;当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数;当 m ? 2 时,不等式无解。 为 x ? ? 2 b 2 ,求实数 k 的值. 仿练:已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? b 1 a 思路导航:将不等式整理成 ax ? b 的形式,可以考虑只有当 a ? 0 时,才有形如 ? ?? k ? 1 ? 0 k ? ?1 ? 2 ? 的解,从而令 a ? . 3 ? 2 ? ? ?k 2 ? 2 3 ? k ? ? ? ? k ? 2( ? k ?1 x ? 1) 解:原不等式可化为: ? ? . 2 ? ? k ? 1或 ? ? 2 2 ? ?k ? 1 所以依题意: . x ?

点津: 对于含有参数的不等式往往都需要对参数进行分情况讨论, 所以要特别注意运用 分类讨论的数学思想。
2 例 6. 已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.

2 2 思路导航: kx ? 2 x ? k 恒为正数,即不等式 kx ? 2 x ? k ? 0 恒成立,无法直接解此

不等式,所以需把问题进行转化,考虑“三个二次”的关系,利用二次函数的图像帮助求解。 解:显然 k ? 0 不合题意,于是:
?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ? ? 2 ? ? ? k ?1 ? 2 2 (?2) ? 4k ? 0 k ?1 ? 0 ? k ? ? 1或 k ? 1 ? ?

点津:“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”有着密切的联系,解任何一 方面的问题, 都可以借助其他方面加深对问题的理解从而解决问题, 这里面体现着高中数学
? 的又一个重要的数学思想----函数与方程的思想。 ?k ? 0 ? 2 2 2 ( ? ? 例 7. 已知关于 x 的不等式 kx k ? ?k1 ? 1) x??13 ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 3 ,求 k 的值. ?1 ? 3 ? k ? k 思路导航: 对应的一元二次方程的根是 ? 1 和 3 , 且对应的二次函数的图象开口向上. 根 ? 3 ? 据一元二次方程根与系数的关系可以求解。 ? ( ? 1) ? 3 ? ? k 解:由题意得: ? 2 2 k 点津: 本例也可以根据方程有两根 ? 1 和 3 , 用代入法得: ( ? 1) ? ( k ? 1)( ? 1) ? 3 ? 0 ,
k ? 3 ? 3( k ? 1) ? 3 ? 0 ,且 k ? 0 ,从而解得 k ? 1 .
2 2

四、知识提炼 解 方程或不等式 ax2+bx+c=0 ( a>0) ax2+bx+c>0 △>0 解 的 情 况 △<0

△=0
b ? ? ?x1 ? x 2 ? ? ? 2a ? ?

x=x1 或 x=x2

无实数解

{x|x<x1 或 x>x2}

b ? ? ?x | x ? ? 2a ? ?

R

ax2+bx+c<0

{x| x1<x<x2}

无解

无解

五、目标期望 一元二次不等式是不等式的一种重要形式,学好一元二次不等式不仅可以解分式不等 式,而且对于处理二次函数,一元二次方程的有关问题都会起到重要的促进作用,希望通过 本节课的学习, 使同学们能够熟练的求解一元二次不等式及分式不等式, 并能运用相关知识 处理一些简单的含有参数的不等式问题。 六、下讲预告 二次函数是初中的主要内容,也是高中学习的重要基础。在初中阶段,我们已经学习过 如何求二次函数的最值, 下节课我们将在此基础上继续学习当自变量在某个范围时, 函数的 最值问题。 【同步练习】 (答题时间:30 分钟)
2 1. 关于 x 的不等式 x ? x ? 5 ? 3 x 的解是

A. x ? 5 或 x ? ? 1
2

B. x ? 5 或 x ? ? 1

C. ? 1 ? x ? 5 B. ? 1 ? x ? 3 D. ? 3 ? x ? 1 B. a ? 0, ? ? 0 D. a ? 0, ? ? 0

D. ? 1 ? x ? 5

2. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 A. x ? 3或 x ? ? 1 C. x ? 1或 x ? ? 3
2

3. 不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解集为 R ,那么 A. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0 4. 若不等式 ax A. ? 10
2 2

? bx ? 2 ? 0 的解是

?

1 2

? x?

1 3 ,则 a ? b 的值是(



B. ? 14

C. 10

D. 14

5. 不等式 x x ? 1 ? 2 x 的解是 . ? 0 6. 不等式 x ? 1 的解是___________
2x ?1

7. 不等式 2 x ? 1 8. 若不等式 ax 9. 解不等式:
2

? 2

的解是______________
? 1 3 ? x ? 1 , 2 求 a 和 b 的值。

? x ? b ? 0 的解为

(1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.
2

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

10. 解关于 x 的不等式 x ? ( a ? 1) x ? a ? 0

【试题答案】 1. B. 2. C 5. x ? 1 6. x ? ? 1或 x ? 1
x? 1 2
2

3. A

4. A

或x ? 3 x1 ? ? 1 3 , x2 ? 1 2 ,结合函数图象 y ? a x ? x ? b ,
2

7.

8. 解:由题意知 a x ? x ? b ? 0 有解

1 1 ? 1 ? ? ? ? ? a ? 3 2 ? ? b ? (? 1 ) ? 1 3 2 ,解得 a ? ? 6 , b ? 1 ? 可知 a ? 0 ,由韦达定理, ? a

9. 解: (1)∵Δ>0,方程 x2+2x-3=0 的解是 x1=-3,x2=1. ∴不等式的解为 -3≤x≤1. (2)整理,得 x2-x-6>0. ∵Δ>0,方程 x2-x-6=0 的解为 x1=-2,x2=3. ∴所以,原不等式的解为 x<-2,或 x>3. (3)整理,得(2x+1)2≥0. 由于上式对任意实数 x 都成立, ∴原不等式的解为一切实数. (4)整理,得(x-3)2≤0. 由于当 x=3 时,(x-3)2=0 成立;而对任意的实数 x,(x-3)2<0 都不成立, ∴原不等式的解为 x=3. (5)整理,得 x2-x+4>0. Δ<0,所以,原不等式的解为一切实数. 10. 解: x ? ( a ? 1) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) ? 0
2

(1)当 a ? 1 时, x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 的解为 1 ? x ? a
2

(2)当 a ? 1 时, x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 无解
2

(3)当 a ? 1 时, x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 的解为 a ? x ? 1
2


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