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2018届高三数学总复习:配套练习90练 第8练 函数的奇偶性和周期性练习(含答案解析)


第 8 练 函数的奇偶性和周期性
训练目标 训练题型 期性的应用. (1)判断函数的奇偶性首先要考虑函数定义域是否关于原点对称;(2)根据奇偶 解题策略 性求参数,可先用特殊值法求出参数,然后验证;(3)理解并应用关于周期函数 的重要结论:如 f(x)满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)的周期 T=2|a|. 一、选择题 1.(2016·江西赣州于都实验中学大考三)若奇函数 f(x)=3sin x+c 的定义域是[a,b], 则 a+b+c 等于( A.3 C.0 ) B.-3 D.无法计算 (1)函数奇偶性的概念;(2)函数周期性. (1)判定函数的奇偶性;(2)函数奇偶性的应用(求函数值,求参数);(3)函数周

2.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象, 则 f(2 014)+f(2 015)等于( )

A.3 C.1

B.2 D.0

3.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[- 1,3]上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)
x

4.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)等于( A.e -e
x
-x

)

1 x -x B. (e +e ) 2 1 x -x D. (e -e ) 2

1 -x x C. (e -e ) 2

5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且当 x∈(-1,0)时,

f(x)=2x+ ,则 f(log220)等于(
A.-1 B C.1

1 5

) . 4 5

4 D.- 5

6.(2016·开封二模)已知函数 f(x)定义在 R 上,对任意实数 x 有 f(x+4)=-f(x)+2 2, 若函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,f(-1)=2,则 f(2 015)等于( A.-2+2 2 C.2-2 2
?1-2 ?x≥0?, ? 7.已知函数 f(x)=? x ? ?2 -1?x<0?,
-x

)

B.2+2 2 D.2 则该函数是( )

A.偶函数且单调递增 C.奇函数且单调递增

B.偶函数且单调递减 D.奇函数且单调递减

2?x 2 2 2 8.对任意实数 a、b,定义两种运算:a?b= a -b ,a?b= ?a-b? ,则函数 f(x)= 2-?x?2? ( )

A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 二、填空题 9.(2015·课标全国Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x )为偶函数,则 a=________. 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,f(x+2)= 015)=________.
?x -2x,x≥0, ? 11.若函数 f(x)=? 2 ?-x +ax,x<0 ?
2 2

1 对任意 x∈R 恒成立,则 f(2 f?x?

是奇函数,则实数 a 的值为________.

12. (2016·山东乳山一中月考)定义在(-∞, +∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x), 且在 [-1,0]上是增函数,下面是关于 f(x)的判断:

?1 ? ①f(x)的图象关于点 P? ,0?对称;②f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是 ?2 ?
增函数;④f(2)=f(0).

其中正确的是________.(把你认为正确的判断序号都填上)

答案精析 1.C [因为函数 f(x)=3sin x+c 的定义域是[a,b],并且是奇函数,所以 f(0)=0, 即 3sin 0+c=0,得 c=0,而奇函数的定义域关于原点对称,所以 a+b=0, 所以 a+b+c=0.故选 C.] 2. A [因为 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数, 所以 f(2 014)+f(2 015)=f(671×3

+1)+f(672×3-1)=f(1)+f(-1),而由图象可知 f(1)=1,f(-1)=2,所以 f(2 014) +f(2 015)=1+2=3.] 3.C [f(x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,xf(x)>0; 当 x∈(0,1)时,xf(x)<0; 当 x∈(1,3)时,xf(x)>0. 所以 x∈(-1,0)∪(1,3).] 4.D [由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 得 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 因为 f(x)+g(x)=e , 所以 f(-x)+g(-x)=e , 即 f(x)-g(x)=e , 1 x -x 所以 g(x)= (e -e ).故选 D.] 2 5.A [因为 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 当 x∈(0,1)时,-x∈(-1,0), 1 -x 则 f(x)=-f(-x)=-2 - . 5 因为 f(x-2)=f(x+2), 所以 f(x)=f(x+4), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数.
-x -x

x

而 4<log220<5,所以 f(log220)=f(log220-4)=- 2 故选 A.]

? (log2 20?4)

1 1 2 - =- log 20 - =-1, 2 5 5 2

4

6.D [依题意得 f(-1)=2,f(x+4)+f(x)=2 2,f(x+8)+f(x+4)=2 2,因此 f(x +8)=f(x). 注意到 2 015=8×251+7,因此 f(2 015)=f(7)=f(-1)=2,故选 D.] 7.C [当 x>0 时,f(x)=1-2 ,这时-x<0,所以 f(-x)=2 -1, 于是 f(-x)=-f(x); 当 x<0 时,f(x)=2 -1,这时-x>0, 所以 f(-x)=1-2 ,于是也有 f(-x)=-f(x). 又 f(0)=0,故函数 f(x)是一个奇函数. 又因为当 x>0 时,f(x)=1-2 单调递增, 当 x<0 时,f(x)=2 -1 也单调递增, 所以 f(x)单调递增.故选 C.] 8.A [由题意可得
x
-x -x -x

x

x

f(x)=

2?x 4-x = , 2-?x?2? 2- (x-2)2
2

2

-x ≥0, ?4 则?(x-2) ≥0, ?2- (x-2) ≠0
2 2

-2≤x≤2, ? ? ? ?x∈R, ? ?x≠4且x≠0

? -2≤x≤2 且 x≠0.

即此函数的定义域为[-2,0)∪(0,2]. 所以-4≤x-2<-2 或-2<x-2≤0, 所以 (x-2) =|x-2|=2-x, 4-x 4-x 所以 f(x)= = = . 2 2 - (2 - x ) x 2- (x-2) 4-(-x) 因为 f(-x)= -x
2 2

4-x

2

2

2

=-

4-x

2

x

=-f(x)≠f(x),

2?x 所以函数 f(x)= 是奇函数,但不是偶函数.] 2-?x?2? 9.1 解析 f(x)为偶函数, 则 ln(x+ a+x )为奇函数, 所以 ln(x+ a+x )+ln(-x+ a+x )=0, 即 ln(a+x -x )=0,所以 a=1. 10.1 解析 由 f(x+2)= 得 f(-1+2)= 1 1
2 2 2 2 2

f(x)




f(-1)

即 f(1)f(-1)=1, 而 f(1)=1,故 f(-1)=1, 又因为 f(x+4)= 1

f(x+2)

=f(x),

所以 f(2 015)=f(504×4-1)=f(-1)=1. 11.-2 解析 因为 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=0, 当 x>0 时,-x<0, 由 f(-x)=-f(x), 得-(-x) +a(-x)=-(x -2x), 则 a=-2; 当 x<0 时,-x>0, 由 f(-x)=-f(x), 得(-x) -2(-x)=-(-x +ax), 得 x +2x=x -ax,则 a=-2. 所以 a=-2. 12.①②④
2 2 2 2 2 2

? 1? ? 1? ?1 ? ?1 ? 解析 根据题意有 f?x+ ?=-f?x- ?,结合偶函数的条件,可知 f? +x?=-f? -x?,所 ? 2? ? 2? ?2 ? ?2 ? ?1 ? 以函数图象关于点? ,0?对称,故①正确;式子还可以变形为 f(x+2)=f(x)=f(-x),故 ?2 ?
②正确;根据对称性,可知函数在[0,1]上是减函数,故③错;由②可知 f(2)=f(0),故④ 正确.所以答案为①②④.


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